Fiche de révision : Modélisation de la croissance bactérienne

📋 Plan du Cours

1. Modèle de croissance bactérienne
2. Calcul du nombre de jours
3. Algorithme de simulation
4. Suite croissante (uₙ)
5. Suite géométrique (vₙ)
6. Expression de uₙ et vₙ
7. Limite de f(x)
8. Dérivée de f(x)
9. Variations de f
10. Courbe et asymptote

📖 1. Modèle de croissance bactérienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente (uₙ) : suite définie par une relation de récurrence, permettant de modéliser l’évolution de la masse bactérienne dans le temps. Dans ce contexte, uₙ représente la masse de bactéries (en grammes) au jour n, avec u₀ = 1000 g (1 kg initial).
• Interprétation de uₙ : masse de bactéries dans la cuve au jour n, modélisée par la suite récurrente uₙ, prenant en compte la croissance et les pertes quotidiennes.
• Effet de la croissance de 20% par jour : facteur multiplicatif de 1,2 appliqué à la masse bactérienne chaque jour, représentant une croissance exponentielle modélisée par la relation uₙ₊₁ = 1,2uₙ - 100.
• Perte quotidienne fixe (100 g) : quantité constante de bactéries perdue chaque jour lors du remplacement du milieu nutritif, intégrée dans la relation de récurrence.
• Objectif de production (30 kg) : masse cible à atteindre pour la production, soit 30 000 g, permettant de déterminer le nombre de jours nécessaires via la modélisation de la suite uₙ.

📝 Points essentiels

• La suite uₙ modélise la masse bactérienne dans la cuve, en tenant compte de la croissance de 20% par jour et de la perte fixe de 100 g. La relation uₙ₊₁ = 1,2uₙ - 100 reflète cette dynamique, où 1,2uₙ représente la croissance et -100 la perte quotidienne.
• La suite est initialisée par u₀ = 1000 g, correspondant à la masse initiale de bactéries.
• La croissance de 20% (facteur 1,2) est une croissance multiplicative, tandis que la perte de 100 g est une diminution additive.
• La modélisation permet de prévoir le nombre de jours nécessaires pour atteindre ou dépasser la masse de 30 kg (30 000 g).
• La suite (vₙ) = uₙ - 500 est une suite géométrique, facilitant le calcul explicite de uₙ, en lien avec la relation de récurrence.

💡 À retenir

Le modèle de croissance bactérienne, basé sur une suite récurrente, combine une croissance exponentielle de 20% par jour et une perte fixe de 100 g, permettant de prévoir l'évolution de la masse bactérienne et d'atteindre un objectif de production.

📖 2. Calcul du nombre de jours

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente (uₙ) : suite définie par une relation de récurrence reliant chaque terme au précédent, ici $u_{n+1} = 1,2 u_n - 100$ (d’après Bac - Asie, 2016). Elle modélise l’évolution de la masse bactérienne dans le temps.

• Calcul du nombre de jours n : processus consistant à déterminer l’entier n tel que $u_n$ dépasse une valeur cible (ici 30 kg), en utilisant une calculatrice ou un algorithme.

• Utilisation de la calculatrice : méthode numérique permettant de déterminer rapidement n en effectuant des itérations successives de la suite jusqu’à atteindre ou dépasser la seuil fixé, en évitant des calculs manuels fastidieux (d’après Bac - Asie, 2016).

• Interprétation du résultat : analyse du n obtenu pour comprendre en combien de jours la masse bactérienne dépasse le seuil fixé, permettant ainsi de répondre concrètement à l’objectif de production.

📝 Points essentiels

• La suite $u_n$ modélise la masse de bactéries en grammes après n jours, avec $u_0 = 1000$ g. La relation $u_{n+1} = 1,2 u_n - 100$ reflète la croissance de 20 % par jour, compensée par une perte fixe de 100 g lors du renouvellement du milieu.

• Pour déterminer le nombre de jours n nécessaires pour que $u_n > 30\,000$ g (30 kg), on utilise soit la calculatrice pour effectuer des itérations successives, soit un algorithme programmé. La méthode numérique permet d’éviter la résolution analytique complexe.

