Fiche de révision : Notions fondamentales en espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Familles liées, libres, génératrices et bases
2. Coordonnées d’un vecteur dans une base
3. Dimension des espaces vectoriels et théorème
4. Dimension des sous-espaces et formule de Grassmann
5. Applications linéaires : définition et propriétés
6. Théorème du rang et applications de mêmes dimensions

📖 1. Familles liées, libres, génératrices et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille liée : Une famille est dite liée s’il existe une combinaison linéaire non triviale qui donne le vecteur nul.
• Famille libre : Une famille est dite libre si toute combinaison linéaire donnant 0 impose tous les coefficients nuls.
• Famille génératrice : Une famille est génératrice de E si tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
• Base : Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice de E.
• Famille finie génératrice : Une famille génératrice est dite finie si elle contient un nombre fini de vecteurs.

📝 Points essentiels

• Famille liée : il existe des scalaires non tous nuls tels que la combinaison linéaire des vecteurs de la famille soit nulle.
• Famille libre : si une combinaison linéaire des vecteurs vaut 0, alors tous les coefficients doivent être nuls.
• Famille génératrice : E est égal à Vect(u1,…,un) quand tout vecteur de E s’écrit avec ces vecteurs.
• Base : une famille est une base de E si et seulement si elle est libre et génératrice.
• En dimension finie, on peut extraire une base d’une famille génératrice finie en supprimant des vecteurs redondants jusqu’à obtenir une famille libre.
• Théorème de la base incomplète : en dimension finie, toute famille libre peut être complétée en une base.

💡 Astuce mémo

Libre = seule façon d’obtenir 0 est coefficients tous nuls ; Liée = 0 obtenu avec au moins un coefficient non nul.

📖 2. Coordonnées d’un vecteur dans une base

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur u dans une base sont les coefficients uniques permettant d’écrire u comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
• Unicité des coordonnées : Dans une base, l’écriture d’un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base est unique.
• Base (u1,…,un) : Une base (u1,…,un) est une famille libre et génératrice qui permet d’exprimer tout vecteur de E de manière unique.

📝 Points essentiels

• Existence : tout vecteur u de E s’écrit u=c1u1+…+cnun dans une base (u1,…,un).
• Unicité : si u=c1u1+…+cnun et u=d1u1+…+dnun, alors ci=di pour tout i.
• Les coordonnées forment un n-uplet (c1,…,cn) dans Kn associé à la base choisie.
• Le lien direct : u est déterminé par ses coordonnées dans la base, et inversement les coordonnées déterminent u.
• La preuve d’unicité repose sur la liberté de la base : la différence des deux écritures donne une combinaison nulle imposant l’égalité des coefficients.

💡 Astuce mémo

Base = “coefficients uniques” : deux écritures différentes seraient une combinaison nulle non triviale, donc impossible en base libre.

📖 3. Dimension des espaces vectoriels et théorème

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension finie : Un espace vectoriel est de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.
• Dimension nulle : Un espace vectoriel est de dimension 0 s’il est réduit au vecteur nul.
• Dimension d’un espace : La dimension d’un espace de dimension finie est le cardinal d’une base de cet espace.
• Théorème de la dimension : Le théorème affirme que toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même cardinal.

📝 Points essentiels

• Si E={0E}, alors dim(E)=0.
• Si E n’est pas réduit à {0E} et est de dimension finie, dim(E) est le nombre d’éléments d’une base.
• Lien base/dimension : une famille libre de cardinal n est une base exactement quand n=dim(E.
• Théorème de la dimension : toutes les bases de E ont le même cardinal, donc dim(E) est bien défini.
• Preuve-type : une base a un cardinal qui coïncide avec la taille maximale d’une famille libre et minimale d’une famille génératrice.
• Conséquence pratique : pour calculer dim(E), on peut chercher une base (ou une famille libre maximale / génératrice minimale) en dimension finie.

💡 Astuce mémo

dim(E) = taille d’une base ; et toutes les bases ont la même taille (donc dim ne dépend pas du choix de la base).

📖 4. Dimension des sous-espaces et formule de Grassmann

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Un sous-espace vectoriel F de E est un sous-ensemble de E stable par combinaison linéaire.
• Dimension d’un sous-espace : La dimension d’un sous-espace F est la dimension de F considérée comme espace vectoriel en lui-même.
• Formule de Grassmann : La formule de Grassmann relie les dimensions de F, G, F+G et F∩G dans un espace de dimension finie.
• Somme de sous-espaces : La somme F+G est l’ensemble des sommes d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.
• Intersection de sous-espaces : L’intersection F∩G est l’ensemble des vecteurs appartenant à la fois à F et à G.

