Fiche de révision : Circuits électriques et énergie

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des circuits électriques
2. Charge et courant électriques
3. Potentiel et tension électriques
4. Propriétés des tensions électriques
5. Dipôles linéaires en régime continu
6. Méthode générale de Kirchhoff
7. Transformations de circuits
8. Diviseurs de tension et de courant
9. Pouillet et potentiels de nœuds
10. Principe de superposition
11. Puissance et bilans énergétiques
12. Condensateur et effet capacitif
13. Bobine et effet auto-inductif
14. Continuité et régime constant

📖 1. Vocabulaire des circuits électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle : Système électrique relié à l’extérieur par deux bornes.
• Réseau électrique : Ensemble de dipôles reliés par des fils de connexion.
• Nœud : Point du circuit où sont connectés plus de deux fils.
• Branche : Ensemble de dipôles montés bout à bout entre deux nœuds ; les dipôles d’une même branche sont en série.
• Maille : Ensemble de branches formant un chemin fermé qui ne passe qu’une seule fois par un nœud donné.

📝 Points essentiels

📌 Deux branches sont en parallèle, ou en dérivation, lorsqu’elles ont leurs deux nœuds en commun ; deux dipôles sont en parallèle lorsque leurs bornes sont connectées deux à deux.

📖 2. Charge et courant électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge électrique : Grandeur scalaire algébrique qui caractérise les interactions électromagnétiques d’une particule et s’exprime en coulombs (C).
• Courant électrique : Déplacement d’ensemble de charges libres au sein d’un conducteur.
• ARQS : Approximation, aussi appelée ARQP, qui permet de traiter un régime variable comme suffisamment lent pour que le courant soit considéré identique en tout point d’un fil non bifurqué.

★ À maîtriser

• La charge totale d’un système est la somme algébrique des charges qui le constituent et est un multiple entier relatif de la charge élémentaire $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. - Millikan, 1910

• Une charge liée ne peut pas se déplacer sur des distances supérieures à l’ångström, tandis qu’une charge libre peut se déplacer sur de grandes distances sous l’action de forces extérieures.

• Un conducteur contient des charges libres qui permettent le passage d’un courant, tandis qu’un isolant ne contient que des charges liées et empêche le passage du courant.

• Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des charges positives équivalentes ; dans un fil métallique, les électrons libres se déplacent en sens inverse.

📐 Formule - L’intensité algébrique est le débit de charges traversant une section dans le sens de comptage choisi : $I = \frac{Q}{\Delta t}$, et son unité est l’ampère (A), équivalent à C·s⁻¹.

• Un ampèremètre affiche l’intensité algébrique du courant qui entre par sa borne A ou mA et ressort par sa borne COM.

📌 Pour mesurer le courant d’une branche, l’ampèremètre se branche en série avec les autres dipôles de cette branche.

• En régime stationnaire, les propriétés du courant sont : l’intensité est identique en tout point d’un fil non bifurqué, les dipôles en série sont traversés par le même courant, le courant est nul dans une branche ouverte

📌 En régime stationnaire, la loi des nœuds impose que la somme des courants entrants dans un nœud soit égale à la somme des courants sortants.

📐 Formule - Pour un circuit de taille $L$ et un signal de période $T$, l’ARQS s’applique lorsque $L \ll cT$, soit $T \gg \frac{L}{c}$ ou $f \ll \frac{c}{L}$, avec $c \approx 10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

Compléments

• Un proton porte la charge $+e = +1{,}6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, tandis qu’un électron porte la charge $-e = -1{,}6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

• Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s’attirent.

• Les ordres de grandeur indiqués sont :

  • 0,1 A pour l’électrocution
  • 1 A pour une ampoule à incandescence
  • jusqu’à 10 A pour un radiateur électrique
  • jusqu’à 5 kA pour un orage

💡 Astuce mémo

Charges libres mobiles ; charges liées immobilisées à l’échelle macroscopique.

📖 3. Potentiel et tension électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel électrique : Grandeur définie en tout point d’un circuit et s’exprimant en volts (V).
• Tension électrique : Différence de potentiels électriques entre deux points ; elle s’exprime en volts (V).

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension entre A et B vérifie $U_{AB} = V_A - V_B$ et la tension inverse vérifie $U_{BA} = V_B - V_A = -U_{AB}$.

📌 Pour mesurer la tension entre deux points, le voltmètre se connecte directement à ces points ; pour mesurer la tension aux bornes d’un dipôle, il se branche en dérivation avec ce dipôle.

