QCM : Nombres et intervalles — 17 questions

Explication

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. Une intersection désigne une opération entre ensembles, tandis qu’une fraction et une inégalité relèvent d’autres notions mathématiques.

Explication

L’ensemble vide ne contient aucun nombre et se note ∅. Les notations ℕ, ℤ et ℝ désignent respectivement des ensembles usuels de nombres.

Explication

Dans cette convention, ℕ contient 0 ainsi que les entiers naturels positifs. −3 est négatif, √5 est irrationnel et 2,7 n’est pas un entier naturel.

Explication

ℤ contient les entiers négatifs, le zéro et les entiers positifs, tandis que ℕ contient les entiers naturels positifs ou nuls. Ainsi, −4 appartient à ℤ mais pas à ℕ.

Explication

Tout entier naturel est un entier relatif, donc chaque élément de ℕ appartient à ℤ et ℕ est inclus dans ℤ. La relation inverse est fausse, car ℤ contient aussi des entiers négatifs.

Explication

Les ensembles usuels sont emboîtés selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Par exemple, tous les naturels sont relatifs, mais un entier relatif négatif n’est pas naturel.

Explication

Dans [1;4[, la borne 1 est incluse et la borne 4 est exclue, ce qui donne 1 ≤ x < 4. Un crochet fermé correspond à une borne appartenant à l’intervalle.

Explication

Le symbole ≤ signifie qu’une quantité est inférieure ou égale à une autre. Le symbole < exprime une inégalité stricte, tandis que ≥ indique « supérieur ou égal à ».

Explication

Le centre se calcule par $\frac{2+8}{2}=5$ et l’amplitude par $8-2=6$. Confondre ces deux résultats revient à prendre l’amplitude pour le centre.

Explication

Les intervalles non bornés s’étendent vers $+\infty$ ou $-\infty$ et prennent les quatre formes indiquées. Les formes limitées par deux réels correspondent aux intervalles bornés.

Explication

L’intersection rassemble les nombres communs aux deux intervalles, car ils doivent appartenir simultanément à $I$ et à $J$. L’appartenance à au moins un intervalle définit la réunion, pas l’intersection.

Explication

Sans élément commun, aucun réel ne peut appartenir aux deux intervalles simultanément, donc leur intersection est $\varnothing$. La réunion, elle, conserve les éléments appartenant à l’un ou l’autre intervalle.

Explication

Les réels communs sont ceux strictement supérieurs à $4$ et inférieurs ou égaux à $5$, d’où $]4;5]$. Le nombre $4$ est exclu car il n’appartient pas à $J$, tandis que $5$ appartient aux deux intervalles.

Explication

Un encadrement place le nombre entre deux bornes selon $a<x<b$, et sa largeur se mesure par $b-a$. La somme $a+b$ ne représente pas l’amplitude de l’encadrement.

Explication

L’arrondi à $10^{-n}$ près compare les deux valeurs consécutives espacées de $\frac{1}{10^n}$ et retient celle qui est la plus proche de $x$. Cette procédure se distingue d’un encadrement, qui recherche deux bornes autour du nombre.

Explication

Un encadrement décimal place $x$ entre un décimal $d$ et ce même décimal augmenté de $\frac{1}{10^n}$. La sélection de l’une des deux bornes correspond à un arrondi, et non à la définition de l’encadrement.

Explication

L’amplitude se calcule en soustrayant la borne inférieure de la borne supérieure : $2,48-2,47=0,01=10^{-2}$. La valeur $2,47$ est la borne décimale inférieure, pas l’amplitude.