QCM : Nombres complexes I — 28 questions

Question 1

1. Quelle écriture est la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul z ?

z=θe^{i|z|}

z=|z|e^{iθ}

z=|z|+e^{iθ}

z=(a+bi)e^{θ}

Explication

Tout complexe non nul s’écrit z=|z|e^{iθ}. Cette forme sépare le module |z| et un argument θ.

Answer

z=|z|e^{iθ}

Question 2

2. Comment définit-on le quotient de z par z', lorsque z' est non nul ?

Comme z ajouté à l’inverse de z'

Comme la différence entre z et z'

Comme z multiplié par l’inverse de z'

Comme l’inverse de z multiplié par z'

Explication

Pour z' non nul, le quotient z/z' est défini par z×(1/z'). Cette définition repose donc sur l’existence de l’inverse de z'.

Answer

Comme z multiplié par l’inverse de z'

Question 3

3. Dans le plan complexe, à quelle transformation géométrique correspond la conjugaison ?

Une rotation d’un quart de tour autour de l’origine

Une translation selon l’axe des ordonnées

Une symétrie par rapport à l’origine

Une symétrie par rapport à l’axe des abscisses

Explication

Le conjugué d’un nombre complexe est l’affixe du symétrique de son point par rapport à l’axe des abscisses. La symétrie par rapport à l’origine correspond à l’opposé.

Answer

Une symétrie par rapport à l’axe des abscisses

Question 4

4. Quel est le produit des couples réels (a,b) et (a',b') dans la construction des nombres complexes ?

(aa'−a'b, ab'−bb')

(aa'+bb', ab'−a'b)

(aa'−bb', ab'+a'b)

(a+a', b+b')

Explication

La multiplication est définie par (a,b)(a',b')=(aa'−bb', ab'+a'b). La première coordonnée du produit est donc une différence, contrairement à celle de la somme.

Answer

(aa'−bb', ab'+a'b)

Question 5

5. Si $M$ et $M'$ ont respectivement pour affixes $z$ et $z'$, quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ ?

$z'-z$

$z+z'$

$z-z'$

$zz'$

Explication

L’affixe du vecteur allant de $M$ vers $M'$ s’obtient en soustrayant l’affixe du point de départ à celle du point d’arrivée : $z'-z$.

Answer

$\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}$

Answer

L’équation possède deux solutions réelles distinctes

Answer

$|zz'|=|z||z'|$

Answer

Ils sont tous de la forme e^{iθ} pour un réel θ

Answer

Lorsque son affixe est un imaginaire pur

Answer

z=|z|(cos(θ)+i sin(θ))

Answer

$a(z-z_1)^2$

Answer

Deux solutions complexes conjuguées

Answer

Comme l’ensemble des couples de réels muni d’une addition et d’une multiplication prolongeant celles des réels

Answer

e^{iθ}=cos(θ)+i sin(θ)

Answer

arg(z/z')=arg(z)-arg(z') modulo 2π

Answer

(a−ib)/(a²+b²)

Answer

$\Delta=b^2-4ac$

Answer

Lorsqu'a=c et b=d

Answer

L’argument est défini modulo 2π, tandis que le module est une valeur unique

Answer

z=a+ib, avec a et b réels

Answer

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α+β)} et (e^{iθ})^n=e^{inθ}

Question 6

6. Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe non nul $z$, quelle expression est correcte ?

$\frac{1}{z}=\frac{|z|^2}{\overline z}$

$\frac{1}{z}=\frac{z}{|z|^2}$

$\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}$

$\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|^2\overline z}$

Explication

Pour $z\neq0$, on utilise $z\overline z=|z|^2$, ce qui donne $\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}$.

Question 7

7. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta>0$ ?

L’équation possède deux solutions complexes non réelles

L’équation ne possède aucune solution

L’équation possède une solution réelle double

L’équation possède deux solutions réelles distinctes

Explication

Lorsque $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes, données par les deux formules faisant intervenir $\pm\sqrt{\Delta}$.

Question 8

8. Quelle propriété des modules est correcte pour deux nombres complexes $z$ et $z'$ ?

$|zz'|=|z|+|z'|$

$|z+z'|=|z||z'|$

$|z+z'|=|z|-|z'|$

$|zz'|=|z||z'|$

Explication

Le module est multiplicatif : $|zz'|=|z||z'|$. Pour une somme, la propriété générale est l’inégalité triangulaire $|z+z'|\leq|z|+|z'|$.

Question 9

9. Quelle caractérisation décrit exactement les nombres complexes de module 1 ?

Ils sont tous de la forme θ+i pour un réel θ

Ils ont nécessairement un argument égal à 0

Ils sont tous de module nul

Ils sont tous de la forme e^{iθ} pour un réel θ

Explication

Un complexe est de module 1 si et seulement s’il s’écrit e^{iθ} avec θ réel, ce qui correspond au cercle unité. Le module nul caractérise seulement le nombre complexe nul.