📌 Sauf indication contraire, la différence de potentiel aux bornes des fils de connexion est négligée, si bien que deux points reliés uniquement par des fils ont le même potentiel.

Compléments

📌 L’analogie électrique associe l’interaction électromagnétique à l’attraction gravitationnelle, la force électrique au poids et le potentiel électrique à l’altitude.

• La tension $V_A - V_B$ est représentée par une flèche allant de B vers A.

• Les ordres de grandeur des tensions indiqués sont : de 1,5 V à 9 V pour les piles du commerce, 12 V pour une batterie de voiture, 230 V pour le réseau EDF, 500 kV pour une ligne à haute tension, jusqu’à 100 000 kV entre le sol et un nuage d’orage

• Un voltmètre affiche la différence de potentiel entre sa borne V et sa borne COM, soit $U = V_{\text{borne V}} - V_{\text{borne COM}}$.

• Un voltmètre idéal a une résistance interne infinie, ne laisse passer aucun courant et équivaut à un interrupteur ouvert.

💡 Astuce mémo

Le potentiel décrit un point ; la tension compare deux points.

📖 4. Propriétés des tensions électriques

📝 Points essentiels

• Les points reliés uniquement par des fils de connexion idéaux ont le même potentiel, ce qui permet de raccourcir ou d’allonger les fils pour simplifier un schéma, mais pas de les supprimer.

• Deux branches sont en parallèle lorsqu’elles sont connectées aux deux mêmes nœuds, et elles ont alors la même tension à leurs bornes.

• L’additivité des tensions le long d’un chemin donne $U_{AB}=U_{AA_1}+U_{A_1A_2}+\cdots+U_{A_nB}$.

• En choisissant un sens de parcours d’une maille et en définissant les tensions dans ce sens, la loi des mailles impose $\sum_k U_k=0$.

📖 5. Dipôles linéaires en régime continu

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractéristique tension-courant : Relation entre la tension U à ses bornes et le courant I qui le traverse.
• Dipôle linéaire : Un dipôle est linéaire en régime permanent continu si sa caractéristique est une droite de la forme $U=aI+b$, où a et b sont constants.

★ À maîtriser

📌 En convention récepteur, les flèches de tension et de courant sont opposées, tandis qu’en convention générateur elles sont dans le même sens.

• Une source idéale de tension impose $U=E$ quelle que soit l’intensité, tandis qu’une source idéale de courant impose $I=I_N$ quelle que soit la tension.

📐 Formule - Pour une résistance R, la loi d’Ohm donne $U=RI$ en convention récepteur et $U=-RI$ en convention générateur.

📌 Un dipôle passif ne peut pas fournir d’énergie électrique et sa caractéristique passe par l’origine, tandis qu’un dipôle actif réalise un transfert énergétique et sa caractéristique ne passe pas par l’origine.

📌 Un interrupteur ouvert impose un courant nul dans sa branche et se modélise par une résistance infinie, mais sa tension n’est pas nécessairement nulle et dépend du reste du circuit.

• Un dipôle actif réel se modélise par un modèle de Thévenin, avec une source de tension en série avec une résistance interne, ou par un modèle de Norton, avec une source de courant en parallèle avec une résistance interne.

Compléments

• En régime permanent continu, les courants et les tensions d’un circuit ne varient pas au cours du temps.

• L’intensité de court-circuit $I_{cc}$ est le courant lorsque la tension du dipôle est nulle, et la tension à vide est sa tension lorsque le courant est nul.

📐 Formule - Pour un condensateur en régime variable, $i(t)=C\frac{du}{dt}$, et pour une bobine, $u(t)=L\frac{di}{dt}$.

📐 Formule - La conductance d’une résistance vaut $G=\frac{1}{R}$ et s’exprime en siemens, avec $1\,\mathrm{S}=1\,\Omega^{-1}$.

• Dans une résistance, les interactions des charges mobiles avec le milieu conducteur convertissent l’énergie électrique en énergie thermique ; cet échauffement est l’effet Joule.

📐 Formule - La résistance d’un fil est proportionnelle à sa longueur ℓ et inversement proportionnelle à l’aire S de sa section : $R=\rho\frac{\ell}{S}$, où ρ est la résistivité du matériau.

📌 Un dipôle électromoteur transforme une énergie chimique, mécanique ou lumineuse en énergie électrique, tandis qu’un dipôle contre-électromoteur transforme l’énergie électrique en une autre forme d’énergie.

📌 Un dipôle actif réversible peut fonctionner en modes électromoteur et contre-électromoteur selon le sens du courant, contrairement à une pile non rechargeable.

💡 Astuce mémo

Tension fixée pour la source idéale de tension, courant fixé pour la source idéale de courant.

