QCM : Ensembles et inclusions numériques — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Lequel de ces nombres est un entier naturel ?

−3-3
12\frac{1}{2}
00
2\sqrt{2}

$$0$$

Explication

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul, ce qui inclut 00. L’entier négatif, la fraction et la racine carrée proposée ne correspondent pas à cette définition.

2. Quelle affirmation décrit correctement un entier relatif ?

C’est un nombre entier positif, négatif ou nul.
C’est un nombre situé entre deux graduations de la droite.
C’est un nombre entier positif ou nul écrit sous forme décimale.
C’est un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction.

C’est un nombre entier positif, négatif ou nul.

Explication

Un entier relatif peut être positif, négatif ou nul. Un entier naturel exclut les valeurs négatives, tandis que les deux autres propositions décrivent des notions différentes.

3. Lequel de ces nombres peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, avec aa entier relatif et nn entier naturel ?

−2,75-2,75
13\frac{1}{3}
π\pi
2\sqrt{2}

$$-2,75$$

Explication

Le nombre −2,75-2,75 s’écrit −275100\frac{-275}{100}, donc sous la forme requise pour un nombre décimal. Les autres nombres proposés ne possèdent pas cette écriture décimale finie.

4. Laquelle de ces propositions caractérise un nombre réel ?

Il est nécessairement positif ou nul.
Il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.
Il se situe sur la droite graduée.
Il possède une écriture décimale finie.

Il se situe sur la droite graduée.

Explication

Un nombre réel est un nombre qui se situe sur la droite graduée. Les autres propriétés concernent respectivement les naturels, les décimaux et les irrationnels, et ne définissent pas tous les réels.

5. Quelle notation signifie que 55 appartient à l’ensemble AA ?

5∉A5\notin A
5∈A5\in A
A∉5A\notin 5
A∈5A\in 5

$$5\in A$$

Explication

Le symbole ∈\in indique qu’un élément appartient à un ensemble, donc 5∈A5\in A exprime cette appartenance. Le symbole ∉\notin exprime au contraire la non-appartenance.

6. Quelle notation permet d’énumérer les éléments d’un ensemble ?

{0,1,2,3}\{0,1,2,3\}
0∉N0\notin\mathbb{N}
{0,1,2,3}⊂N\{0,1,2,3\}\subset\mathbb{N}
0∈{1,2,3}0\in\{1,2,3\}

$$\{0,1,2,3\}$$

Explication

Les accolades servent à énumérer les éléments d’un ensemble, comme dans {0,1,2,3}\{0,1,2,3\}. Les autres écritures indiquent une appartenance, une inclusion ou une non-appartenance.

7. Quelle notation signifie qu’un ensemble AA est inclus dans un ensemble BB ?

A⊄BA\not\subset B
A⊂BA\subset B
A∈BA\in B
A∉BA\notin B

$$A\subset B$$

Explication

Le symbole ⊂\subset exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre, donc A⊂BA\subset B signifie que AA est inclus dans BB. Les symboles ∈\in et ∉\notin concernent l’appartenance d’un élément à un ensemble.

8. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. L’ordre inverse ou les échanges entre ensembles ne respectent pas ces inclusions.

9. Quelle conclusion découle de la chaîne d’inclusions des ensembles de nombres ?

Tout nombre décimal est un entier naturel.
Tout nombre réel est un nombre rationnel.
Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
Tout entier naturel est un entier relatif.

Tout entier naturel est un entier relatif.

Explication

L’inclusion N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z} signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif. Les autres affirmations inversent ou élargissent à tort certaines inclusions entre ces ensembles.

10. Pourquoi le nombre 0,034 est-il un nombre décimal ?

Il s’écrit sous la forme 34\frac{3}{4}.
Il est le quotient de deux nombres entiers relatifs non nuls.
Il possède une écriture fractionnaire avec un dénominateur égal à 6.
Il s’écrit sous la forme 34103\frac{34}{10^3}.

Il s’écrit sous la forme $$\frac{34}{10^3}$$.

Explication

Le nombre 0,034 est décimal puisqu’il peut s’écrire comme 34103\frac{34}{10^3}, une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. La forme 34\frac{3}{4} représente bien un nombre rationnel, mais elle ne justifie pas l’écriture décimale donnée.

11. Quelle propriété permet d’affirmer que 16\frac{1}{6} est un nombre rationnel ?

Il s’écrit sous la forme pq\frac{p}{q}, avec pp entier relatif et qq entier relatif non nul.
Il est obtenu en divisant deux nombres décimaux ayant le même nombre de chiffres.
Il s’écrit comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres naturels.
Il possède une écriture décimale finie avec trois chiffres après la virgule.

Il s’écrit sous la forme $$\frac{p}{q}$$, avec $$p$$ entier relatif et $$q$$ entier relatif non nul.

Explication

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire pq\frac{p}{q}, où pp et qq sont des entiers relatifs et où qq est non nul. Une écriture décimale finie ou l’utilisation de nombres naturels n’est pas nécessaire pour caractériser tous les nombres rationnels.

12. Quel résultat obtient-on en calculant la différence de deux entiers relatifs ?

Un nombre rationnel non entier.
Un entier relatif.
Un nombre réel irrationnel.
Un nombre naturel positif.

Un entier relatif.

Explication

La différence de deux entiers relatifs reste un entier relatif, car les entiers relatifs sont fermés pour cette opération. En revanche, le résultat n’est pas forcément naturel ou positif.

13. Si l’on additionne deux nombres décimaux, dans quel ensemble le résultat se trouve-t-il ?

Dans l’ensemble des nombres décimaux.
Dans l’ensemble des nombres rationnels non décimaux.
Dans l’ensemble des nombres réels irrationnels.
Dans l’ensemble des nombres entiers naturels positifs.

Dans l’ensemble des nombres décimaux.

Explication

La somme de deux nombres décimaux est encore un nombre décimal. Elle peut toutefois être négative ou non naturelle, ce qui rend les deux dernières propositions trop restrictives.

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Qu'est-ce qu'un entier naturel ?

Un nombre entier positif ou nul.

Qu'est-ce qu'un entier relatif ?

Un nombre entier positif, négatif ou nul.

Comment s'écrit un nombre décimal ?

Sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a entier relatif et n entier naturel.

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