Fiche de révision : Notions fondamentales en analyse mathématique

📋 Plan du Cours

1. Limites de fonctions
2. Théorème des gendarmes
3. Limite monotone
4. Continuité
5. Dérivabilité
6. Théorème de Rolle
7. Théorème des accroissements finis
8. Dérivées successives
9. Fonctions de classe Cn
10. Intégrale de Riemann

📖 1. Limites de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d'une fonction en un point :
  Proposition 1 : Soit ℓ ∈ R. lim x→x₀ f(x) = ℓ ⇐⇒ lim x→x₀ |f(x) − ℓ| = 0.
  Cela signifie que la fonction f(x) se rapproche de ℓ lorsque x s’approche de x₀.

• Propriétés des limites :
  La limite de la valeur absolue de (f(x) − ℓ) est nulle si et seulement si la limite de f(x) est ℓ.

• Limite infinie :
  La limite d’une fonction en un point peut être infinie, ce qui indique que la fonction croît ou décroît sans bound lorsque x approche x₀.

📝 Points essentiels

• La limite d’une fonction en un point x₀ est définie par la propriété : lim x→x₀ f(x) = ℓ si et seulement si lim x→x₀ |f(x) − ℓ| = 0.
• Le théorème d’encadrement (théorème des gendarmes) indique que si, sur un voisinage de x₀, on a f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), et si f(x) et h(x) ont la même limite ℓ en x₀, alors g(x) a aussi cette limite.
• La limite d’une fonction monotone au voisinage de x₀ existe et est finie si la fonction est croissante et majorée ou décroissante et minorée.
• Si une fonction est continue en x₀, alors sa limite en ce point est égale à sa valeur en x₀.
• La limite infinie indique que la fonction tend vers +∞ ou -∞ lorsque x approche x₀.

💡 À retenir

La limite d’une fonction en un point décrit son comportement lorsque x s’en rapproche, pouvant être finie ou infinie, et est essentielle pour analyser la continuité, la croissance ou la décroissance locale d’une fonction.

📖 2. Théorème des gendarmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des gendarmes (Proposition 2) : Si, sur un voisinage de x₀, on a f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), et si f(x) → ℓ et h(x) → ℓ lorsque x → x₀, alors g(x) → ℓ lorsque x → x₀.
• Encadrement des limites : Technique consistant à placer une fonction g(x) entre deux autres fonctions f(x) et h(x), dont les limites en un point sont connues ou convergentes, afin de déduire la limite de g(x).
• Application du théorème : Utilisation du théorème pour établir la limite d'une fonction en la comparant à des fonctions dont la limite est connue, en particulier par encadrement.

📝 Points essentiels

• Le théorème permet de déterminer la limite d'une fonction g en la plaçant entre deux autres fonctions f et h, dont les limites en x₀ sont identiques.
• La limite de g en x₀ est alors la même que celles de f et h, à condition que ces limites existent et soient égales.
• La propriété d'encadrement est souvent utilisée pour prouver l'existence d'une limite ou pour calculer une limite difficile à déterminer directement.
• La limite de g est assurée si f(x) et h(x) ont la même limite ℓ en x₀, et si g(x) est toujours comprise entre f(x) et h(x) dans un voisinage de x₀.

💡 À retenir

Le théorème des gendarmes est un outil fondamental pour encadrer et déduire la limite d'une fonction en utilisant deux fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable, en assurant que la fonction étudiée reste entre elles dans un voisinage du point considéré.

📖 3. Limite monotone

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction monotone : Une fonction f est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle I.

• Croissante : f est croissante si, pour tous x, y dans I avec x < y, on a f(x) ≤ f(y).
• Décroissante : f est décroissante si, pour tous x, y dans I avec x < y, on a f(x) ≥ f(y).

Théorème de la limite monotone (de POINT (voir source)) :

• Toute fonction monotone au voisinage de x0 admet une limite en x0.
• Si f est croissante et majorée, ou décroissante et minorée, cette limite est finie.
• Si f est croissante et non majorée, ou décroissante et non minorée, alors cette limite est infinie.

Comportement aux bornes :

• Si une fonction monotone est définie sur un intervalle fermé [a, b], elle atteint ses bornes (valeurs extrêmes) en a et b, c’est-à-dire qu’elle atteint ses valeurs minimale et maximale.

📝 Points essentiels

• La limite d’une fonction monotone en un point ou à l’infini existe (finie ou infinie).
• La limite d’une fonction monotone est liée à son comportement sur un voisinage de x0.
• La limite en un point peut être finie ou infinie, selon si la fonction est majorée/minorée ou non.
• La limite d’une fonction croissante non majorée tend vers +∞, celle d’une décroissante non minorée tend vers -∞.
• La limite d’une fonction monotone au bord d’un intervalle fermé est atteinte, c’est une valeur extrême.

