Fiche de révision : Méthode d’Ératosthène pour la Terre

📋 Plan du Cours

1. Terre sphérique et méthode d’Ératosthène
2. Hypothèses d’Ératosthène sur le Soleil et les villes
3. Mesure de l’angle au solstice d’été à Alexandrie
4. Distance Syène Alexandrie et conversion en kilomètres
5. Calcul de la circonférence puis du rayon terrestre
6. Angles alternes-internes et parallélisme des rayons
7. Précision relative et comparaison au rayon actuel
8. Vérification de la même longitude avec la carte

📖 1. Terre sphérique et méthode d’Ératosthène

🔑 Notions clés & Définitions

• Terre sphérique : Croyance antique selon laquelle la Terre a une forme de sphère, permettant d’utiliser la géométrie pour estimer sa taille.
• Ératosthène : Astronome et mathématicien grec qui propose une méthode géométrique pour estimer le rayon de la Terre à partir d’angles et de distances.
• Méthode d’Ératosthène : Procédé géométrique qui relie une mesure d’angle au sol à une distance entre deux villes pour déduire la taille de la Terre.
• Gnomon : Bâton vertical servant à mesurer la direction des rayons du Soleil via la longueur et l’orientation de l’ombre.

📝 Points essentiels

• Ératosthène travaille dans l’hypothèse d’une Terre sphérique pour relier géométrie et mesure astronomique.
• La méthode vise à estimer le rayon terrestre à partir d’un angle mesuré à Alexandrie et d’une distance Syène–Alexandrie.
• À Syène, au solstice d’été à midi, les rayons solaires sont décrits comme verticaux et éclairent le fond d’un puits.
• À Alexandrie, au même moment, les objets projettent des ombres car le Soleil n’est plus au zénith.
• Le gnomon permet de transformer l’observation d’ombre en un angle entre la verticale locale et la direction des rayons du Soleil.

💡 Astuce mémo

Sphérique + ombre = angle; angle + distance = rayon.

📖 2. Hypothèses d’Ératosthène sur le Soleil et les villes

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayons solaires parallèles : Hypothèse selon laquelle, le Soleil étant très éloigné, ses rayons arrivent sur Terre presque parallèlement.
• Même longitude : Hypothèse géographique selon laquelle Syène et Alexandrie sont prises comme étant sur la même longitude pour relier l’angle à l’arc terrestre.
• Solstice d’été : Moment de l’année où l’observation d’Ératosthène est faite à midi, permettant de comparer Syène et Alexandrie.
• Verticale du lieu : Direction perpendiculaire au sol local, utilisée comme référence pour mesurer l’angle avec les rayons du Soleil.

📝 Points essentiels

• Ératosthène suppose que le Soleil est suffisamment loin pour que les rayons soient quasiment parallèles.
• Il utilise deux villes considérées comme ayant la même longitude pour interpréter l’angle comme un fraction d’un tour de Terre.
• À Syène, la verticalité des rayons au solstice d’été est associée à l’absence d’ombre au puits.
• À Alexandrie, la présence d’ombres au même moment indique un décalage angulaire par rapport à la verticale.
• L’angle mesuré à Alexandrie est défini entre les rayons du Soleil et la verticale du lieu (Alexandrie).

💡 Astuce mémo

Soleil loin → rayons parallèles; villes même longitude → arc déduit.

📖 3. Mesure de l’angle au solstice d’été à Alexandrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle α : Angle entre un rayon du Soleil et la verticale du lieu à Alexandrie, obtenu à partir de la mesure de l’ombre du gnomon.
• Solstice d’été à midi : Moment de l’observation où Syène est décrite avec des rayons verticaux et où Alexandrie présente des ombres.
• Gnomon à Alexandrie : Dispositif de mesure à Alexandrie qui permet d’estimer l’angle α grâce à la longueur de l’ombre.
• 1/50ème de cercle : Fraction de tour associée à l’angle α mesuré à Alexandrie entre les rayons du Soleil et la verticale.

