Fiche de révision : Mouvement dans les champs uniformes

📋 Plan du Cours

1. Centre de masse et lois de Newton
2. Caractériser les champs étudiés
3. Chute libre dans le champ de pesanteur
4. Projectile lancé dans la pesanteur
5. Énergie et travail des forces
6. Particule dans un champ électrique
7. Gravitation, Kepler et outils numériques

📖 1. Centre de masse et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse : Point auquel on affecte la masse totale d’un système pour modéliser son mouvement d’ensemble.
• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel le principe d’inertie s’applique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}} = m\vec{a}_G$.

📌 Selon la troisième loi de Newton, si A exerce une force sur B, B exerce sur A une force de même direction et de même valeur, mais de sens opposé.

Compléments

📌 Dans un référentiel galiléen, un système isolé ou pseudo-isolé reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

• La résultante des forces extérieures et l’accélération du centre de masse ont même direction et même sens.

📌 Un système au repos dont la vitesse est nulle et constante a une accélération nulle ; d’après la deuxième loi de Newton, ses forces extérieures se compensent.

💡 Astuce mémo

Le centre de masse décrit le mouvement d’ensemble, pas les mouvements internes du système.

📖 2. Caractériser les champs étudiés

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ uniforme : Champ qui possède les mêmes direction, sens et valeur en tout point d’une région de l’espace.
• Champ de pesanteur : Le champ de pesanteur est défini par $\vec{g}=\frac{\vec{P}}{m}$ et est dirigé verticalement vers le centre de la Terre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Entre les armatures d’un condensateur plan, la norme du champ électrique vaut $E=\frac{U_{PN}}{d}$.

Compléments

• La norme du champ de pesanteur vaut 9,81 N·kg⁻¹ à Paris.

• Dans un condensateur plan, le champ électrique est perpendiculaire aux armatures et orienté de l’armature positive vers l’armature négative.

📐 Formule - Le champ gravitationnel créé par un corps de masse M à une distance d vaut en norme $G\frac{M}{d^2}$ et est dirigé vers le centre de ce corps.

💡 Astuce mémo

Le champ uniforme garde direction et norme ; le champ gravitationnel varie et reste centripète.

📖 3. Chute libre dans le champ de pesanteur

★ À maîtriser

• Pour une chute libre sans vitesse initiale, l’accélération verticale est constante et dirigée vers le bas, la vitesse verticale devient $v_z(t)=-gt$ et la position verticale devient $z(t)=-\frac{1}{2}gt^2$ pour un axe orienté vers le haut et une origine au point de lâcher.

• Pour un système soumis uniquement à son poids, l’accélération du centre de masse est égale au champ de pesanteur et ne dépend pas de la masse du système.

Compléments

• Le mouvement d’une balle lâchée sans vitesse initiale est rectiligne uniformément accéléré, avec une accélération verticale égale à −g si l’axe vertical est orienté vers le haut.

📌 Dans l’étude de la chute libre du cours, les frottements de l’air sont négligés et le référentiel terrestre est considéré galiléen.

💡 Astuce mémo

Poids seul → accélération égale au champ de pesanteur, indépendante de la masse.

📖 4. Projectile lancé dans la pesanteur

★ À maîtriser

• Pour un projectile lancé avec une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme, l’accélération est verticale et la coordonnée perpendiculaire au plan du mouvement reste constante.

📐 Formule - Pour un projectile lancé depuis l’origine avec une vitesse initiale de norme V₀ et un angle α au-dessus de l’horizontale, les équations horaires sont $x(t)=V_0\cos(\alpha)t$ et $y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+V_0\sin(\alpha)t$.

📐 Formule - La trajectoire du projectile vérifie $y(x)=-\frac{g}{2(V_0\cos\alpha)^2}x^2+\tan(\alpha)x$.

Compléments

• La trajectoire d’un projectile lancé dans le champ de pesanteur uniforme est une parabole de concavité orientée vers le bas et dépend de V₀ et de α.

📐 Formule - Pour un tir qui atteint son sommet à la date $t_S=\frac{V_0\sin\alpha}{g}$, la flèche vaut $h=\frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.

📐 Formule - Pour une trajectoire symétrique, la portée vaut $OP=\frac{V_0^2\sin(2\alpha)}{g}$.

• Pour déterminer la portée d’une trajectoire non symétrique, il faut résoudre $y(x)=0$ puis retenir la solution positive correspondant au point d’impact.

💡 Astuce mémo

Une parabole tournée vers le bas, dont la composante verticale de vitesse s’annule au sommet.

📖 5. Énergie et travail des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : L’énergie cinétique d’un système de masse m et de vitesse v est $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.
• Énergie mécanique : L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, soit $E_m=E_c+E_p$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un champ uniforme, l’énergie mécanique se conserve lorsque les forces considérées sont conservatives : $E_m=E_c+E_p=\text{constante}$.

📐 Formule - Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{AB}(\vec{F})$.

Compléments

📐 Formule - Le travail d’une force constante lors du déplacement de A vers B vaut $W_{AB}(\vec{F})=\vec{F}\cdot\vec{AB}=F\,AB\cos(\alpha)$.

📐 Formule - L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit $E_{pp}=mgz+C$ et l’énergie potentielle électrique $E_{pe}=qV+C$.

💡 Astuce mémo

Énergie mécanique conservée si les forces considérées sont conservatives ; énergie cinétique varie selon le travail total.

📖 6. Particule dans un champ électrique

★ À maîtriser

📐 Formule - La force électrique exercée sur une particule de charge q dans un champ électrique vaut $\vec{F}_e=q\vec{E}$.

📐 Formule - Dans un champ électrique uniforme, l’accélération d’une particule de masse m et de charge q vaut $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une particule lancée horizontalement à la vitesse V₀ dans le champ dont la composante verticale vaut −E, les équations horaires sont $x(t)=V_0t$ et $y(t)=-\frac{qE}{2m}t^2$.

📐 Formule - Dans les mêmes conditions initiales, la trajectoire vérifie $y(x)=-\frac{qE}{2mV_0^2}x^2$.

• Une particule initialement immobile ou lancée dans la direction du champ électrique peut être accélérée sur une trajectoire rectiligne par un champ électrique.

• Un accélérateur linéaire de particules chargées est constitué d’un ou plusieurs condensateurs plans associés en série et sert notamment à la recherche, à l’imagerie ou à des fins thérapeutiques.

📐 Formule - Dans le condensateur plan, le travail de la force électrique fait varier l’énergie cinétique selon $\Delta E_c=W_{AB}(\vec{F}_e)=qU_{AB}$.

💡 Astuce mémo

La charge positive accélère dans le sens de E ; la charge négative dans le sens opposé.

📖 7. Gravitation, Kepler et outils numériques

★ À maîtriser

• Pour un mouvement circulaire dans un champ de gravitation newtonien, les capacités du chapitre demandent de déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse et d’établir puis d’exploiter la troisième loi de Kepler.

Compléments

• Les capacités numériques du chapitre comprennent le test des deuxième et troisième lois de Kepler à partir de données astronomiques ou satellitaires avec un langage de programmation.

• Les données expérimentales peuvent servir à représenter l’évolution des énergies cinétique, potentielle et mécanique d’un système dans un champ uniforme à l’aide d’un programme ou d’un tableur.

• Les outils mathématiques mobilisés dans le chapitre sont la résolution d’équations différentielles, le calcul de primitives et la représentation paramétrique d’une courbe.