Fiche de révision : Notions de mécanique des fluides

📋 Plan du Cours

1. Fondements et classifications des fluides
2. Propriétés physiques des fluides
3. Pression et équilibre hydrostatique
4. Forces de pression sur les parois
5. Poussée d’Archimède
6. Équilibre hydrostatique et manomètres
7. Résultante des pressions hydrostatiques
8. Flottabilité et équilibre des corps
9. Écoulement permanent et équations fondamentales
10. Applications et limites des lois idéales
11. Fluides réels et régimes d’écoulement
12. Pertes de charge et représentation énergétique
13. Calcul des pertes et machines hydrauliques
14. Pertes de charge et Bernoulli réel
15. Gaz parfaits et transformations thermodynamiques
16. Régimes des écoulements compressibles
17. Bilan énergétique et état générateur
18. Équation de Saint-Venant et nombre de Mach

📖 1. Fondements et classifications des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique des fluides : La mécanique des fluides étudie les écoulements de liquides et de gaz soumis à des forces ou à des contraintes.
• Fluide : Milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et capable de s’écouler, dont les particules peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres.
• Fluide parfait : Modèle dont le mouvement se décrit sans frottement, de sorte que la composante tangentielle de la force exercée sur une surface élémentaire est nulle.
• Fluide réel : Prend en compte les forces tangentielles de frottement interne qui s’opposent au glissement relatif des couches fluides.
• Fluide incompressible : Fluide dont le volume occupé par une masse donnée ne varie pas avec la pression extérieure ; les liquides peuvent être considérés comme incompressibles.
• Fluide compressible : Fluide dont le volume occupé par une masse donnée varie avec la pression extérieure ; les gaz sont compressibles.

★ À maîtriser

📌 La statique des fluides étudie les fluides au repos, tandis que la dynamique des fluides étudie les fluides en mouvement.

📌 Un fluide newtonien possède une viscosité constante ou variant seulement avec la température, tandis que la viscosité d’un fluide non newtonien varie avec la vitesse et les contraintes subies pendant l’écoulement.

Compléments

• Dans la description continue d’un fluide, même un petit élément de volume reste beaucoup plus grand que les molécules qui le constituent.

💡 Astuce mémo

Fluide parfait : pas de frottement ; fluide réel : frottement visqueux.

📖 2. Propriétés physiques des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité : Rapport de sa masse volumique à celle d’un fluide de référence, l’eau pour les liquides et l’air pour les gaz.
• Viscosité : Caractérise les frottements internes d’un fluide et sa résistance à l’écoulement lorsqu’il est soumis à une force.

★ À maîtriser

📐 Formule - La masse volumique est $\rho = \frac{m}{V}$, où $m$ est la masse et $V$ le volume.

📐 Formule - Le poids volumique est $\varpi = \rho g = \frac{mg}{V}$.

📐 Formule - Pour deux couches fluides séparées de $\Delta z$, la force de frottement vérifie $F = \mu S \frac{\Delta v}{\Delta z}$, où $\mu$ est la viscosité dynamique.

📐 Formule - La viscosité cinématique est $\nu = \frac{\mu}{\rho}$.

Compléments

📌 La viscosité dynamique $\mu$ s’exprime en Pa·s, équivalant à kg/(m·s), tandis que la viscosité cinématique $\nu$ s’exprime en m²/s.

• Un Stokes vaut $10^{-4}$ m²/s.

• Lorsque la température augmente, la viscosité d’un fluide diminue.

📖 3. Pression et équilibre hydrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : Intensité de la composante normale de la force exercée par le fluide par unité de surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - La pression vaut $P_A = \frac{dF_N}{dS}$, où $dF_N$ est la force normale élémentaire appliquée sur la surface élémentaire $dS$.

📐 Formule - Dans un fluide incompressible au repos, deux points vérifient $P_1-P_2 = \varpi (Z_2-Z_1) = \rho g (Z_2-Z_1)$.

📌 Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation en tout autre point, conformément au théorème de Pascal.

Compléments

• L’unité internationale de pression est le pascal, avec $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ ; le bar vaut environ $10^5$ Pa.

• À 10 m de profondeur, la pression hydrostatique de l’eau est d’environ 1 bar et augmente d’environ 1 bar par tranche supplémentaire de 10 m.

💡 Astuce mémo

La profondeur augmente → la pression hydrostatique augmente.

📖 4. Forces de pression sur les parois

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une paroi plane verticale de surface $S$, la résultante des forces de pression relative vaut $R = P_G S$, où $P_G$ est la pression au centre de surface.

Compléments

📐 Formule - Le moment des forces de pression relatives au centre de surface est $M_G = \varpi I_{(G,Z)}$, où $I_{(G,Z)}$ est le moment quadratique de la surface autour de l’axe passant par son centre.