📝 Points essentiels

• Ératosthène trouve à Alexandrie un angle correspondant à 1/50ème de cercle.
• L’angle α est placé entre la direction des rayons du Soleil et la verticale locale (celle du gnomon).
• La mesure repose sur l’observation de l’ombre projetée par les objets à Alexandrie au solstice d’été.
• Le contraste Syène/Alexandrie sert à attribuer l’angle à la courbure de la Terre.
• L’angle α est l’élément clé qui relie la géométrie locale à la fraction de circonférence terrestre.

💡 Astuce mémo

À Alexandrie: α = 1/50 de tour.

📖 4. Distance Syène Alexandrie et conversion en kilomètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Syène : Ville de référence associée à Assouan aujourd’hui, utilisée par Ératosthène pour l’observation au solstice d’été.
• Alexandrie : Ville où Ératosthène mesure l’angle via un gnomon et compare avec Syène au même moment.
• Stade égyptien : Unité de distance utilisée à l’époque d’Ératosthène, dont la longueur est donnée pour convertir en mètres.
• Dromadaires : Moyen de comptage de la distance raconté dans la légende, basé sur un nombre de jours et une distance quotidienne.

📝 Points essentiels

• La distance Syène–Alexandrie est donnée par une légende: 50 jours de trajet en parcourant 100 stades par jour.
• La conversion utilise la longueur d’un stade égyptien: 157,5 m.
• Le calcul donne 157,5 × 100 = 15 750 m par jour.
• Sur 50 jours, cela donne 15 750 × 50 = 787 500 m.
• La distance convertie est donc 787,5 km entre Syène et Alexandrie.

💡 Astuce mémo

50 jours × 100 stades/jour → 787,5 km.

📖 5. Calcul de la circonférence puis du rayon terrestre

🔑 Notions clés & Définitions

• Circonférence de la Terre : Longueur totale du tour de Terre, déduite en multipliant la distance connue par l’inverse de la fraction angulaire.
• Rayon terrestre R : Distance du centre de la Terre à sa surface, obtenue à partir de la circonférence via la relation géométrique.
• C = 2πR : Relation entre circonférence et rayon d’un cercle, utilisée pour passer de C à R.
• Multiplication par 50 : Étape de calcul qui transforme l’arc correspondant à 1/50 de cercle en un tour complet.

📝 Points essentiels

• L’angle mesuré à Alexandrie (1/50 de cercle) permet d’associer la distance Syène–Alexandrie à une fraction de la circonférence.
• La circonférence est obtenue en multipliant 787,5 km par 50.
• Le calcul donne C = 39 375 km (ou [39 375 000](tel:39 375 000) m selon l’unité utilisée).
• Le rayon est ensuite déduit avec C = 2πR, soit R = C/(2π).
• Le résultat numérique indiqué est R ≈ 6 267 km.

💡 Astuce mémo

Arc (1/50) × 50 → tour; tour → R avec 2π.

📖 6. Angles alternes-internes et parallélisme des rayons

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles alternes-internes : Propriété géométrique: deux angles situés de part et d’autre d’une sécante entre deux droites parallèles ont la même mesure.
• Droites parallèles : Deux droites qui gardent un écart constant et ne se coupent jamais, utilisées ici pour modéliser les rayons du Soleil.
• Sécante : Droite qui coupe deux droites (ici, les rayons modélisés) et sert à définir les angles alternes-internes.
• Parallélisme des rayons : Hypothèse reliant la distance du Soleil à l’idée que les rayons peuvent être traités comme parallèles pour la géométrie.

📝 Points essentiels

• Le document rappelle que si deux droites sont parallèles et coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont de même mesure.
• Cette propriété sert à transférer la mesure d’un angle entre des directions modélisées par des parallèles.
• Les rayons du Soleil sont traités comme parallèles grâce à l’hypothèse du Soleil très éloigné.
• Le schéma relie la verticale locale et la direction des rayons à une interprétation angulaire cohérente avec la sphéricité.
• Le même angle mesuré à Alexandrie peut être relié à l’arc correspondant sur la Terre via la géométrie des parallèles.

💡 Astuce mémo

Parallèles + sécante → alternes-internes égaux.