📖 6. Méthode générale de Kirchhoff

★ À maîtriser

• La méthode de Kirchhoff consiste à compter les branches, retrancher les courants connus des branches avec source de courant, réduire les inconnues avec les lois des nœuds, écrire autant de lois des mailles indépendantes que d’inconnues restantes, puis résoudre le système.

Compléments

📌 Dans la méthode de Kirchhoff, les tensions inconnues ne doivent pas être ajoutées comme de nouvelles variables : elles doivent être exprimées à partir des f.é.m. connues ou des courants avec la loi d’Ohm.

📌 Pour éviter les lois des mailles redondantes, l’ensemble des branches ne comportant pas de source de courant doit être pris en compte.

💡 Astuce mémo

Compter, retirer les courants connus, appliquer les nœuds, écrire les mailles, résoudre.

📖 7. Transformations de circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôles équivalents : Deux dipôles sont équivalents si, pour tout courant I, ils ont la même tension à leurs bornes et donc la même caractéristique tension-courant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n résistances en série, la résistance équivalente est $R_{eq}=R_1+\cdots+R_n$.

📐 Formule - Pour n résistances en parallèle, $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\cdots+\frac{1}{R_n}$, donc les conductances s’additionnent.

📐 Formule - Un modèle de Thévenin de paramètres E et R est équivalent à un modèle de Norton de paramètres $I_N=\frac{E}{R}$ et R, soit $E=RI_N$.

📌 Tout dipôle constitué uniquement de résistances, de f.é.m. et de courants électromoteurs est équivalent à un dipôle actif linéaire unique, représentable en modèle de Thévenin ou de Norton.

Compléments

• Des f.é.m. en série s’ajoutent algébriquement selon leur sens, et des courants électromoteurs en parallèle s’ajoutent également algébriquement selon leur sens.

📌 L’ordre des dipôles dans une branche série et l’ordre des branches en parallèle peuvent être modifiés sans changer le fonctionnement global du circuit.

📖 8. Diviseurs de tension et de courant

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des résistances en série, si Ui et U totale sont définies selon la même convention par rapport au courant, le diviseur de tension donne $U_i=\frac{R_i}{R_1+\cdots+R_n}U_{totale}$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, si Ii et I total ont la même convention par rapport à la tension, le diviseur de courant donne $I_i=\frac{1/R_i}{1/R_1+\cdots+1/R_n}I_{total}$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, le courant dans une branche de résistance R_i vaut $I_i = \frac{1/R_i}{\sum_{k=1}^{n}1/R_k}I_{total}$ lorsque les courants ont la même convention de fléchage.

Compléments

• Dans un ensemble de résistances en parallèle, la tension est identique aux bornes de chaque résistance.

📐 Formule - Si le courant de branche et le courant total ont des conventions de fléchage opposées, le courant de branche vaut $I_i = -\frac{1/R_i}{\sum_{k=1}^{n}1/R_k}I_{total}$.

💡 Astuce mémo

Série : partage de tension ; parallèle : partage de courant.

📖 9. Pouillet et potentiels de nœuds

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un circuit constitué d’une seule maille avec des sources idéales de tension et des résistances en série, la loi de Pouillet donne $I = \frac{\sum_k \epsilon_k E_k}{\sum_k R_k}$, où $\epsilon_k=+1$ si la f.é.m. suit le sens choisi pour I et $\epsilon_k=-1$ sinon.

Compléments

• Pour le circuit représenté, la loi de Pouillet donne $I = \frac{E_1-E_2+E_3}{R_1+R_2+R_3+R_4}$.

📐 Formule - La loi des nœuds en terme de potentiel au nœud N s’écrit $\frac{V_A-V_N}{R_A}+\frac{V_B-V_N}{R_B}+\frac{V_C-V_N}{R_C}+\frac{V_D-V_N}{R_D}=0$.

• Le théorème de Millman est un cas particulier de la loi des nœuds en terme de potentiel, applicable aux circuits constitués de branches en parallèle entre deux nœuds.

📐 Formule - Pour le circuit à deux nœuds présenté, le théorème de Millman donne $U=V_N-V_M=\frac{E_1/R_1-E_2/R_2+I_4-I_5}{1/R_1+1/R_2+1/R_3}$.

📖 10. Principe de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de superposition : Le principe de superposition stipule que, dans un système linéaire, la réponse à plusieurs excitations indépendantes est la somme des réponses produites par chacune séparément.

★ À maîtriser

📌 Dans un circuit linéaire à plusieurs sources, le courant de chaque branche et les tensions sont les sommes algébriques des contributions obtenues en faisant fonctionner une seule source à la fois, les autres étant éteintes.