📐 Formule - La coordonnée du centre de poussée est $y_0 = -\frac{I_{(G,Z)}}{P_G S}$ selon la convention de signes du cours.

📖 5. Poussée d’Archimède

★ À maîtriser

📌 Tout corps immergé dans un fluide en équilibre subit une poussée verticale vers le haut égale au poids du volume de fluide déplacé.

📐 Formule - La poussée d’Archimède a pour intensité $P_{\mathrm{ARCH}} = \rho_{\mathrm{fluide}} V_{\mathrm{imm}} g$.

Compléments

📌 Pour un solide hétérogène immergé, l’équilibre est stable si le centre de poussée est au-dessus du centre de gravité du solide et instable s’il est au-dessous.

📖 6. Équilibre hydrostatique et manomètres

★ À maîtriser

📌 Entre deux points d’un même fluide au repos, la relation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit $P_B-P_A=\rho g(Z_A-Z_B)$, où l’axe vertical est orienté vers le haut.

• Dans un tube reliant plusieurs fluides immiscibles au repos, on applique la relation hydrostatique séparément dans chaque liquide, puis on combine les relations aux interfaces pour déterminer les pressions ou les niveaux.

Compléments

• Dans un tube en U contenant de l’essence et du mercure, avec ρessence = 700 kg/m³, ρmercure = 13 600 kg/m³, P1 = 1 bar, h = 728 mm et h’ = 15 mm, les relations hydrostatiques donnent P2 = 1 050 mbar et P3 = 1 030 mbar.

• Lorsque les deux surfaces du mercure sont au même niveau dans un tube en U contenant un mélange eau-alcool de hauteur 30 cm et une colonne d’eau de hauteur 24 cm, la masse volumique du mélange déduite de l’équilibre est 800 kg/m³.

💡 Astuce mémo

En descendant dans un liquide, la pression augmente ; en remontant, elle diminue.

📖 7. Résultante des pressions hydrostatiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La résultante des pressions sur une surface plane vaut $R=P_GS$, où $P_G$ est la pression au centre de gravité de la surface et $S$ son aire.

📐 Formule - Pour une surface plane verticale rectangulaire de largeur b et de hauteur h, avec sa partie supérieure à la surface libre et la pression atmosphérique négligée, la résultante vaut $R=\frac{1}{2}\rho g b h^2$.

📐 Formule - La position du centre de poussée d’une surface plane est déterminée à partir du moment quadratique de la surface et de la résultante, selon $y_0=-\frac{\varpi I}{R}$ dans la convention de signe du cours.

Compléments

• Pour un rectangle de largeur b et de hauteur h, le moment quadratique par rapport à l’axe passant par son centre et parallèle à sa largeur est $I=\frac{bh^3}{12}$.

• Pour un disque de diamètre d, le moment quadratique par rapport à un axe diamétral passant par son centre est $I=\frac{\pi d^4}{64}$.

💡 Astuce mémo

Un diagramme de pression triangulaire sur une paroi verticale pousse davantage vers le bas.

📖 8. Flottabilité et équilibre des corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : Égale au poids du fluide déplacé par le corps immergé et dirigée vers le haut.

★ À maîtriser

📌 Un corps flottant à l’équilibre vérifie l’égalité entre son poids et la poussée d’Archimède, d’où la fraction immergée $F=\frac{\rho_{corps}}{\rho_{fluide}}$ pour un corps homogène.

Compléments

• Une sphère qui flotte à moitié dans l’eau de mer de masse volumique 1 025 kg/m³ a une fraction immergée de 64 % dans une huile de masse volumique 800 kg/m³.

• Un iceberg de glace de masse volumique 995 kg/m³ flottant dans l’eau de mer de masse volumique 1 025 kg/m³ a environ 97 % de son volume immergé, quelle que soit sa forme.

💡 Astuce mémo

Le volume immergé déplace du fluide → la poussée d’Archimède équilibre le poids.

📖 9. Écoulement permanent et équations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement permanent : Écoulement dans lequel le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps, sans être nécessairement uniforme dans l’espace.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, l’équation de continuité est $S_1V_1=S_2V_2$.

📐 Formule - Le débit massique et le débit volumique vérifient $q_m=\rho SV$ et $q_v=SV$, avec $q_m=\rho q_v$.

📐 Formule - Pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible sans échange de travail, le théorème de Bernoulli s’écrit $\frac{P}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gZ=\mathrm{constante}$ le long d’une ligne de courant.

📐 Formule - Le théorème d’Euler relie la résultante des actions extérieures sur un fluide isolé au débit massique et à la variation de vitesse : $\sum \vec F_{ext}=q_m(\vec V_2-\vec V_1)$.