📖 7. Précision relative et comparaison au rayon actuel

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision relative : Mesure de l’écart entre une valeur calculée et une valeur de référence, exprimée en pourcentage.
• Rayon terrestre actuel RT : Valeur de référence donnée pour comparer le résultat d’Ératosthène, ici RT = 6371 km.
• Rayon calculé : Valeur obtenue par la méthode d’Ératosthène, ici environ 6267 km.
• Écart relatif en % : Pourcentage calculé à partir de la différence entre valeur théorique et valeur calculée, rapportée à la valeur théorique.

📝 Points essentiels

• La comparaison utilise RT théorique = 6371 km et RT calculé ≈ 6267 km.
• L’écart relatif est calculé par la formule (RT théorique − RT calculé)/RT théorique × 100.
• Le calcul donne un écart d’environ 1,6 % entre la valeur calculée et la valeur de référence.
• Le résultat est jugé très bon car il reste inférieur à 3 %.
• Cette étape transforme la méthode historique en évaluation quantitative de sa qualité.

💡 Astuce mémo

Écart relatif = (théorique − calculé)/théorique × 100.

📖 8. Vérification de la même longitude avec la carte

🔑 Notions clés & Définitions

• Longitude : Coordonnée géographique qui permet de comparer la position est-ouest de deux lieux sur Terre.
• Carte de l’Égypte : Document cartographique utilisé pour vérifier la cohérence géographique entre Syène et Alexandrie.
• Méridien : Ligne de référence de longitude, utilisée sur la carte pour repérer si deux villes sont alignées.
• Différence de longitude : Décalage est-ouest entre deux lieux, pouvant expliquer une petite erreur dans l’angle déduit.

📝 Points essentiels

• Le document 1 affirme que Syène et Alexandrie sont à la même longitude.
• La vérification demandée se fait à l’aide du document 2 (carte de l’Égypte).
• La conclusion donnée est que le calcul n’est pas parfait car les deux villes ne sont pas exactement sur le même méridien.
• Cette différence de longitude entraîne une petite différence d’angle par rapport à l’hypothèse initiale.
• La carte sert donc à relier une hypothèse géographique à l’erreur observée dans le résultat final.

💡 Astuce mémo

Si longitude ≠ même méridien → calcul moins parfait.

📊 Tableaux de synthèse

Syène vs Alexandrie (même moment)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’angle α avec la distance Syène–Alexandrie: α est un angle à Alexandrie, la distance sert ensuite à calculer C et R.
2. Oublier que l’angle vaut 1/50 de cercle: sans ce facteur 50, on ne retrouve pas la circonférence.
3. Mélanger les unités lors de la conversion: le stade vaut 157,5 m, puis on obtient 787,5 km.
4. Croire que la méthode est exacte: la fiche indique que la différence de longitude entre les villes explique une partie de l’écart.
5. Utiliser C = 2πR sans diviser par 2π: le rayon se calcule bien comme R = C/(2π).

✅ Checklist Examen

1. Expliquer comment l’hypothèse de Terre sphérique permet d’utiliser une mesure d’angle pour déduire une fraction de circonférence.
2. Citer les deux hypothèses d’Ératosthène: rayons solaires quasiment parallèles et villes prises à même longitude.
3. Décrire comment le gnomon à Alexandrie conduit à l’angle α et donner sa valeur (1/50ème de cercle).
4. Calculer la distance Syène–Alexandrie à partir de 50 jours et 100 stades par jour, puis convertir avec 157,5 m par stade.
5. Déduire la circonférence en multipliant la distance par 50, puis calculer le rayon avec C = 2πR et donner la valeur obtenue (≈ 6 267 km).
6. Utiliser la propriété des angles alternes-internes pour comprendre le rôle du parallélisme des rayons dans le raisonnement.
7. Calculer l’écart relatif en % entre RT = 6371 km et le rayon calculé, et conclure sur la précision (≈ 1,6 %).
8. Vérifier l’affirmation de même longitude avec la carte et relier une différence de méridien à l’imperfection du résultat.