Fiche de révision : Ensembles et inclusions numériques

📋 Plan du Cours

1. Les ensembles de nombres
2. Appartenance et notation
3. Inclusion des ensembles
4. Écritures décimales et rationnelles
5. Propriétés des opérations

📖 1. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul.
• Entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul.
• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombre réel : Nombre qui se situe sur la droite graduée.
• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction, comme $\sqrt{2}$, π ou e.

📖 2. Appartenance et notation

★ À maîtriser

📌 Les symboles ∈ et ∉ indiquent respectivement qu’un élément appartient ou n’appartient pas à un ensemble.

Compléments

📌 Les accolades permettent d’énumérer les éléments d’un ensemble, par exemple $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6,\ldots\}$.

💡 Astuce mémo

∈ signifie appartient, tandis que ∉ signifie n’appartient pas.

📖 3. Inclusion des ensembles

📝 Points essentiels

📌 Les symboles ⊂ et ⊄ signifient respectivement qu’un ensemble est inclus ou n’est pas inclus dans un autre ensemble.

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, tout nombre décimal est un nombre rationnel et tout nombre rationnel est un nombre réel.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : du naturel vers le réel.

📖 4. Écritures décimales et rationnelles

📝 Points essentiels

• Le nombre 0,034 est décimal car il s’écrit $\frac{34}{10^3}$.

• Le nombre $\frac{1}{6}$ est rationnel car il est écrit sous la forme $\frac{p}{q}$, avec p entier relatif et q entier relatif non nul.

📖 5. Propriétés des opérations

★ À maîtriser

📌 La différence de deux entiers relatifs est un entier relatif.

📌 La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

Compléments

📌 Le produit de deux nombres rationnels n’est pas nécessairement un entier naturel.

📌 Le quotient de deux nombres réels n’est pas nécessairement un nombre rationnel.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques