Fiche de révision : Modèle quantique de l’atome

📋 Plan du Cours

1. Dualité onde-corpuscule
2. Onde de De Broglie
3. Incertitude de Heisenberg
4. Fonction d’onde et probabilités
5. Équation de Schrödinger
6. Orbitales de l’atome d’hydrogène
7. Niveaux et orbitales atomiques
8. Spin électronique

📖 1. Dualité onde-corpuscule

📝 Points essentiels

• En 1923, Louis-Victor de Broglie propose d’associer une onde à toute particule de matière en mouvement.

📌 À l’échelle atomique, une particule et une onde sont deux aspects complémentaires d’un même objet, tandis que pour les objets macroscopiques l’aspect corpusculaire prédomine.

💡 Astuce mémo

Particule et onde : deux descriptions d’un même objet microscopique

📖 2. Onde de De Broglie

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’onde associée à une particule de masse m et de vitesse v vérifie $\lambda = \frac{h}{mv}$. — L.-V. de Broglie

• En 1927, Clinton Davisson, assisté de Germer, et George Thomson démontrent la nature ondulatoire des électrons en observant leur diffraction sur une cible polycristalline de nickel.

Compléments

📌 Une orbite stationnaire n’est stable que si sa circonférence est un multiple entier de la longueur d’onde associée, soit $2\pi r = n\lambda$.

💡 Astuce mémo

Mouvement de la particule → longueur d’onde associée

📖 3. Incertitude de Heisenberg

★ À maîtriser

📐 Formule — La position et la quantité de mouvement d’une particule vérifient la relation d’incertitude $\Delta x\,\Delta p \geq \frac{h}{2\pi}$. — Heisenberg, 1927

📌 Le modèle quantique remplace la trajectoire et la position déterminées du modèle classique par une description probabiliste de l’électron.

Compléments

• Pour un projectile de masse 1 g dont la vitesse est connue à 1·10⁻⁶ m·s⁻¹ près, l’incertitude minimale sur la position est d’environ 10⁻²⁵ m.

💡 Astuce mémo

Macroscopique : incertitude négligeable ; électronique : incertitude déterminante

📖 4. Fonction d’onde et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : Élongation de l’onde associée au mouvement d’une particule en un point de l’espace et à un instant donné.

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité de présence d’un électron dans le volume dV autour de M(x,y,z) est $dP=|\psi(x,y,z)|^2dV$.

Compléments

📐 Formule — Pour une onde stationnaire, la fonction d’onde se factorise en une amplitude spatiale et un facteur temporel sinusoïdal, selon $\Phi(x,y,z,t)=\psi(x,y,z)\sin(\omega t)$. — Erwin Schrödinger, 1926

💡 Astuce mémo

Fonction d’onde → densité de probabilité de présence

📖 5. Équation de Schrödinger

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation stationnaire de Schrödinger s’écrit $\hat{H}\psi=E\psi$, où Ĥ est l’opérateur hamiltonien et E une énergie propre. — Erwin Schrödinger, 1926

📌 Résoudre l’équation de Schrödinger consiste à déterminer les fonctions propres ψ et les valeurs propres E du système.

Compléments

📌 Les fonctions d’onde admissibles sont continues, finies, nulles aux limites et normalisées afin que la probabilité totale de présence soit égale à 1.

💡 Astuce mémo

Hamiltonien → fonction propre → énergie propre

📖 6. Orbitales de l’atome d’hydrogène

★ À maîtriser

• L’équation de Schrödinger admet des solutions rigoureuses pour l’atome d’hydrogène et les hydrogénoïdes, qui ne possèdent qu’un seul électron.

📐 Formule — Dans les coordonnées sphériques, une orbitale atomique se factorise selon $\psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m_l}(\theta,\varphi)$.

📌 Le nombre quantique principal n est un entier positif qui définit la couche électronique et peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4

📌 Le nombre quantique secondaire l peut prendre les valeurs entières de 0 à n−1 et détermine la sous-couche et la forme générale de l’orbitale.

Compléments

📌 Le nombre quantique magnétique mₗ prend les valeurs entières de −l à +l et détermine l’orientation de l’orbitale par rapport à un axe de référence.

💡 Astuce mémo

n → l → mₗ → mₛ

📖 7. Niveaux et orbitales atomiques

★ À maîtriser

• Pour une valeur fixée de n, le nombre d’orbitales atomiques possibles est n².

📐 Formule — Pour un hydrogénoïde, l’énergie du niveau n s’écrit en électronvolts $E_n=-13{,}6\frac{Z^2}{n^2}$.

Compléments

• Pour n = 2, il existe une orbitale 2s et trois orbitales 2p, soit quatre orbitales atomiques au total.

• Dans l’atome d’hydrogène, les orbitales possédant la même valeur de n ont la même énergie et sont dites dégénérées.

📖 8. Spin électronique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre quantique de spin : Décrit le moment cinétique intrinsèque de l’électron et peut prendre les deux valeurs +1/2 et −1/2.

★ À maîtriser

📌 Une spin-orbitale atomique est définie par les quatre nombres quantiques n, l, mₗ et mₛ, tandis qu’une orbitale atomique est définie par n, l et mₗ.

Compléments

• La raie jaune du sodium à 589 nm est en réalité un doublet comprenant les longueurs d’onde 589 nm et 589,6 nm, ce qui met en évidence deux états de spin.

💡 Astuce mémo

Spin +1/2 et spin −1/2 : deux orientations opposées

📊 Tableaux de synthèse

Nombres quantiques de l’électron