💡 À retenir

Une fonction monotone possède toujours une limite en tout point de son voisinage, et cette limite est finie si la fonction est majorée ou minorée. La limite à l’infini dépend de si la fonction est croissante ou décroissante et si elle est bornée ou non.

📖 4. Continuité

🔑 Notions clés & Définitions

Continuité en un point :
Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si elle admet $f(x_0)$ comme limite en ce point. Autrement dit,
$\text{f est continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

Continuité à droite en un point :
Une fonction $f$ est continue à droite en $x_0$ si la limite à droite en ce point existe et est égale à la valeur en ce point :
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0).$

Continuité à gauche en un point :
Une fonction $f$ est continue à gauche en $x_0$ si la limite à gauche en ce point existe et est égale à la valeur en ce point :
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$

Propriétés des fonctions continues :

• Toute somme, produit ou composée de fonctions continues est continue (sur les ensembles adéquats).
• Si $f$ est continue en $x_0$, alors pour toute suite $x_n \to x_0$, on a $f(x_n) \to f(x_0)$.
• La limite d'une fonction continue en un point est égale à sa valeur en ce point.

📝 Points essentiels

• La continuité en un point se caractérise par la limite de la fonction en ce point étant égale à sa valeur.
• La continuité à droite ou à gauche concerne uniquement la limite d’un côté (droit ou gauche) en un point.
• La propriété fondamentale : toute opération algébrique (somme, produit, composition) de fonctions continues reste continue.
• La continuité est liée à la stabilité du comportement de la fonction près du point considéré.
• La continuité en un point implique la continuité sur un intervalle si la fonction est continue en chaque point de cet intervalle.

💡 À retenir

Une fonction est continue en un point si sa limite en ce point est égale à sa valeur ; cette propriété se propage à travers les opérations algébriques, garantissant la stabilité du comportement des fonctions continues.

📖 5. Dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

Dérivée en un point :
AUTEUR (date) : La dérivée d’une fonction f en un point x₀ est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement lorsque x tend vers x₀, c’est-à-dire :
$f'(x₀) = \lim_{x \to x₀} \frac{f(x) - f(x₀)}{x - x₀}$
Elle représente la pente de la tangente à la courbe en x₀.

Taux d’accroissement :
AUTEUR (date) : La quantité $\frac{f(x) - f(x₀)}{x - x₀}$ pour x proche de x₀, qui mesure la variation moyenne de la fonction entre x et x₀. La dérivée en x₀ est la limite de ce taux lorsque x tend vers x₀.

Dérivabilité à droite :
AUTEUR (date) : La fonction f est dérivable à droite en x₀ si la limite du taux d’accroissement quand x tend vers x₀ par valeurs supérieures existe et est finie :
$f'_{+}(x₀) = \lim_{x \to x₀^+} \frac{f(x) - f(x₀)}{x - x₀}$

Dérivabilité à gauche :
AUTEUR (date) : La fonction f est dérivable à gauche en x₀ si la limite du taux d’accroissement quand x tend vers x₀ par valeurs inférieures existe et est finie :
$f'_{-}(x₀) = \lim_{x \to x₀^-} \frac{f(x) - f(x₀)}{x - x₀}$

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point implique que la limite du taux d’accroissement existe et est finie.
• La dérivée en un point peut ne pas exister si la limite du taux d’accroissement n’existe pas ou est infinie.
• La dérivabilité à droite et à gauche concerne la limite du taux d’accroissement lorsque x approche x₀ par la droite ou par la gauche, respectivement.
• La dérivabilité à un point implique la dérivabilité à droite et à gauche en ce point, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
• La dérivée en un point est la limite du taux d’accroissement, qui peut être différente selon la direction si la fonction n’est pas dérivable en ce point.

💡 À retenir

La dérivabilité en un point est définie par l’existence d’une limite du taux d’accroissement, et la dérivabilité à droite ou à gauche se limite à la limite du taux d’accroissement dans la direction correspondante.

📖 6. Théorème de Rolle

🔑 Notions clés & Définitions

Théorème de Rolle :
Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$, et si $f(a) = f(b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans $]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Existence d’un point critique :
Un point $c$ dans le domaine d’une fonction $f$ où la dérivée $f'(c)$ s’annule, c’est-à-dire $f'(c) = 0$.

Conditions d’extremum local :
Un point $c$ est un extremum local si, dans un voisinage de $c$, la fonction $f$ ne prend que des valeurs inférieures ou égales (pour un maximum) ou supérieures ou égales (pour un minimum) à sa valeur en $c$.
Selon le théorème de Rolle, si $f'(c) = 0$ et si certaines conditions de continuité et dérivabilité sont vérifiées, alors $c$ peut être un extremum local.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Rolle établit une condition nécessaire pour qu’un extremum local se produise : si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$, et si $f(a) = f(b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans $]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.
• La présence d’un point critique ($f'(c) = 0$) est une condition nécessaire pour un extremum local, mais pas suffisante.
• La condition $f(a) = f(b)$ est essentielle pour appliquer le théorème de Rolle.
• Le point $c$ où $f'(c) = 0$ peut correspondre à un maximum, un minimum ou une inflexion, selon le contexte et la nature de la fonction.