💡 Astuce mémo

Continuité conserve le débit, Bernoulli l’énergie, Euler la quantité de mouvement.

📖 10. Applications et limites des lois idéales

📝 Points essentiels

• Les lois établies pour les fluides incompressibles, notamment l’équation de Bernoulli, aident à comprendre le fonctionnement du tube de Pitot, du tube de Venturi et du diaphragme.

📌 Les lois établies pour les fluides incompressibles peuvent aussi s’appliquer à certains fluides compressibles lorsque la variation de pression est faible, mais la prise en compte de la compressibilité dans les calculs exige des formules appropriées.

📖 11. Fluides réels et régimes d’écoulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide réel : Fluide dont les forces de contact possèdent des composantes tangentielles qui s’opposent au glissement des couches fluides, résistance caractérisée par la viscosité.

★ À maîtriser

📌 En régime laminaire, les filets fluides suivent des lignes régulières sensiblement parallèles, tandis qu’en régime turbulent ils s’enchevêtrent et s’enroulent sur eux-mêmes.

📐 Formule - Le nombre de Reynolds est défini par $Re=\frac{Vd}{\nu}$, où $V$ est la vitesse moyenne, $d$ le diamètre de la conduite ou la largeur de la veine fluide, et $\nu$ la viscosité cinématique.

• Selon les résultats empiriques indicatifs du cours, un écoulement est laminaire si $Re<2000$ et turbulent si $Re>2000$ ; le turbulent est lisse pour $2000<Re<100000$ et rugueux pour $Re>100000$.

Compléments

• Les écoulements turbulents se subdivisent en écoulements turbulents lisses et turbulents rugueux.

• Les expériences de Reynolds réalisées en 1883 sur l’écoulement dans une conduite cylindrique avec un filet de liquide coloré ont mis en évidence les régimes laminaire et turbulent.

💡 Astuce mémo

Filets parallèles en laminaire, filets enchevêtrés en turbulent

📖 12. Pertes de charge et représentation énergétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Perte de charge : Perte d’énergie par frottement visqueux par unité de masse de fluide qui passe entre ces points.

★ À maîtriser

📐 Formule - Entre deux points sans machine hydraulique, l’équation de Bernoulli pour un fluide réel s’écrit $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho}=J_{12}$, où $J_{12}$ est la perte de charge.

📌 La perte de charge totale entre deux points est la somme de la perte de charge linéaire et de la perte de charge singulière, soit $J_{12}=J_L+J_s$.

Compléments

• Dans un écoulement permanent à vitesse constante, la ligne piézométrique et la ligne de charge sont parallèles, et la perte de charge linéaire correspond à la variation de hauteur piézométrique entre les points considérés.

• La perte de charge totale exprimée en hauteur de liquide depuis le début de l’écoulement correspond à l’écart entre la ligne de charge et le plan de charge.

💡 Astuce mémo

Frottements visqueux → perte d’énergie mécanique

📖 13. Calcul des pertes et machines hydrauliques

★ À maîtriser

📐 Formule - Une perte de charge singulière s’écrit $J_s=K_s\frac{V^2}{2}$, où $K_s$ est un coefficient sans unité dépendant de la nature et de la géométrie de l’accident de forme.

📐 Formule - La perte de charge linéaire s’écrit $J_L=\lambda\frac{L}{d}\frac{V^2}{2}$, où $L$ est la longueur, $d$ le diamètre de la conduite, $V$ la vitesse moyenne et $\lambda$ le coefficient de perte de charge linéaire.

📌 Entre deux sections d’un écoulement réel avec des machines éventuelles, l’équation de Bernoulli tient compte de la somme des pertes de charge et de la puissance mécanique échangée entre le fluide et les machines.

Compléments

• Le coefficient $\lambda$ dépend du régime d’écoulement et notamment du nombre de Reynolds.

📐 Formule - En régime laminaire avec $Re<2000$, la formule de Poiseuille donne $\lambda=\frac{64}{Re}$.

📐 Formule - En régime turbulent lisse avec $2000<Re<100000$, la formule de Blasius donne $\lambda=0{,}316\,Re^{-0{,}25}$.

📐 Formule - En régime turbulent rugueux avec $Re>100000$, la formule de Blench donne $\lambda=0{,}79\sqrt{\frac{\varepsilon}{d}}$, où $\varepsilon$ est la rugosité de la surface interne de la conduite et $d$ son diamètre intérieur.

• Les formules de pertes de charge du cours fournissent des valeurs approximatives utiles lorsque la simplicité et la rapidité de calcul sont privilégiées, notamment en conception.

