QCM : Mesures des angles orientés — 8 questions

Question 1

1. Quelles sont les mesures en radians de l’angle orienté $(\vec u;\vec v)$ lorsque les demi-droites correspondent respectivement aux réels $x$ et $y$ sur le cercle trigonométrique ?

Les nombres de la forme $y+x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

Le seul nombre réel $y-x$

Les nombres de la forme $x-y+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

Les nombres de la forme $y-x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

Explication

Les mesures de l’angle orienté sont tous les nombres $y-x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif. Elles diffèrent donc entre elles d’un multiple entier de $2\pi$.

Answer

Les nombres de la forme $y-x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

Question 2

2. Quelle affirmation distingue correctement les mesures d’un angle orienté de sa mesure principale ?

Toutes les mesures d’un angle orienté sont identiques, tandis que sa mesure principale peut varier

Les mesures d’un angle orienté appartiennent toutes à l’intervalle $]-\pi;\pi]$

Les mesures d’un angle orienté sont multiples, tandis que sa mesure principale est unique dans un intervalle donné

La mesure principale est toujours supérieure aux autres mesures de l’angle

Explication

Un angle orienté possède plusieurs mesures, obtenues en ajoutant des multiples de $2\pi$. Sa mesure principale est la mesure unique retenue dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Answer

Les mesures d’un angle orienté sont multiples, tandis que sa mesure principale est unique dans un intervalle donné

Question 3

3. Dans quel intervalle se trouve l’unique mesure principale d’un angle orienté ?

$[0;2\pi[$

$[-\pi;\pi[$

$]-2\pi;2\pi]$

$]-\pi;\pi]$

Explication

Par définition, la mesure principale est l’unique mesure de l’angle orienté appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Answer

$]-\pi;\pi]$

Question 4

4. Quelle est la mesure principale de $\frac{4\pi}{3}$ ?

$\frac{2\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3}$

$-\frac{2\pi}{3}$

$\frac{4\pi}{3}$

Explication

On écrit $\frac{4\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi$. La valeur $-\frac{2\pi}{3}$ appartient à $]-\pi;\pi]$, contrairement à $\frac{4\pi}{3}$.

Answer

$-\frac{2\pi}{3}$

Question 5

5. Pourquoi le cosinus d’un angle orienté est-il bien défini malgré la multiplicité de ses mesures ?

Parce que toutes les mesures d’un angle orienté ont la même valeur numérique

Parce que le cosinus a la même valeur pour toutes les mesures qui diffèrent d’un multiple de $2\pi$

Parce que le cosinus transforme chaque mesure en sa valeur absolue

Parce que le cosinus est défini uniquement à partir de la mesure principale

Explication

Le cosinus d’un angle orienté est le cosinus de l’une quelconque de ses mesures en radians. Sa valeur ne dépend donc pas de la mesure choisie, même si les mesures elles-mêmes sont différentes.

Answer

Parce que le cosinus a la même valeur pour toutes les mesures qui diffèrent d’un multiple de $2\pi$

Question 6

6. Quelle égalité traduit l’invariance du sinus lorsqu’on choisit deux mesures différentes d’un même angle orienté ?

$\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

$\sin(\theta+2k\pi)=-\sin(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

$\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)+2k\pi$ pour tout $k\in\mathbb Z$

$\sin(\theta+2k\pi)=\cos(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

Explication

Le sinus d’un angle orienté est égal au sinus de n’importe laquelle de ses mesures. Ainsi, l’ajout d’un multiple de $2\pi$ ne change pas sa valeur.

Answer

$\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

Question 7

7. Pour deux vecteurs non nuls colinéaires et de même sens, quelle est la valeur de leur angle orienté ?

0

−π/2

π/2

π

Explication

Deux vecteurs colinéaires et de même sens ont un angle orienté égal à 0. Un angle égal à π correspond à des vecteurs de sens contraires.

Answer

Trois vecteurs u⃗ , v⃗ et w⃗ quelconques

Question 8

8. Quels vecteurs non nuls vérifient la relation de Chasles suivante : (u⃗ ; v⃗ ) + (v⃗ ; w⃗ ) = (u⃗ ; w⃗ ) ?

Trois vecteurs deux à deux perpendiculaires

Trois vecteurs u⃗ , v⃗ et w⃗ quelconques

Deux vecteurs colinéaires de même sens

Deux vecteurs de normes égales

Explication

La relation de Chasles s’applique à tous vecteurs non nuls u⃗ , v⃗ et w⃗ . Elle relie les angles orientés successifs (u⃗ ; v⃗ ) et (v⃗ ; w⃗ ) à l’angle (u⃗ ; w⃗ ).

QCM : Mesures des angles orientés — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles sont les mesures en radians de l’angle orienté $(\vec u;\vec v)$ lorsque les demi-droites correspondent respectivement aux réels $x$ et $y$ sur le cercle trigonométrique ?

2. Quelle affirmation distingue correctement les mesures d’un angle orienté de sa mesure principale ?

3. Dans quel intervalle se trouve l’unique mesure principale d’un angle orienté ?

4. Quelle est la mesure principale de $\frac{4\pi}{3}$ ?

5. Pourquoi le cosinus d’un angle orienté est-il bien défini malgré la multiplicité de ses mesures ?

6. Quelle égalité traduit l’invariance du sinus lorsqu’on choisit deux mesures différentes d’un même angle orienté ?

7. Pour deux vecteurs non nuls colinéaires et de même sens, quelle est la valeur de leur angle orienté ?

8. Quels vecteurs non nuls vérifient la relation de Chasles suivante : (u⃗ ; v⃗ ) + (v⃗ ; w⃗ ) = (u⃗ ; w⃗ ) ?

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