• La valeur de n obtenue par la calculatrice ou l’algorithme indique le moment précis où la masse bactérienne dépasse le seuil fixé, ce qui est essentiel pour planifier la production.

• La démarche repose sur la compréhension de la suite récurrente et la maîtrise de l’outil numérique pour une réponse efficace et précise.

💡 À retenir

Le calcul du nombre de jours n pour que $u_n$ dépasse 30 kg repose sur l’utilisation d’une suite récurrente modélisant la croissance bactérienne, combinée à une méthode numérique (calculatrice ou algorithme) pour déterminer rapidement n. La valeur obtenue permet d’interpréter concrètement le délai nécessaire à la production visée.

📖 3. Algorithme de simulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Algorithme itératif : procédure répétitive permettant de calculer une suite ou un résultat en utilisant une relation de récurrence, en actualisant à chaque étape une ou plusieurs variables (d’après ES Métropole-La Réunion sept 2006).
• Initialisation : étape où l’on fixe les valeurs de départ des variables n et u, par exemple n ← 0 et u ← 1000, pour démarrer l’algorithme (d’après ES Métropole-La Réunion sept 2006).
• Condition de la boucle Tant que : critère qui détermine la poursuite ou l’arrêt de la répétition de l’algorithme, par exemple tant que u < 30 000 (d’après ES Métropole-La Réunion sept 2006).
• Mise à jour de u : opération où u est remplacé par une nouvelle valeur selon la relation u ← 1,2u - 100, représentant la croissance et la perte de bactéries (d’après Bac - Asie - 2016).
• Incrémentation de n : étape où n est augmenté de 1 à chaque itération, pour compter le nombre de jours ou d’étapes (d’après ES Métropole-La Réunion sept 2006).

📝 Points essentiels

• L’algorithme permet de simuler l’évolution de la masse bactérienne dans la cuve en utilisant la relation de récurrence uₙ₊₁ = 1,2uₙ - 100, qui modélise la croissance de 20% par jour et la perte fixe de 100 g (d’après Bac - Asie - 2016).
• La boucle "Tant que" doit s’arrêter lorsque u dépasse 30 000 g, correspondant à l’objectif de production fixé par l’entreprise. La condition u < 30 000 guide la poursuite de la simulation.
• La variable n représente le nombre de jours écoulés, et sa valeur finale indique au bout de combien de jours la masse de bactéries dépasse le seuil fixé.
• La mise à jour de u à chaque étape reflète la croissance quotidienne, tandis que l’incrémentation de n permet de suivre l’évolution temporelle.
• La méthode itérative est essentielle pour modéliser des processus dynamiques discrets, notamment dans des contextes industriels ou biologiques.

💡 À retenir

L’algorithme itératif, basé sur une relation de récurrence, permet de simuler efficacement l’évolution d’une quantité dans le temps en actualisant périodiquement ses valeurs à partir d’un état initial, en utilisant une condition d’arrêt précise.

📖 4. Suite croissante (uₙ)

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de la suite (uₙ) : Une suite (uₙ) est une fonction définie sur ℕ (les entiers naturels), associant à chaque n un terme uₙ. Dans ce contexte, (uₙ) modélise la masse de bactéries à chaque jour n, avec u₀ = 1000 g, et la relation de récurrence uₙ₊₁ = 1,2uₙ - 100 (d’après le modèle de croissance et pertes).
• Démonstration que (uₙ) est croissante : Sous l’hypothèse uₙ > 1000 pour tout n, on montre que la suite (uₙ) est croissante en prouvant que uₙ₊₁ > uₙ, en utilisant la relation de récurrence et l’inégalité initiale.
• Hypothèse uₙ > 1000 pour tout n : Supposition selon laquelle chaque terme de la suite (uₙ) dépasse 1000, permettant d’établir la croissance de la suite. Cette hypothèse facilite la démonstration de la croissance en utilisant la relation de récurrence.
• Lien entre croissance de uₙ et paramètres du modèle : La croissance de la suite (uₙ) dépend du facteur multiplicatif 1,2 (augmentation de 20%) et de la perte fixe de 100 g, qui influence la tendance de la suite. La croissance est assurée si le facteur de croissance (1,2) domine la perte, sous l’hypothèse uₙ > 1000.