💡 À retenir

Le théorème de Rolle garantit l’existence d’un point critique dans un intervalle si la fonction est continue, dérivable, et que ses valeurs aux extrémités sont égales. Ce point critique est souvent associé à un extremum local, mais sa présence seul ne suffit pas à le confirmer.

📖 7. Théorème des accroissements finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des accroissements finis : Énonce qu’étant donné une fonction continue sur un segment fermé [a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[, il existe au moins un point c ∈ ]a, b[ tel que
  $f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)$.
  Ce théorème relie la variation de la fonction à une valeur de sa dérivée en un point intermédiaire.

• Existence d’un point c : Selon le théorème, il existe au moins un c dans ]a, b[ tel que la relation entre la variation de la fonction et sa dérivée en c soit vérifiée.

• Expression du taux d’accroissement : La différence $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (taux d’accroissement moyen) est égale à la valeur de la dérivée en un point c, c’est-à-dire
  $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$.

📝 Points essentiels

• Le théorème garantit l’existence d’un point c où la pente de la tangente (f′(c)) est égale au taux d’accroissement moyen entre a et b.
• Il est fondamental pour justifier des propriétés comme la monotonie, l’existence d’extremums locaux, ou encore pour établir des inégalités.
• La relation $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ permet d’évaluer ou d’estimer la variation d’une fonction à partir de sa dérivée.
• La notion d’existence d’un point c est essentielle pour relier la variation globale à une valeur locale de la dérivée.

💡 À retenir

Le théorème des accroissements finis établit qu’entre deux points, la variation d’une fonction continue et dérivable est toujours reliée à une valeur de sa dérivée en un point intermédiaire, ce qui permet de faire le lien entre la croissance locale et la variation globale.

📖 8. Dérivées successives

🔑 Notions clés & Définitions

Dérivées successives :
Les dérivées successives d'une fonction f sont obtenues en dérivant successivement la fonction. La première dérivée, notée f′, est la dérivée ordinaire de f. La n-ième dérivée, notée f(n), est la dérivée de la (n−1)-ième dérivée, si elle existe. (voir section 6)

Dérivée d’ordre n :
La dérivée d’ordre n de f, notée f(n), est la fonction obtenue en dérivant n fois la fonction initiale f, si cette dérivation est possible. Elle est définie lorsque toutes les dérivées successives jusqu’à l’ordre n existent et sont continues. (voir section 9)

Fonctions de classe Cn :
Une fonction f est de classe Cn sur un intervalle I si elle est n fois dérivable sur I et si ses dérivées d’ordre k, pour 1 ≤ k ≤ n, sont continues sur I. Cela garantit l’existence et la continuité des dérivées successives jusqu’à l’ordre n. (voir section 9)

📝 Points essentiels

• La dérivée d’ordre n, f(n), est obtenue en dérivant la fonction f successivement n fois.
• La classe Cn implique que toutes les dérivées successives jusqu’à l’ordre n sont continues.
• La dérivation successive permet d’étudier le comportement local de la fonction, notamment pour analyser la concavité, les points d’inflexion, ou pour le développement en série (Taylor).
• La propriété de stabilité : si f est de classe Cn, alors ses dérivées successives jusqu’à n sont bien définies et continues.

💡 À retenir

Les dérivées successives permettent d’analyser en profondeur la nature locale d’une fonction, et une fonction de classe Cn possède toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n continues, ce qui facilite leur étude et leur développement.

📖 9. Fonctions de classe Cn

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de classe Cn : Une fonction f est de classe Cn sur un intervalle I si elle est n fois dérivable sur I et si sa dérivée d’ordre n, notée f (n), est continue sur I.
• Fonction infiniment différentiable : Une fonction f est infiniment différentiable si elle est de classe Cn pour tout n ∈ N, c’est-à-dire qu’elle possède toutes ses dérivées d’ordre n, pour n allant à l’infini.
• Exemples de fonctions C∞ : Les fonctions polynômes, fractions rationnelles, logarithme népérien, exponentielle, puissances, cos, sin, sh, ch, tan, th, arctan, etc., sont de classe C∞ sur leur domaine de définition (voir Proposition 4).