📖 14. Pertes de charge et Bernoulli réel

★ À maîtriser

• En régime laminaire, pour $Re<2000$, le coefficient de perte linéaire suit la formule de Poiseuille $\lambda=\frac{64}{Re}$.

• En régime turbulent lisse, pour $2000<Re<10^5$, la formule de Blasius donne $\lambda=0{,}316\,Re^{-0{,}25}$.

📌 Pour un fluide réel entre deux sections, le théorème de Bernoulli tient compte de la somme des pertes de charge linéaires et singulières et, si elles existent, de la puissance mécanique échangée avec les machines hydrauliques.

Compléments

• Le coefficient de perte linéaire dépend du régime d’écoulement et notamment du nombre de Reynolds ; sa valeur peut aussi être lue sur un abaque de Moody.

• Les formules de pertes de charge présentées fournissent des valeurs approximatives, mais elles restent utiles en conception lorsque la simplicité et la rapidité sont privilégiées.

💡 Astuce mémo

Les frottements dissipent l’énergie → la pression diminue.

📖 15. Gaz parfaits et transformations thermodynamiques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation d’état du gaz parfait s’écrit $P=\rho rT$, où $P$ est la pression, $\rho$ la masse volumique, $r$ la constante spécifique du gaz et $T$ la température absolue.

📐 Formule - À pression constante, la variation d’enthalpie massique d’un gaz parfait vérifie $\Delta H=C_p\Delta T$.

📐 Formule - À volume constant, la variation d’énergie interne massique d’un gaz parfait vérifie $\Delta U=C_v\Delta T$.

📐 Formule - Pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait, la relation d’état s’écrit $P\rho^{-\gamma}=\text{constante}$, ou de manière équivalente $T^\gamma P^{1-\gamma}=\text{constante}$.

Compléments

• Pour l’air, le cours donne la constante spécifique $r=287\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$.

📐 Formule - La relation de Mayer entre les capacités thermiques massiques d’un gaz parfait est $C_p-C_v=r$.

💡 Astuce mémo

À pression constante, l’enthalpie varie ; à volume constant, l’énergie interne varie.

📖 16. Régimes des écoulements compressibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Mach : Le nombre de Mach est le rapport entre la vitesse d’écoulement et la célérité du son, soit $M=\frac{V}{C}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un écoulement isentropique, la célérité du son est $C=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\sqrt{\gamma rT}$.

📌 Un écoulement est subsonique si $M<1$ et supersonique si $M>1$.

📐 Formule - La continuité d’un écoulement compressible entre deux sections s’écrit $\rho_1S_1V_1=\rho_2S_2V_2$.

💡 Astuce mémo

Mach inférieur à 1 : subsonique ; supérieur à 1 : supersonique.

📖 17. Bilan énergétique et état générateur

🔑 Notions clés & Définitions

• État générateur : L’état générateur est l’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse est supposée nulle ; les variables thermodynamiques de ce point sont notées avec l’indice $i$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système ouvert, le bilan énergétique du cours s’écrit $\Delta E_c+\Delta E_p+\Delta H=Q+W_u$.

📐 Formule - Si le travail utile, la variation d’énergie potentielle et l’échange de chaleur sont nuls, le bilan de Saint-Venant devient $H+\frac{V^2}{2}=\text{constante}$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait en écoulement adiabatique réversible sous les hypothèses du cours, la relation de Saint-Venant s’écrit $\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{P}{\rho}+\frac{V^2}{2}=\text{constante}$.

Compléments

• Lorsque le nombre de Mach vaut 1, l’écoulement est à l’état critique et, pour le rapport des températures, le cours donne $\frac{T_c}{T_i}=\frac{2}{\gamma+1}$.

💡 Astuce mémo

Sans travail utile, sans énergie potentielle et sans chaleur : Saint-Venant.

📖 18. Équation de Saint-Venant et nombre de Mach

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation de Saint-Venant relie la pression d’arrêt $P_i$ à la pression d’écoulement $P$ et au nombre de Mach par $\frac{P_i}{P}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.

📐 Formule - Le nombre de Mach vérifie $M=\frac{V}{C}$, où $V$ est la vitesse d’écoulement et $C$ la célérité du son.

📌 Un écoulement est subsonique lorsque $M<1$ et supersonique lorsque $M>1$.

Compléments

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la célérité du son vérifie $C=\sqrt{\gamma rT}$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la masse volumique vérifie $\rho=\frac{P}{rT}$.

📐 Formule - Dans une canalisation circulaire de diamètre $d$, le débit massique vérifie $q_m=\rho V\frac{\pi d^2}{4}$.

💡 Astuce mémo

Le rapport de pression relie l’état d’arrêt à l’écoulement ; Mach compare la vitesse à celle du son.