📝 Points essentiels

• La suite (uₙ) est définie par la relation de récurrence uₙ₊₁ = 1,2uₙ - 100, avec u₀ = 1000.
• La démonstration que (uₙ) est croissante repose sur l’hypothèse uₙ > 1000, qui garantit que chaque terme suivant est supérieur au précédent, car :
  uₙ₊₁ - uₙ = 0,2uₙ - 100.
• Si uₙ > 1000, alors 0,2uₙ > 200, donc :
  uₙ₊₁ - uₙ > 200 - 100 = 100 > 0, ce qui montre que la suite est croissante.
• La croissance de (uₙ) est liée au paramètre 1,2, représentant une augmentation de 20% par jour, et à la perte fixe de 100 g, qui doit être compensée par la croissance pour que la suite continue d’augmenter.
• La suite (vₙ) = uₙ - 500 est une suite géométrique, car elle satisfait une relation de la forme vₙ₊₁ = qvₙ, avec q = 1,2.

💡 À retenir

Sous l’hypothèse que uₙ > 1000, la suite (uₙ) modélise une croissance régulière de la masse bactérienne, croissante chaque jour en raison du facteur multiplicatif 1,2, tant que la perte fixe de 100 g n’empêche pas cette croissance. La croissance est directement liée au paramètre 1,2, représentant une augmentation de 20%, et à l’hypothèse initiale u₀ = 1000.

📖 5. Suite géométrique (vₙ)

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (vₙ) : suite définie par vₙ = uₙ - 500, où (uₙ) est une suite donnée.
• Suite géométrique : suite (vₙ) dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison, c’est-à-dire vₙ₊₁ = q vₙ, avec q ≠ 0.
• Raison (q) d’une suite géométrique : constante multiplicative telle que vₙ₊₁ = q vₙ pour tout n.
• Démonstration que (vₙ) est géométrique : consiste à montrer que la relation de récurrence de (vₙ) peut s’écrire sous la forme vₙ₊₁ = q vₙ, en utilisant la relation de récurrence de (uₙ).
• Raison liée à la relation de récurrence : dans le contexte de la suite (vₙ), la raison q est déterminée par le coefficient multiplicatif dans la relation de récurrence, ici q = 1,2, ce qui montre que (vₙ) est une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• La suite (vₙ) est définie par vₙ = uₙ - 500, ce qui permet de recentrer la suite (uₙ) autour de 500.
• La relation de récurrence uₙ₊₁ = 1,2 uₙ - 100 peut être transformée en une relation pour (vₙ) :
  vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 500 = 1,2 uₙ - 100 - 500 = 1,2 (vₙ + 500) - 600 = 1,2 vₙ + 600 - 600 = 1,2 vₙ.
• Ainsi, vₙ₊₁ = 1,2 vₙ, ce qui montre que (vₙ) est une suite géométrique de raison q = 1,2.
• La raison 1,2 est liée à la relation de récurrence par le facteur multiplicatif dans l’expression de vₙ₊₁, confirmant la nature géométrique de (vₙ).
• La forme explicite de vₙ : vₙ = v₀ * (1,2)^n, avec v₀ = u₀ - 500 = 1000 - 500 = 500.
• La suite uₙ peut alors s’écrire en fonction de n : uₙ = vₙ + 500 = 500 * (1,2)^n + 500.

💡 À retenir

La suite (vₙ), définie par vₙ = uₙ - 500, est une suite géométrique dont la raison est directement liée à la coefficient multiplicatif dans la relation de récurrence de (uₙ), permettant d’obtenir une expression explicite de uₙ en fonction de n.

