Fiche de révision : Notions fondamentales du calcul différentiel

📋 Plan du Cours

1. Limite finie d’une fonction en zéro et définition générale de la limite
2. Fonction dérivable en un point et définition du nombre dérivé
3. Interprétation géométrique du nombre dérivé et équation de la tangente
4. Interprétation physique du nombre dérivé comme vitesse instantanée et taux de variation
5. Fonction dérivée sur un intervalle et ensemble de dérivabilité
6. Dérivées des fonctions usuelles et démonstrations associées
7. Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient et dérivées correspondantes
8. Formules de dérivation pour les puissances, fonctions rationnelles et composée avec fonction affine

📖 1. Limite finie d’une fonction en zéro et définition générale de la limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Lim h→0 t(h) : Lim x→0 √x = 0, lim x→0 x²
• Définition : Soit f une fonction telle que zéro soit dans son ensemble de définition Df ou soit une borne de Df.

📝 Points essentiels

• Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée et leurs composées sont continues en tout point de leur domaine, donc leur limite en ce point est la valeur de la fonction.
• Les limites de sommes et produits de fonctions sont respectivement les sommes et produits des limites correspondantes, si ces limites existent.
• C’est le cas, en tout point de l’ensemble de définition, des fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques, de la fonction racine carrée...
• • Si pour tout réel a de D, v(a) ≠ 0, les fonctions 1/v et u/v sont dérivables sur D et : (1/v)’ = -v’ / v² (4), (u/v)’ = (u’·v - v’·u) / v² (5).

💡 À retenir

Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée et leurs composées sont continues en tout point de leur domaine, donc leur limite en ce point est la valeur de la fonction.

📖 2. Fonction dérivable en un point et définition du nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une valeur réelle L qui est la limite finie du taux de variation (f(a+h) - f(a)) / h lorsque h tend vers 0, si cette limite existe.
• Fonction f définie : Une fonction f qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ une valeur dans un ensemble d'arrivée, définie sur un domaine donné.
• Exemple : Soit la fonction f : x ↦ x² définie sur IR et a un réel quelconque.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé f’(a) est défini par f’(a) = lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h, si cette limite existe.
• La dérivabilité en un point implique l’existence d’une pente locale définie par le nombre dérivé.
• Exemple : pour f(x) = x², f’(a) = 2a.
• Si Cf admet une pointe au point d'abscisse a alors la fonction n'est pas dérivable en a.

💡 À retenir

Le nombre dérivé formalise la notion de pente locale d’une fonction en un point, fondement du calcul différentiel.

📖 3. Interprétation géométrique du nombre dérivé et équation de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Le coefficient directeur de la droite (AM) est : Le rapport (f(a + h) - f(a)) / h qui mesure la pente de la droite passant par les points A et M sur la courbe Cf.
• Nombre dérivé : La limite du taux de variation (f(a + h) - f(a)) / h lorsque h tend vers 0, représentant la pente de la tangente à la courbe Cf au point A.
• Équation de la tangente : L'expression y = f'(a)(x - a) + f(a) qui décrit la droite tangente à la courbe Cf au point A(a; f(a)) lorsque f est dérivable en a.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A.
• La tangente est la limite des sécantes passant par A et un point M voisin lorsque M tend vers A.
• Si f’(a) = 0, la tangente est horizontale d’équation y = f(a).

💡 À retenir

Le nombre dérivé peut être visualisé comme la pente de la tangente à la courbe en un point, reliant l’analyse locale à la géométrie de la courbe.

📖 4. Interprétation physique du nombre dérivé comme vitesse instantanée et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• 4 - Dérivation - auteur : Un document pédagogique rédigé par Pierre Lux, présenté dans un cours élève, qui traite de la dérivation et de ses applications.
• Vitesse instantanée : La grandeur physique correspondant à la limite des vitesses moyennes d’un mobile lorsque l’intervalle de temps tend vers zéro, obtenue comme le nombre dérivé de la fonction distance en un instant donné.
• Taux de variation : Le quotient (f(a+h) - f(a)) / h qui exprime la variation moyenne d’une grandeur sur un intervalle donné.
• Pierre Lux - cours élève - page : Une référence spécifique à un cours destiné aux élèves, écrit par Pierre Lux, dont les pages contiennent des explications sur la dérivation.

📝 Points essentiels

• La vitesse instantanée d’un mobile à l’instant t₀ est le nombre dérivé de la fonction distance d en t₀, soit la limite des vitesses moyennes quand h tend vers 0.
• Le taux de variation (f(a+h) - f(a)) / h mesure la variation moyenne d’une grandeur sur un intervalle.
• Le nombre dérivé représente une mesure instantanée de la variation, par exemple débit instantané ou coût marginal.

💡 À retenir

La vitesse instantanée d’un mobile à l’instant t₀ est le nombre dérivé de la fonction distance d en t₀, soit la limite des vitesses moyennes quand h tend vers 0.

📖 5. Fonction dérivée sur un intervalle et ensemble de dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de dérivabilité : ensemble des points où la fonction dérivée f’ est définie, c’est-à-dire où la fonction f est dérivable.

• Fonction f | Fonction dérivée f’ : fonction qui, à chaque point x de l’intervalle I, associe le nombre dérivé f’(x).

• Fonction dérivée f’ | Ensemble : ensemble de tous les points où f’ est définie, appelé Df’.