📝 Points essentiels

• La classe Cn d’une fonction implique que cette fonction possède toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n, et que la dérivée d’ordre n est continue.
• La propriété d’être de classe Cn est stable par opérations usuelles : somme, produit, composition (Theoreme 11).
• Les fonctions usuelles telles que polynômes, exponentielles, trigonométriques, logarithmes, etc., sont de classe C∞ sur leur domaine de définition (Proposition 4).
• La classe Cn permet d’établir des développements en série de Taylor (Theoreme 12 et 13).
• Une fonction est infiniment différentiable si elle appartient à la classe C∞, ce qui signifie qu’elle possède une dérivée de tout ordre, continue (définition implicite dans le contexte).

💡 À retenir

Une fonction de classe Cn possède toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n, et si elle est de classe C∞, elle possède une infinité de dérivées continues, ce qui permet de réaliser des développements en série de Taylor et d’assurer une grande régularité.

📖 10. Intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

Intégrale de Riemann : Construction de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment [a, b] par la limite des sommes de Riemann, qui sont des sommes finies de produits de la valeur de la fonction en certains points par la longueur des sous-intervalles (voir section 1).

Construction par approximation : Méthode consistant à approcher l’intégrale d’une fonction continue par une suite de sommes de Riemann, issues de subdivisions successives du segment [a, b], dont la limite définit l’intégrale (voir section 1).

Propriétés fondamentales de l’intégrale :

• Linéarité : ∫ [a,b] (λf + μg) = λ∫ [a,b] f + μ∫ [a,b] g (voir section 2).
• Additivité : ∫ [a,c] f + ∫ [c,b] f = ∫ [a,b] f pour c ∈]a, b[ (voir section 2).
• Positivité : Si f > 0, alors ∫ [a,b] f > 0 (voir section 2).
• Croissance : Si f ≤ g, alors ∫ [a,b] f ≤ ∫ [a,b] g (voir section 2).
• Critère de nullité : Si f continue et ∫ [a,b] f = 0 et f > 0, alors f = 0 (voir section 2).

📝 Points essentiels

• La construction de l’intégrale repose sur la notion de subdivision (σ) de [a, b], composée d’un ensemble fini de points croissants (x0, ..., xn) avec a = x0 < ... < xn = b (voir section 1).
• Une fonction en escalier est définie sur [a, b] si elle est constante sur chaque sous-intervalle d’une subdivision (voir section 1).
• L’intégrale d’une fonction continue f sur [a, b] est la limite des sommes de Riemann associées à une suite de subdivisions de plus en plus fines, convergeant vers une valeur unique (théorème 14).
• La formule de l’intégrale de Riemann est géométriquement interprétée comme l’aire algébrique de la région délimitée par la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites x = a, x = b (voir section 1).
• La propriété d’additivité permet de découper l’intégrale sur [a, b] en intégrales sur des sous-intervalles (voir section 2).
• La limite des sommes de Riemann est atteinte lorsque la longueur maximale des sous-intervalles tend vers zéro (théorème 14).

💡 À retenir

L’intégrale de Riemann, construite par approximation via les sommes de Riemann, permet de mesurer l’aire sous une courbe continue, en utilisant la limite de sommes finies sur des subdivisions de l’intervalle.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite finie et limite infinie, notamment dans l’interprétation du comportement de la fonction.
2. Utiliser incorrectement le théorème des gendarmes sans vérifier que les limites encadrantes sont égales.
3. Supposer qu’une fonction monotone a toujours une limite finie, alors qu’elle peut tendre vers +∞ ou -∞.
4. Confondre continuité en un point avec la continuité sur un intervalle (il faut vérifier la limite et la valeur en chaque point).
5. Croire qu’une fonction dérivable doit forcément être continue (la dérivabilité implique la continuité, mais pas l’inverse).
6. Omettre de vérifier l’existence de la limite du taux d’accroissement pour établir la dérivabilité.
7. Confondre dérivée à gauche/droite avec la dérivée en un point (qui nécessite la limite quand x→x₀).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la limite d’une fonction en un point, selon la proposition 1.
2. Maîtriser le théorème des gendarmes et ses conditions d’application.
3. Savoir que toute fonction monotone admet une limite en tout point de son voisinage.
4. Comprendre la différence entre continuité en un point, à droite, à gauche, et la continuité sur un intervalle.
5. Connaître la propriété que la somme, le produit, et la composition de fonctions continues sont continues.
6. Savoir que la limite infinie indique que la fonction tend vers +∞ ou -∞.
7. Maîtriser la définition de la dérivée en un point, en lien avec le taux d’accroissement.
8. Connaître la différence entre dérivabilité à droite, à gauche, et en un point.
9. Savoir que la dérivabilité implique la continuité, mais pas l’inverse.
10. Savoir que la limite du taux d’accroissement est la dérivée si elle existe.
11. Connaître la définition de la limite monotone et ses implications.
12. Être capable d’utiliser le théorème des gendarmes pour calculer une limite difficile.