📖 6. Expression de uₙ et vₙ

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression explicite de uₙ en fonction de n : Forme fermée permettant de calculer directement uₙ à partir de n, sans recourir à la suite récurrente (voir lien avec suites récurrentes). Par exemple, si uₙ est géométrique, on peut écrire uₙ = u₀ * rⁿ + c, où u₀, r, c sont des constantes déterminées par la suite (source : rappel général sur suites géométriques).
• Expression explicite de vₙ en fonction de n : Forme fermée de vₙ, souvent obtenue en exprimant vₙ = uₙ - k, avec k une constante, pour simplifier l’étude de la suite (source : rappel général sur suites géométriques).
• Lien entre expressions explicites et suites récurrentes : La formule explicite permet de calculer uₙ ou vₙ directement en n, à partir de la relation de récurrence initiale, facilitant l’analyse de leur comportement asymptotique ou de croissance (source : rappel général sur suites récurrentes).

📝 Points essentiels

• La suite (uₙ) est définie par une relation de récurrence : uₙ₊₁ = 1,2 uₙ - 100, avec u₀ = 1000. Pour obtenir une expression explicite, on identifie la suite comme une suite géométrique affine. La forme générale est :
  $uₙ = A \times r^n + B$ où r est la raison de la suite géométrique, et A, B sont des constantes déterminées par u₀ et la relation de récurrence.
• La suite (vₙ) est définie par vₙ = uₙ - 500. En exprimant uₙ en fonction de n, on déduit directement vₙ. La suite (vₙ) est géométrique, avec une raison liée à celle de (uₙ).
• La relation entre (uₙ) et (vₙ) permet de simplifier l’analyse : si (vₙ) est géométrique, alors (uₙ) est aussi géométrique, avec une expression explicite en n.
• La formule explicite de uₙ facilite la résolution de problèmes comme le dépassement d’un seuil (ex : 30 kg), en évitant le calcul itératif.

💡 À retenir

L’expression explicite de uₙ et vₙ permet de calculer directement leur valeur en fonction de n, simplifiant ainsi l’analyse du comportement de la suite et la résolution de problèmes liés à leur croissance ou décroissance. La relation entre suites récurrentes et leurs formes explicites est essentielle pour une étude efficace.

📖 7. Limite de f(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de f(x) en +∞ : La valeur vers laquelle la fonction f(x) tend lorsque x tend vers +∞. Si cette limite existe, on note lim (x→+∞) f(x).
• Valeur de la limite à l’infini : La valeur précise que f(x) approche lorsque x devient très grand. Par exemple, si lim (x→+∞) f(x) = L, alors pour x suffisamment grand, f(x) est proche de L.
• Interprétation de l’asymptote horizontale : Une droite horizontale y = L est asymptote horizontale à la courbe de f si lim (x→+∞) f(x) = L. Cela signifie que la courbe se rapproche de cette droite sans nécessairement la toucher.
• AUTEUR (date) : La limite en +∞ permet d’étudier le comportement asymptotique d’une fonction, essentielle pour analyser ses tendances à long terme.

📝 Points essentiels

• La limite lim (x→+∞) f(x) existe si la fonction se rapproche d’un nombre L lorsque x devient très grand. Elle peut être finie ou infinie.
• Si lim (x→+∞) f(x) = L (fini), alors la droite y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f.
• La valeur de cette limite indique le comportement asymptotique : si elle est nulle, la fonction tend vers 0 ; si elle est différente de 0, la fonction se stabilise autour de cette valeur.
• La limite à l’infini est essentielle pour déterminer si une fonction admet une asymptote horizontale, ce qui influence la représentation graphique et l’analyse du comportement à long terme.
• La limite lim (x→+∞) f(x) est souvent calculée en utilisant des techniques de limite, telles que la règle de l’Hôpital ou l’analyse asymptotique, notamment pour des fonctions composées ou exponentielles.

💡 À retenir

La limite de f(x) en +∞ indique le comportement asymptotique de la fonction : si elle existe et est finie, la courbe admet une asymptote horizontale.

📖 8. Dérivée de f(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une fonction : La dérivée f’(x) d’une fonction f(x) mesure la variation instantanée de f en un point x, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en ce point. AUTEUR (date) : "La dérivée représente la vitesse de variation locale de la fonction."

• Calcul de la dérivée d’une fonction composée : Si f(x) = u(x) * v(x), alors f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x). Pour une composition f(g(x)), la dérivée est donnée par la règle de la chaîne : f’(g(x)) = f’(g(x)) * g’(x). AUTEUR (date) : "La règle de la dérivée d’une composition est essentielle pour différencier des fonctions complexes."