• Dérivée f’ | Ensemble de dérivabilité : ensemble de points où la fonction f est dérivable, incluant Df’. Fonction dérivée | Fonction qui donne le taux de variation instantané de f en chaque point de Df’.

📝 Points essentiels

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, pour tout x ∈ I, le nombre dérivé f’(x) existe. La fonction dérivée f’ associe à chaque x de I ce nombre, formant une nouvelle fonction. La définition s’étend à une réunion d’intervalles disjoints, permettant de considérer la dérivabilité sur plusieurs segments séparés. L’ensemble Df’ désigne l’ensemble des points où f est dérivable, et il est toujours inclus dans Df, l’ensemble de tous les points où f est définie. Par exemple, la fonction constante f(x) = k a une dérivée nulle partout, donc Df’ = IR. La fonction identité f(x) = x a une dérivée constante f’(x) = 1, également sur IR. La fonction racine carrée f(x) = √x est dérivable sur ]0 ; +∞[, avec f’(x) = 1 / (2√x).

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction est une fonction définie sur l’ensemble des points où la fonction initiale peut être localement linéarisée, constituant un nouvel objet d’étude.

📖 6. Dérivées des fonctions usuelles et démonstrations associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : fonction qui attribue la même valeur à tout point de son domaine, par exemple f(x) = k, avec k réel. La dérivée de cette fonction est nulle sur tout l’ensemble des réels.

• Fonction identité : fonction qui associe à chaque réel x lui-même, f(x) = x. Sa dérivée est égale à 1 sur l’ensemble des réels.

• Fonction racine carrée : fonction définie par f(x) = √x, avec son domaine sur ]0; +∞[. Sa dérivée est donnée par f’(x) = 1/(2√x).

• Démonstration de la dérivée : utilise la définition du nombre dérivé, c’est-à-dire la limite du taux de variation lorsque l’intervalle tend vers zéro, pour établir la valeur de la dérivée.

📝 Points essentiels

• La dérivée de la fonction constante f(x) = k est nulle, car le taux de variation entre deux points est nul, et la limite de ce taux lorsque l’écart tend vers zéro est également zéro. La dérivée de la fonction identité f(x) = x est 1, car le taux de variation entre deux points x et x+h est h/h = 1, et la limite lorsque h tend vers zéro reste 1. La dérivée de la racine carrée f(x) = √x est 1/(2√x), valable sur ]0; +∞[, obtenue par la limite du taux de variation ou la définition formelle de la dérivée. Ces résultats fondamentaux servent de base pour dériver des fonctions plus complexes, en utilisant notamment la linéarité et la règle de la chaîne.

💡 À retenir

Maîtriser ces dérivées de fonctions de base et leur justification rigoureuse permet de construire la dérivation de fonctions plus élaborées, en utilisant des propriétés fondamentales et la limite du taux de variation.

📖 7. Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient et dérivées correspondantes

🔑 Notions clés & Définitions

• OPÉRATIONS : LES FONCTIONS DÉRIVABLES

📝 Points essentiels

• Si u et v sont dérivables sur D, alors k·u, u+v, u·v sont dérivables sur D avec (k·u)’=k·u’, (u+v)’=u’+v’, (u·v)’=u’·v + u·v’.
• Les preuves reposent sur la limite du taux de variation et la continuité des fonctions dérivées.
• Ces règles sont essentielles pour le calcul différentiel appliqué.

💡 À retenir

Les règles de dérivation pour les opérations algébriques permettent de combiner et manipuler les fonctions dérivables efficacement.

📖 8. Formules de dérivation pour les puissances, fonctions rationnelles et composée avec fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Remarque : Si P est un polynôme de degré n > 0, alors P’ est un polynôme de degré n - 1.

📝 Points essentiels

• La dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹ pour tout n entier, en excluant x=0 si n<0.
• La dérivée d’une fonction polynomiale est un polynôme de degré inférieur, et toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine.
• Les fonctions polynômes sont dérivables sur IR, et leur degré de dérivée est inférieur de 1 au degré initial.

💡 À retenir

Les formules de dérivation pour les puissances, rationnelles et compositions avec fonctions affines facilitent le calcul des dérivées dans des cas fréquents.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des fonctions dérivables

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite de la fonction et limite de son taux de variation.
2. Oublier que la dérivée n'existe pas en un point où la fonction n'est pas dérivable.
3. Confondre la dérivée d'une fonction avec sa primitive.
4. Utiliser la règle de dérivation sans vérifier que les fonctions sont dérivables.
5. Erreur dans le calcul de la dérivée d'une fonction composée sans appliquer la règle de la chaîne.
6. Confondre la dérivée d'une somme ou produit avec la somme ou produit des dérivées.
7. Oublier que la dérivée d'une fonction rationnelle est définie sur son domaine.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la définition de la limite pour la limite finie en zéro.
2. Savoir calculer la dérivée d'une fonction simple comme x² ou √x.
3. Appliquer la formule de la dérivée d'une somme, produit et quotient.
4. Utiliser la règle de la chaîne pour les fonctions composées.
5. Connaître les dérivées des fonctions usuelles.
6. Vérifier le domaine de dérivabilité.
7. Interpréter géométriquement la dérivée.
8. Relier la dérivée à la vitesse instantanée.