Question 10

10. Un point du plan complexe appartient à l’axe des ordonnées dans quel cas ?

Lorsque son affixe a un module égal à $1$

Lorsque son affixe a une partie réelle positive

Lorsque son affixe est un imaginaire pur

Lorsque son affixe est réel non nul

Explication

L’axe des ordonnées correspond aux points dont la partie réelle est nulle ; leurs affixes sont donc des imaginaires purs. Les affixes réelles correspondent à l’axe des abscisses.

Question 11

11. Quel est le conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ ?

$a-ib$

$a+ib$

$-a+ib$

$-a-ib$

Explication

Le conjugué de $a+ib$ est $a-ib$ : la partie réelle reste inchangée et le signe de la partie imaginaire est inversé.

Question 12

12. Si z=a+ib, quelle expression représente son opposé ?

a+ib

−a+ib

a−ib

−a−ib

Explication

L’opposé de z change les signes des deux composantes : −z=−a−ib. La différence z₁−z₂, elle, se définit en ajoutant l’opposé de z₂.

Question 13

13. Quelle est la forme trigonométrique d’un complexe non nul de module |z| et d’argument θ ?

z=|z|(sin(θ)+i cos(θ))

z=cos(|z|)+i sin(|z|)

z=|z|(cos(θ)+i sin(θ))

z=|z|+cos(θ)+i sin(θ)

Explication

La forme trigonométrique s’écrit z=|z|(cos(θ)+i sin(θ)). Le module multiplie donc à la fois les parties réelle et imaginaire.

Question 14

14. En posant i=(0,1), quelle écriture correspond au couple réel (a,b) ?

b+ia

a+ib

a−ib

ab+i

Explication

Avec i=(0,1), on a i²=−1 et le couple (a,b) s’écrit a+ib. Le nombre i n’est pas réel, même si son carré vaut le réel −1.

Question 15

15. Pour une équation du second degré telle que $\Delta=0$, quelle forme prend sa factorisation ?

$a(z-z_1)(z-\overline{z_1})$

$a(z-z_1)(z+z_1)$

$a(z-z_1)^2$

$a(z^2+z_1^2)$

Explication

Si $\Delta=0$, la solution réelle double est $z_1=-\frac{b}{2a}$ et le trinôme se factorise sous la forme $a(z-z_1)^2$.

Question 16

16. Quelle nature ont les solutions d’une équation du second degré lorsque $\Delta<0$ ?

Deux solutions complexes conjuguées

Une solution réelle double

Deux solutions réelles distinctes

Aucune solution dans les nombres complexes

Explication

Lorsque $\Delta<0$, les solutions sont complexes non réelles et conjuguées l’une de l’autre. Elles s’écrivent avec $\pm i\sqrt{-\Delta}$.

Question 17

17. Comment définit-on l’ensemble des nombres complexes dans la construction par couples de réels ?

Comme l’ensemble des réels auxquels on interdit la multiplication

Comme l’ensemble des couples de réels muni d’une soustraction sans multiplication

Comme l’ensemble des couples de réels muni d’une addition et d’une multiplication prolongeant celles des réels

Comme l’ensemble des couples d’entiers muni uniquement d’une addition

Explication

Les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels, auxquels on attribue une addition et une multiplication compatibles avec les opérations réelles.

Question 18

18. Quelle expression définit l’exponentielle complexe associée à un réel θ ?

e^{iθ}=e^θ(cos(θ)+i sin(θ))

e^{iθ}=cos(θ)+i sin(θ)

e^{iθ}=sin(θ)+i cos(θ)

e^{iθ}=cos(θ)-i sin(θ)

Explication

Par définition, e^{iθ}=cos(θ)+i sin(θ). Cette relation relie l’exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques.

Question 19

19. Si z et z' sont non nuls, comment s’exprime un argument du quotient z/z' ?

arg(z/z')=arg(z')-arg(z) modulo 2π

arg(z/z')=arg(z)-arg(z') modulo 2π

arg(z/z')=arg(z)+arg(z') modulo 2π

arg(z/z')=arg(z)arg(z') modulo 2π

Explication

Le quotient de deux complexes soustrait leurs arguments : arg(z/z')=arg(z)-arg(z') modulo 2π. L’addition des arguments correspond au produit.

Question 20

20. Si z=4−7i, quelle est sa partie imaginaire ?

4

−7i

4−7i

−7

Explication

Dans z=a+ib, la partie imaginaire est le réel b. Pour z=4−7i, Im(z)=−7 ; le terme imaginaire complet est −7i.

Question 21

21. Quelle est l’affixe du point $M(x,y)$ dans le plan complexe ?

$z=x+iy$

$z=x-iy$

$z=y+ix$

$z=xy+i$

Explication

L’affixe du point de coordonnées $(x,y)$ est le nombre complexe $z=x+iy$.

