QCM : Notions fondamentales en espaces vectoriels — 12 questions

Question 1

1. Quand une famille de vecteurs est-elle dite libre ?

Lorsqu’une combinaison linéaire nulle impose que tous les coefficients soient nuls

Lorsqu’elle contient un nombre fini de vecteurs

Lorsqu’elle engendre l’espace vectoriel considéré

Lorsqu’une combinaison linéaire nulle admet au moins un coefficient non nul

Explication

Une famille est libre si la seule façon d’obtenir le vecteur nul par combinaison linéaire est d’avoir tous les coefficients nuls. La présence d’une combinaison nulle non triviale caractérise au contraire une famille liée.

Answer

Lorsqu’une combinaison linéaire nulle impose que tous les coefficients soient nuls

Question 2

2. Quelle affirmation caractérise une base d’un espace vectoriel ?

C’est une famille seulement génératrice

C’est une famille à la fois libre et génératrice

C’est une famille finie de vecteurs non nuls

C’est une famille seulement libre

Explication

Une base est précisément une famille qui est à la fois libre et génératrice. Être finie ou non n’est pas suffisant pour définir une base.

Answer

C’est une famille à la fois libre et génératrice

Question 3

3. Dans une base donnée, que représentent les coordonnées d’un vecteur ?

Le nombre de vecteurs de l’espace

Les coefficients obtenus dans n’importe quelle famille génératrice

Les vecteurs de la base eux-mêmes

Les coefficients uniques de son écriture comme combinaison linéaire de la base

Explication

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients uniques qui permettent de l’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Cette unicité dépend du fait que la base est libre.

Answer

Les coefficients uniques de son écriture comme combinaison linéaire de la base

Question 4

4. Pourquoi l’écriture d’un vecteur dans une base est-elle unique ?

Parce que l’espace est de dimension finie

Parce qu’une base est génératrice

Parce que tous les vecteurs sont non nuls

Parce qu’une base est libre

Explication

Si un vecteur avait deux écritures dans une base, leur différence donnerait une combinaison linéaire nulle. La liberté de la base force alors l’égalité de tous les coefficients.

Answer

Parce qu’une base est libre

Question 5

5. Que vaut la dimension d’un espace vectoriel réduit au vecteur nul ?

Elle n’est pas définie

Le cardinal d’une base quelconque

0

1

Explication

Un espace réduit à {0} est de dimension nulle. Par convention et par définition, sa dimension vaut 0.

Answer

Toutes les bases ont le même cardinal

Answer

dim(F) est inférieure ou égale à dim(E)

Answer

dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G)

Answer

f(ωu+v)=ωf(u)+f(v)

Answer

Un automorphisme

Answer

Son noyau est réduit au vecteur nul

Answer

dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

Question 6

6. Que garantit le théorème de la dimension dans un espace vectoriel de dimension finie ?

Toute famille génératrice est une base

Toute famille libre est génératrice

Toutes les bases ont le même cardinal

Toute base contient le même vecteur nul

Explication

Le théorème de la dimension affirme que toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même nombre d’éléments. C’est ce qui rend la dimension bien définie.

Question 7

7. Quelle relation est toujours vraie pour un sous-espace F d’un espace vectoriel E de dimension finie ?

dim(F) est inférieure ou égale à dim(E)

dim(F) est égale à la dimension de tout sous-espace de E

dim(F) est strictement supérieure à dim(E)

dim(F) vaut toujours 0

Explication

Un sous-espace ne peut pas avoir une dimension supérieure à celle de l’espace ambiant. On a donc toujours dim(F) ≤ dim(E).

Question 8

8. Quelle est la formule de Grassmann pour deux sous-espaces F et G ?

dim(F+G)=dim(F)·dim(G)

dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G)

dim(F∩G)=dim(F+G)+dim(F)+dim(G)

dim(F∩G)=dim(F)+dim(G)-dim(F+G)

Explication

La formule de Grassmann exprime la dimension de la somme en ajoutant les dimensions puis en retirant celle de l’intersection. Cela évite de compter deux fois la partie commune à F et G.

Question 9

9. Quelle propriété définit la linéarité d’une application f ?

f(ωu+v)=ωf(u)+f(v)

f(ωu)=f(u)+ω

f(u+v)=f(u)f(v)

f(u)=u pour tout u

Explication

Une application linéaire respecte les combinaisons linéaires : elle transforme ωu+v en ωf(u)+f(v). Les autres propositions ne traduisent pas la linéarité.

Question 10

10. Comment appelle-t-on une application linéaire de E dans E qui est bijective ?

Un automorphisme

Un isomorphisme seulement

Un endomorphisme non injectif

Une application affine

Explication

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif, donc une application linéaire de E dans E qui est bijective. Un isomorphisme est bijectif aussi, mais il n’est pas forcément de E dans E.

Question 11

11. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une application linéaire f ?

Son noyau contient tous les vecteurs de départ

Son image est réduite au vecteur nul

Son image est égale à tout le codomaine

Son noyau est réduit au vecteur nul

Explication

Pour une application linéaire, l’injectivité est équivalente à un noyau trivial : Ker(f)={0}. La surjectivité, elle, se lit sur l’image égale au codomaine.

Question 12

12. Quelle égalité exprime le théorème du rang pour une application linéaire f sur un espace de dimension finie ?

dim(Im(f))=dim(E)+dim(Ker(f))

dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

dim(Ker(f))=dim(Im(f))

dim(E)=dim(Ker(f))−dim(Im(f))

Explication

Le théorème du rang dit que la dimension de l’espace de départ se décompose en somme de la dimension du noyau et de celle de l’image. C’est la relation fondamentale entre noyau, image et dimension.

QCM : Notions fondamentales en espaces vectoriels — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quand une famille de vecteurs est-elle dite libre ?

2. Quelle affirmation caractérise une base d’un espace vectoriel ?

3. Dans une base donnée, que représentent les coordonnées d’un vecteur ?

4. Pourquoi l’écriture d’un vecteur dans une base est-elle unique ?

5. Que vaut la dimension d’un espace vectoriel réduit au vecteur nul ?

6. Que garantit le théorème de la dimension dans un espace vectoriel de dimension finie ?

7. Quelle relation est toujours vraie pour un sous-espace F d’un espace vectoriel E de dimension finie ?

8. Quelle est la formule de Grassmann pour deux sous-espaces F et G ?

9. Quelle propriété définit la linéarité d’une application f ?

10. Comment appelle-t-on une application linéaire de E dans E qui est bijective ?

11. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une application linéaire f ?

12. Quelle égalité exprime le théorème du rang pour une application linéaire f sur un espace de dimension finie ?

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