Fiche de révision : Notions fondamentales des fonctions composées

📋 Plan du Cours

1. Composition de deux fonctions
2. Dérivée de la composée de deux fonctions
3. Dérivées des compositions usuelles
4. Primitives des fonctions composées

📖 1. Composition de deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction composée combine deux fonctions en appliquant d’abord la première puis la seconde au résultat.
• v ∘ u : La notation v ∘ u désigne la fonction qui envoie x sur v(u(x)) en commençant par u.
• Sens de la composition : Le sens de v ∘ u compte : changer l’ordre des fonctions change en général la valeur obtenue.

📝 Points essentiels

• v ∘ u est définie sur I et vaut v(u(x)) pour tout x de I.
• Pour que v ∘ u soit définie, il faut que u(x) appartienne à J pour tout x de I.
• En général v ∘ u n’est pas égal à u ∘ v car l’ordre des applications change.
• Exemple : si u(x)=x+π/3 et v(x)=cos x, alors v ∘ u(x)=cos(x+π/3).
• Avec les mêmes fonctions, u ∘ v(x)=cos x + π/3, donc les deux compositions diffèrent.

💡 Astuce mémo

v ∘ u : « v rond u » → on met u à l’intérieur de v.

📖 2. Dérivée de la composée de deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de la dérivation de la composée : Le théorème donne la dérivée d’une composée v ∘ u à partir des dérivées de u et de v.
• Règle de la chaîne : La règle de la chaîne exprime la dérivée d’une composée comme produit de u’ et de la dérivée de v évaluée en u.

📝 Points essentiels

• Si u(x) ∈ J pour tout x de I, alors v ∘ u est dérivable sur I.
• La formule est (v ∘ u)' = u' × (v' ∘ u).
• On évalue v' en u(x), puis on multiplie par u'(x).
• Exemple : u(x)=x+π/3 et v(x)=cos x donnent v ∘ u(x)=cos(x+π/3).
• Dans cet exemple, (v ∘ u)'(x)=−sin(x+π/3)×1 car u'(x)=1.

💡 Astuce mémo

Chaîne = produit : u’(x) × v’(u(x)).

📖 3. Dérivées des compositions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de cos(u) : La dérivée de cos(u) s’obtient en combinant la dérivée de cos avec celle de la fonction interne u.
• Dérivée de sin(u) : La dérivée de sin(u) s’obtient en combinant la dérivée de sin avec celle de la fonction interne u.
• Dérivée de ln(u) : La dérivée de ln(u) dépend de u’ et de u, via une fraction.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction u strictement positive, (cos(u))' = −u' sin(u).
• Pour une fonction u, (sin(u))' = u' cos(u).
• Pour une fonction u strictement positive, (ln(u))' = u'/u.
• Pour une fonction u, (e^{u})' = u' e^{u}.
• Exemple : f(x)=cos(x^2+3) avec u(x)=x^2+3 et v(x)=cos donne f'(x)=−(2x+3)sin(x^2+3).

💡 Astuce mémo

cos → −sin, sin → cos : on garde u’ en facteur.

📖 4. Primitives des fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive d’une composée : Une primitive d’une fonction composée s’obtient en utilisant la forme G(ax+b) quand la dérivée de G est connue.
• Propriété G(ax+b) : Si G est une primitive de g, alors G(ax+b) fournit une primitive de g(ax+b) à un facteur près.

📝 Points essentiels

• Si a ≠ 0 et g admet une primitive G sur I, alors g(ax+b) admet pour primitives les fonctions G(ax+b)/a + C.
• La constante C peut être ajoutée à toute primitive.
• La justification repose sur la dérivation de la composée : G(ax+b)' = a×G'(ax+b).
• Exemple : pour f(x)=cos(2x+3), une primitive est F(x)=sin(2x+3)/2 + C.
• Dans l’exemple, on utilise que la dérivée de sin est cos et que la dérivée de (2x+3) vaut 2.

💡 Astuce mémo

Pour g(ax+b), on « divise par a » : primitive = G(ax+b)/a + C.

📊 Tableaux de synthèse

Ordre des compositions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre v ∘ u et u ∘ v : l’ordre change l’expression et donc la valeur.
2. Appliquer la règle de chaîne sans évaluer v' en u(x) : il faut bien utiliser (v' ∘ u).
3. Oublier le facteur u'(x) dans (v ∘ u)' = u'×(v' ∘ u).
4. Utiliser ln(u) sans vérifier que u est strictement positive (condition donnée).
5. Pour les primitives de g(ax+b), oublier le facteur 1/a devant G(ax+b).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire v ∘ u(x) = v(u(x)) et préciser le domaine de définition à partir de I et J.
2. Savoir déterminer si v ∘ u et u ∘ v sont égales et calculer l’une des deux à partir d’un exemple.
3. Appliquer la règle de la chaîne : calculer (v ∘ u)' = u'×(v' ∘ u).
4. Maîtriser les dérivées usuelles de cos(u), sin(u), e^{u} et ln(u) avec le facteur u'.
5. Calculer une dérivée de la forme cos(u(x)) ou sin(u(x)) en identifiant u et en remplaçant u' correctement.
6. Trouver une primitive de g(ax+b) sous la forme G(ax+b)/a + C quand G' = g.
7. Savoir donner une primitive d’un exemple du type cos(2x+3) en utilisant la propriété des primitives composées.