Fiche de révision : Trigonométrie et théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Repérage des côtés dans un triangle rectangle
2. Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle
3. Choix et usage des rapports trigonométriques
4. Théorème de Pythagore et conditions
5. Calculs avec le théorème de Pythagore

📖 1. Repérage des côtés dans un triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit.

📝 Points essentiels

📌 Par rapport à un angle aigu donné, le côté adjacent touche cet angle sans être l’hypoténuse, tandis que le côté opposé ne touche pas cet angle.

📖 2. Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$, le cosinus est le rapport de la longueur du côté adjacent à celle de l’hypoténuse : $\cos(\widehat{A})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$, le sinus est le rapport de la longueur du côté opposé à celle de l’hypoténuse : $\sin(\widehat{A})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$, la tangente est le rapport de la longueur du côté opposé à celle du côté adjacent : $\tan(\widehat{A})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.

📖 3. Choix et usage des rapports trigonométriques

★ À maîtriser

📌 Les rapports trigonométriques s’utilisent dans un triangle rectangle en considérant un angle aigu.

• Les rapports trigonométriques relient un angle aigu et deux longueurs du triangle rectangle ; connaître deux de ces trois grandeurs permet de chercher la troisième.

Compléments

• Pour calculer une longueur ou un angle aigu par trigonométrie, on repère les données connues et recherchées, on identifie les côtés par rapport à l’angle, puis on choisit le rapport correspondant et on isole l’inconnue.

• Dans un triangle ABC rectangle en A avec $BC=9\text{ cm}$ et $\widehat{B}=35^\circ$, $AB=9\cos(35^\circ)\approx7{,}4\text{ cm}$.

• Dans un triangle DEF rectangle en E avec $\widehat{F}=56^\circ$ et $DE=7\text{ cm}$, $DF=\frac{7}{\sin(56^\circ)}\approx8{,}4\text{ cm}$.

📖 4. Théorème de Pythagore et conditions

📝 Points essentiels

📌 Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés.

📐 Formule - Dans le triangle ABC rectangle en A, l’égalité de Pythagore est $BC^2=AB^2+AC^2$.

📌 Le théorème de Pythagore s’applique dans un triangle rectangle et permet de calculer un côté lorsque les longueurs des deux autres côtés sont connues.

📖 5. Calculs avec le théorème de Pythagore

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore, on écrit l’égalité, remplace les longueurs connues, isole le carré recherché, calcule, puis prend la racine carrée.

Compléments

• Dans un triangle ABC rectangle en A avec $AB=3\text{ cm}$ et $AC=4\text{ cm}$, $BC^2=3^2+4^2=25$, donc l’hypoténuse mesure $BC=5\text{ cm}$.

• Pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait au carré de l’hypoténuse le carré de l’autre côté de l’angle droit, puis on prend la racine carrée.

💡 Astuce mémo

Écrire l’égalité, remplacer les valeurs, isoler le côté recherché, calculer, puis prendre la racine carrée.