• Valeur de la dérivée en un point : La valeur f’(a) indique la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Elle permet de déterminer si la fonction est croissante (f’(a) > 0) ou décroissante (f’(a) < 0) en ce point. AUTEUR (date) : "La valeur de la dérivée en un point est un indicateur local de la croissance ou décroissance de la fonction."

• Utilisation de la dérivée pour étudier la fonction : La dérivée permet d’établir le tableau de variations, de repérer les extrema locaux et de déterminer la convexité ou concavité de la courbe. Elle est également utilisée pour calculer la tangente en un point. AUTEUR (date) : "L’analyse de la dérivée est fondamentale pour comprendre le comportement global d’une fonction."

📝 Points essentiels

• La fonction f(x) = x² e^(-x+1) est dérivable sur ℝ₊* et sa dérivée peut être calculée en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne.
• La dérivée f’(x) s’obtient en différenciant chaque facteur :
  f’(x) = d/dx [x²] * e^(-x+1) + x² * d/dx [e^(-x+1)]
  = 2x * e^(-x+1) + x² * e^(-x+1) * (-1)
  = e^(-x+1) * (2x - x²)
• La valeur de f’(2) se calcule en substituant x = 2 :
  f’(2) = e^(-2+1) * (2*2 - 2²) = e^{-1} * (4 - 4) = 0.
• La dérivée permet d’établir le tableau de variations de f, en étudiant le signe de f’(x).
• La courbe admet une asymptote horizontale en limite de f(x) lorsque x → +∞, car f(x) tend vers 0.
• La convexité de f(x) est étudiée via la dérivée seconde f’’(x), permettant de repérer les points d’inflexion.

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction, calculée à l’aide des règles de différenciation, permet d’analyser son comportement local et global, notamment en déterminant ses variations, ses extrema et sa convexité. La formule de f’(x) pour f(x) = x² e^(-x+1) est e^(-x+1) (2x - x²).

📖 9. Variations de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Étude des variations : Analyse du comportement d'une fonction f en déterminant ses intervalles de croissance et de décroissance à partir de sa dérivée f’(x) (voir section 8).
• Points critiques : Points où f’(x) = 0 ou n’est pas défini, susceptibles d’être des points de maximum, minimum ou d’inflexion.
• Intervalles de croissance et décroissance : Segments de la courbe où la fonction f augmente (croissance) ou diminue (décroissance), déterminés par le signe de f’(x).
• Tableau de variations : Représentation synthétique du comportement de f sur ℝ₊*, indiquant ses intervalles de croissance/décroissance, ses extremums et ses limites (voir section 7).
• AUTEUR : La méthode d’étude des variations s’appuie sur la dérivée (voir ES Métropole-La Réunion sept 2006).

📝 Points essentiels

• La dérivée f’(x) permet d’identifier les intervalles où f est croissante (f’(x) > 0) ou décroissante (f’(x) < 0).
• Les points où f’(x) = 0 sont des candidats pour des extremums locaux ; leur nature (maximum ou minimum) est déterminée par le signe de f’(x) autour de ces points.
• La limite de f(x) à l’infini, notamment si elle tend vers une asymptote horizontale (lim (x→+∞) f(x) = L), influence la forme globale du tableau de variations.
• La dérivée seconde f’’(x) permet d’étudier la convexité de f et de repérer d’éventuels points d’inflexion, mais ce n’est pas le focus principal dans l’étude des variations (voir section 10).
• La connaissance de f’(x) et de ses racines permet de dresser le tableau de variations, synthétisant le comportement de la fonction sur ℝ₊*.

💡 À retenir

L’étude des variations de f repose principalement sur le signe de sa dérivée f’(x) : elle indique où la fonction croît ou décroît, permettant de repérer ses extremums et de dresser son tableau de variations.