📝 Points essentiels

• Si E est de dimension finie et F est un sous-espace de E, alors F est de dimension finie.
• On a dim(F) ≤ dim(E).
• On a dim(F)=dim(E) si et seulement si F=E.
• Formule de Grassmann : dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).
• La formule s’applique quand F et G sont des sous-espaces de dimension finie (dans E de dimension finie).
• Interprétation utile : la dimension de F+G “compte” F et G mais retire le chevauchement F∩G.

💡 Astuce mémo

Grassmann = addition puis correction : +dim(F)+dim(G) − dim(intersection).

📖 5. Applications linéaires : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application f:E→F est linéaire si elle respecte les opérations de combinaison linéaire : f(ωu+v)=ωf(u)+f(v).
• Endomorphisme : Un endomorphisme est une application linéaire de E dans E.
• Isomorphisme : Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
• Automorphisme : Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
• Ensemble L(E,F) : L(E,F) désigne l’ensemble des applications linéaires de E vers F.

📝 Points essentiels

• Définition : pour tout u,v∈E et tout ω∈K, f(ωu+v)=ωf(u)+f(v).
• Propriété : f(0E)=0F.
• Propriété additive : f(u+v)=f(u)+f(v).
• Propriété d’homogénéité : f(ωu)=ωf(u).
• Notation : L(E,F) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
• Terminologie : endomorphisme (E→E), isomorphisme (linéaire bijective), automorphisme (endomorphisme bijectif).

💡 Astuce mémo

Linéarité = “distributivité + homogénéité” : f(ωu+v)=ωf(u)+f(v).

📖 6. Théorème du rang et applications de mêmes dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Noyau Ker(f) : Le noyau de f est l’ensemble des vecteurs u de E tels que f(u)=0F.
• Image Im(f) : L’image de f est l’ensemble des vecteurs de F obtenus comme f(u) pour u dans E.
• Rang d’une application : Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image quand celle-ci est de dimension finie.
• Théorème du rang : Le théorème du rang relie la dimension de E à celles du noyau et de l’image d’une application linéaire.
• Injectivité : Une application est injective si deux vecteurs distincts n’ont jamais la même image.

📝 Points essentiels

• Ker(f)={u∈E | f(u)=0F}.
• Caractérisation injectivité : f injective ⇔ Ker(f)={0E}.
• Im(f)={f(u) | u∈E} et c’est un sous-espace de F.
• Caractérisation surjectivité : f surjective ⇔ Im(f)=F.
• Rang d’une famille finie : rang(u1,…,un)=dim(Vect(u1,…,un)).
• Théorème du rang : dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f)) (quand E est de dimension finie).

💡 Astuce mémo

Rang = “taille de l’image” ; Noyau = “taille des solutions de f(u)=0” ; et dim(E) = noyau + image.

📊 Tableaux de synthèse

Base : lien libre/génératrice

Injectivité et noyau

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre famille liée et libre : une famille liée admet une combinaison non triviale donnant 0, alors qu’une famille libre n’autorise que la combinaison triviale.
2. Croire que les coordonnées dépendent de l’existence seulement : dans une base, elles sont aussi uniques (pas seulement possibles).
3. Penser que dim(F) peut dépasser dim(E) : pour un sous-espace F d’un espace de dimension finie E, on a toujours dim(F) ≤ dim(E).
4. Oublier le signe “− dim(F∩G)” dans la formule de Grassmann : la somme double-compte le chevauchement sinon.
5. Se tromper dans les caractérisations : injectivité ↔ noyau nul, surjectivité ↔ image égale au codomaine.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner les définitions de famille liée, libre, génératrice et base, et reconnaître la base comme intersection des deux propriétés libre + génératrice.
2. Savoir énoncer et utiliser l’existence et l’unicité des coordonnées d’un vecteur dans une base.
3. Savoir définir la dimension finie, la dimension 0, et relier dimension à la taille d’une base.
4. Savoir énoncer le théorème de la dimension : toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même cardinal.
5. Savoir énoncer dim(F) ≤ dim(E) pour un sous-espace F et le critère d’égalité dim(F)=dim(E) ⇔ F=E.
6. Savoir énoncer la formule de Grassmann : dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).
7. Savoir définir une application linéaire et citer les propriétés f(0E)=0F, f(u+v)=f(u)+f(v), f(ωu)=ωf(u).
8. Savoir définir endomorphisme, isomorphisme et automorphisme, et les notations associées.
9. Savoir définir noyau et image, et donner les caractérisations injectivité (noyau nul) et surjectivité (image égale au codomaine).
10. Savoir énoncer le théorème du rang : dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f)) et relier rang à la dimension de l’image.
11. Savoir conclure : si dim(E)=dim(F) (finies), alors f bijective ⇔ f injective ⇔ f surjective.