Question 22

22. Pour z=a+ib non nul, quelle formule donne son inverse ?

(−a−ib)/(a²+b²)

(a+ib)/(a²−b²)

(a−ib)/(a²+b²)

(a−ib)/(a+b)

Explication

Pour un complexe non nul, l’inverse est 1/z=(a−ib)/(a²+b²). La condition z≠0 est nécessaire, car l’inverse de zéro n’est pas défini.

Question 23

23. Pour l’équation $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$, quelle expression définit le discriminant ?

$\Delta=(b-2a)c$

$\Delta=4ac-b^2$

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=b^2+4ac$

Explication

Le discriminant d’un trinôme $az^2+bz+c$ est défini par $\Delta=b^2-4ac$.

Question 24

24. Dans quel cas deux nombres complexes a+ib et c+id sont-ils égaux ?

Lorsqu'a−b=c−d

Lorsqu'a=c et b=d

Lorsqu'ab=cd

Lorsqu'a+b=c+d

Explication

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales, soit a=c et b=d.

Question 25

25. Quelle affirmation concernant l’argument et le module d’un complexe non nul est correcte ?

L’argument est une valeur unique, tandis que le module est défini modulo 2π

L’argument et le module sont tous deux définis modulo 2π

L’argument est défini modulo 2π, tandis que le module est une valeur unique

L’argument et le module sont tous deux des valeurs uniques

Explication

Les arguments d’un même complexe diffèrent de multiples de 2π, alors que son module possède une valeur unique.

Question 26

26. Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe dont les coefficients sont a et b ?

z=a+ib, avec a et b réels

z=ab+i, avec a et b entiers

z=(a,b), sans expression faisant intervenir i

z=a−b+i, avec a et b réels

Explication

La forme algébrique d’un nombre complexe est z=a+ib, où a et b sont des nombres réels.

Question 27

27. Si α et β sont réels et n est un entier, quelle égalité applique correctement les propriétés de l’exponentielle complexe ?

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α+β)} et (e^{iθ})^n=e^{inθ}

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α+β)} et (e^{iθ})^n=e^{iθ+n}

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(αβ)} et (e^{iθ})^n=e^{i(θ+n)}

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α-β)} et (e^{iθ})^n=e^{iθ/n}

Explication

La multiplication des exponentielles additionne les arguments, tandis qu’une puissance entière multiplie l’argument par n.

Question 28

28. Si z=−3+5i, quelle est sa partie réelle ?

5i

−3

−3+5i

5

Explication

Dans z=a+ib, la partie réelle est le coefficient a. Ici, Re(z)=−3, tandis que 5 est le coefficient de i.

QCM : Nombres complexes I — 28 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture est la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul z ?

2. Comment définit-on le quotient de z par z', lorsque z' est non nul ?

3. Dans le plan complexe, à quelle transformation géométrique correspond la conjugaison ?

4. Quel est le produit des couples réels (a,b) et (a',b') dans la construction des nombres complexes ?

5. Si $M$ et $M'$ ont respectivement pour affixes $z$ et $z'$, quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ ?

6. Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe non nul $z$, quelle expression est correcte ?

7. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta>0$ ?

8. Quelle propriété des modules est correcte pour deux nombres complexes $z$ et $z'$ ?

9. Quelle caractérisation décrit exactement les nombres complexes de module 1 ?

10. Un point du plan complexe appartient à l’axe des ordonnées dans quel cas ?

11. Quel est le conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ ?

12. Si z=a+ib, quelle expression représente son opposé ?

13. Quelle est la forme trigonométrique d’un complexe non nul de module |z| et d’argument θ ?

14. En posant i=(0,1), quelle écriture correspond au couple réel (a,b) ?

15. Pour une équation du second degré telle que $\Delta=0$, quelle forme prend sa factorisation ?

16. Quelle nature ont les solutions d’une équation du second degré lorsque $\Delta<0$ ?

17. Comment définit-on l’ensemble des nombres complexes dans la construction par couples de réels ?

18. Quelle expression définit l’exponentielle complexe associée à un réel θ ?

19. Si z et z' sont non nuls, comment s’exprime un argument du quotient z/z' ?

20. Si z=4−7i, quelle est sa partie imaginaire ?

21. Quelle est l’affixe du point $M(x,y)$ dans le plan complexe ?

22. Pour z=a+ib non nul, quelle formule donne son inverse ?

23. Pour l’équation $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$, quelle expression définit le discriminant ?

24. Dans quel cas deux nombres complexes a+ib et c+id sont-ils égaux ?

25. Quelle affirmation concernant l’argument et le module d’un complexe non nul est correcte ?

26. Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe dont les coefficients sont a et b ?

27. Si α et β sont réels et n est un entier, quelle égalité applique correctement les propriétés de l’exponentielle complexe ?

28. Si z=−3+5i, quelle est sa partie réelle ?

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