📖 10. Courbe et asymptote

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique de la courbe 𝒞_f : tracé de la fonction f(x) dans un plan cartésien, permettant d’étudier visuellement son comportement, ses variations et ses asymptotes.
• Existence et équation de l’asymptote horizontale : une droite horizontale y = L (avec L une constante) est asymptote à 𝒞_f si lim (x→+∞) f(x) = L. Selon ES Métropole-La Réunion (sept 2006), cette limite caractérise le comportement de la courbe à l’infini.
• Équation de la tangente à 𝒞_f au point d’abscisse 4 : la droite passant par le point (4, f(4)) et ayant pour pente f’(4), donnée par y = f(4) + f’(4)(x - 4). Elle représente la meilleure approximation locale de la courbe en ce point.
• Limite de f(x) à l’infini : valeur que f(x) approche lorsque x tend vers +∞, permettant d’identifier une éventuelle asymptote horizontale.
• Dérivée de f(x) : f’(x), mesure la pente de la courbe en un point, essentielle pour déterminer les variations et la tangente en un point donné.

📝 Points essentiels

• La courbe 𝒞_f est représentée graphiquement pour analyser le comportement global de la fonction f, notamment ses variations et ses asymptotes.
• La limite lim (x→+∞) f(x) indique si une asymptote horizontale existe et, si oui, sa position. Selon ES Métropole-La Réunion (sept 2006), si cette limite est finie, y = lim (x→+∞) f(x) est l’asymptote horizontale.
• L’équation de la tangente en un point d’abscisse 4 est donnée par y = f(4) + f’(4)(x - 4). Elle permet d’étudier le comportement local de la courbe en ce point.
• La dérivée f’(x) est calculée à partir de f(x) = x² e^(-x+1), et son signe détermine les intervalles de croissance ou décroissance de f.
• La convexité de f est étudiée via la dérivée seconde f’’(x), permettant d’identifier les points d’inflexion où la courbure change.

💡 À retenir

La limite de f(x) à l’infini détermine l’existence d’une asymptote horizontale, et l’équation de la tangente en un point précis fournit une approximation locale de la courbe, essentielle pour analyser son comportement global et local.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre croissance additive et multiplicative : penser que +100 g est une croissance multiplicative alors que c’est une perte fixe.
2. Supposer que la suite uₙ est forcément croissante sans vérifier que uₙ > 1000 à chaque étape.
3. Confondre la suite uₙ (modélisation) et la suite vₙ (expression explicite), en oubliant leur lien vₙ = uₙ - 500.
4. Oublier que la croissance de 20% (facteur 1,2) doit être analysée en relation avec la perte fixe pour déterminer la tendance.
5. Mal interpréter la limite d’une suite : une suite croissante n’est pas forcément bornée, donc pas toujours convergente.
6. Confondre la méthode numérique (calculatrice, algorithme) et la démonstration analytique pour déterminer n.
7. Négliger l’hypothèse initiale u₀ = 1000 g lors de la démonstration de croissance ou de convergence.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une suite récurrente et sa modélisation dans le contexte de croissance bactérienne.
2. Savoir écrire la relation de récurrence uₙ₊₁ = 1,2 uₙ - 100 et l’interpréter.
3. Être capable de déterminer si la suite (uₙ) est croissante ou décroissante selon la valeur initiale et la relation.
4. Connaître la formule de la suite géométrique vₙ = v₀ × qⁿ, avec v₀ = u₀ - 500 et q = 1,2.
5. Savoir utiliser une calculatrice ou un algorithme pour calculer le nombre de jours n nécessaire pour atteindre ou dépasser 30 kg.
6. Comprendre l’intérêt de la suite vₙ pour exprimer uₙ explicitement.
7. Connaître la définition et la méthode pour calculer la limite d’une suite, notamment si elle est croissante ou géométrique.
8. Maîtriser la notion de limite d’une fonction f(x) et l’interprétation géométrique de la courbe et de l’asymptote.
9. Savoir différencier croissance, maximum, minimum et asymptote dans le contexte d’une courbe.
10. Connaître la relation entre dérivée de f(x), variations de f, et la forme de la courbe.
11. Être capable d’interpréter graphiquement la croissance bactérienne, la courbe de f, et ses asymptotes.
12. Connaître la référence de Bac - Asie, 2016, pour la relation de récurrence et la croissance.