📌 Éteindre une source idéale de tension revient à la remplacer par un fil, tandis qu’éteindre une source idéale de courant revient à la remplacer par un interrupteur ouvert.

Compléments

• Une source réelle de tension ou de courant éteinte est équivalente à sa résistance interne.

📖 11. Puissance et bilans énergétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation dimensionnelle entre énergie, puissance et durée est $E=P\Delta t$.

📌 En convention récepteur, la puissance reçue vaut $P_{reçue}=UI$ et la puissance fournie vaut $P_{fournie}=-UI$ ; en convention générateur, les signes associés à ces expressions sont inversés.

📌 Un dipôle fonctionne en récepteur lorsque $P_{reçue}\geq 0$, et en générateur lorsque $P_{fournie}\geq 0$.

• Une résistance fonctionne toujours en récepteur et dissipe par effet Joule une puissance $P_{reçue}=RI^2=U^2/R\geq 0$.

Compléments

📌 Une source idéale de tension ou de courant est électromotrice lorsqu’elle fonctionne en générateur et contre-électromotrice lorsqu’elle fonctionne en récepteur.

📌 Selon le théorème de Boucherot, la puissance consommée ou générée par une association de dipôles est la somme des puissances consommées ou générées par chacun d’eux.

📐 Formule - En régime permanent continu, l’énergie consommée ou générée pendant une durée $\Delta t$ vaut $E=P\Delta t$.

📐 Formule - En régime variable, l’énergie consommée ou générée entre $t_i$ et $t_f$ vaut $E=\int_{t_i}^{t_f}P(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Puissance reçue positive : le dipôle absorbe ; puissance fournie positive : il délivre.

📖 12. Condensateur et effet capacitif

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Dipôle constitué de deux armatures conductrices en influence totale, séparées par un isolant, dont les charges sont égales en valeur absolue et opposées en signe.
• Effet capacitif : Aptitude d’un dispositif à stocker des charges sous l’effet d’une différence de potentiels et à retarder les variations de tension.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un condensateur idéal, la charge d’une armature et la tension vérifient $q(t)=Cu(t)$, où C est une capacité positive exprimée en farads.

📐 Formule - En convention récepteur, le courant d’un condensateur idéal vérifie $i(t)=C\frac{du}{dt}$ ; en convention générateur, il vérifie $i(t)=-C\frac{du}{dt}$.

📌 En régime permanent continu, un condensateur idéal se comporte comme un interrupteur ouvert.

📐 Formule - L’énergie électrostatique stockée dans un condensateur vaut $E_C(t)=\frac{1}{2}Cu^2(t)$.

📌 La tension et la charge d’un condensateur sont continues dans le temps, mais le courant qui le traverse peut être discontinu.

Compléments

📐 Formule - La capacité d’un condensateur plan vaut $C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{S}{e}$, où S est l’aire d’une armature, e l’écart entre les armatures et $\epsilon_r$ la permittivité relative du diélectrique.

💡 Astuce mémo

Condensateur : tension continue, courant potentiellement discontinu.

📖 13. Bobine et effet auto-inductif

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur, éventuellement autour d’un noyau ferromagnétique, qui exploite l’effet auto-inductif.
• Effet auto-inductif : Phénomène où un courant variable dans un conducteur engendre un courant d’induction qui ralentit la variation du courant initial et stocke de l’énergie magnétique dans une bobine.

★ À maîtriser

📐 Formule - En convention récepteur, la tension d’une bobine idéale vérifie $u(t)=L\frac{di}{dt}$, où L est l’inductance exprimée en henrys.

📌 En régime permanent continu, une bobine idéale se comporte comme un fil de connexion.

📐 Formule - L’énergie magnétique stockée dans une bobine vaut $E_L(t)=\frac{1}{2}Li^2(t)$.

📌 Le courant traversant une bobine est continu dans le temps, mais la tension à ses bornes peut être discontinue.

Compléments

📐 Formule - En convention générateur, la tension d’une bobine idéale vérifie $u(t)=-L\frac{di}{dt}$.

💡 Astuce mémo

Bobine : courant continu, tension potentiellement discontinue.

📖 14. Continuité et régime constant

📝 Points essentiels

📌 En mathématiques, une fonction continue n’est pas nécessairement constante, et une fonction constante par morceaux n’est pas nécessairement continue.

💡 Astuce mémo

Continu signifie sans rupture ; constant signifie sans variation.

📊 Tableaux de synthèse

Comportement en régime permanent continu