Fiche de révision : Notions fondamentales en probabilités

📋 Plan du Cours

1. Environnement probabiliste et univers Ω
2. Événements élémentaires et événements
3. Probabilité d’un événement par somme
4. Événement certain et événement impossible
5. Réunion d’événements et incompatibilité
6. Probabilité conditionnelle et intersection
7. Formule des probabilités totales et partitions
8. Indépendance de deux événements et contraires

📖 1. Environnement probabiliste et univers Ω

🔑 Notions clés & Définitions

• Issues : Les issues sont les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
• Univers Ω : L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues pouvant être obtenues lors d’une expérience aléatoire.
• Événement : Un événement est une partie de Ω, donc un ensemble d’issues.
• Événement élémentaire : Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu’une seule issue de Ω.

📝 Points essentiels

• Pour un dé à six faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 et l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6}.
• Les événements élémentaires correspondent conceptuellement aux événements {1}, {2}, …, {6}.
• La probabilité d’un événement est un nombre réel, alors que l’événement lui-même est un ensemble d’issues.
• Un événement peut contenir plusieurs issues, contrairement à un événement élémentaire.
• L’univers Ω représente l’ensemble des cas possibles, et tout événement est inclus dans Ω.
• Les notations d’événements sont des lettres (ex. A, B) et leurs contenus sont des sous-ensembles de Ω.

💡 Astuce mémo

Ω = “tous les résultats possibles” ; événement = “morceau de Ω” ; élémentaire = “morceau d’une seule issue”.

📖 2. Événements élémentaires et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement élémentaire : Un événement élémentaire contient exactement une issue de l’univers Ω.
• Événement : Un événement est une partie de Ω, donc un ensemble d’issues réalisant un critère.

📝 Points essentiels

• Les événements élémentaires sont les briques de base : ils correspondent aux issues prises une par une.
• Un événement est construit en rassemblant plusieurs issues de Ω.
• Dans l’exemple du dé, l’événement « multiple de 3 » correspond à {3,6}.
• Dans l’exemple du dé, l’événement « pair » correspond à {2,4,6}.
• Un événement peut être représenté par la liste de ses issues (ex. {2,4,5,6} pour une réunion).
• La distinction événement / probabilité est essentielle : l’événement est un ensemble, la probabilité est un réel.

💡 Astuce mémo

Élémentaire = 1 issue ; événement = plusieurs issues.

📖 3. Probabilité d’un événement par somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité d’un événement : La probabilité d’un événement est obtenue en additionnant les probabilités des événements élémentaires qui le composent.

📝 Points essentiels

• Si A est un événement, alors P(A) est la somme des P(E) pour tous les événements élémentaires E contenus dans A.
• Pour un dé équilibré, les issues ont la même probabilité, donc les événements élémentaires ont tous la même probabilité.
• Exemple : pour A = « multiple de 3 », on a A = {3,6}.
• Dans le cas du dé équilibré, P(3) = 1/6 et P(6) = 1/6.
• Donc P(A) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
• Cette méthode repose sur la décomposition de l’événement en événements élémentaires.

💡 Astuce mémo

P(A) = somme des “briques” élémentaires dans A.

📖 4. Événement certain et événement impossible

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement certain : Un événement certain est un événement qui se réalise sûrement, donc sa probabilité vaut 1.
• Événement impossible : Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais, donc sa probabilité vaut 0.

📝 Points essentiels

• Un événement certain a une probabilité égale à 1.
• Ω est un exemple d’événement certain, car il correspond à tous les cas possibles.
• La probabilité 1 correspond à 100% de chance dans l’écriture décimale.
• Un événement impossible a une probabilité nulle.
• L’ensemble vide ∅ est un exemple d’événement impossible.
• La probabilité d’un événement impossible est notée P(∅) = 0.

💡 Astuce mémo

Certain = “toujours” → 1 ; Impossible = “jamais” → 0.

📖 5. Réunion d’événements et incompatibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion : La réunion A ∪ B est l’événement qui se produit dès qu’au moins un des deux événements A ou B se produit.
• Incompatibilité : Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément, donc s’ils n’ont aucune issue commune.

📝 Points essentiels

• La réunion A ∪ B contient les issues qui réalisent A OU réalisent B (ou les deux).
• Pour construire A ∪ B, on liste les issues présentes dans A ou dans B sans doublons.
• Exemple dé : A = « pair » = {2,4,6} et B = « ≥ 5 » = {5,6}.
• Dans l’exemple, A ∪ B = {2,4,5,6}.
• Deux événements incompatibles n’ont pas d’issue commune, donc leur intersection est vide.
• Exemple dé : « multiple de 3 » et « 4 ou 5 » sont incompatibles car ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

💡 Astuce mémo

∪ = “au moins l’un” ; incompatibles = “pas d’intersection d’issues”.

📖 6. Probabilité conditionnelle et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P(A|B) mesure la probabilité de A sachant que B est réalisé, avec P(B) ≠ 0.
• Intersection : L’intersection A ∩ B est l’événement qui se produit lorsque A et B sont simultanément réalisés.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle est définie pour P(B) ≠ 0.
• La formule donnée est P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Exemple : probabilité d’être une femme sachant qu’on est cadre vaut 0,55 si 55% des cadres sont des femmes.
• Dans l’exemple, l’événement « femme et cadre » correspond à l’intersection des deux événements.
• Propriété admise : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) (forme équivalente à partir de la définition).
• Dans l’exemple : P(cadre) = 0,4 et P(femme|cadre) = 0,55, donc P(femme ∩ cadre) = 0,4 × 0,55 = 0,22.

💡 Astuce mémo

Conditionnelle = “intersection divisée par la probabilité de la condition” : P(A|B)=P(A∩B)/P(B).

📖 7. Formule des probabilités totales et partitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de Ω est une famille d’événements non nuls, deux à deux incompatibles, dont la réunion vaut Ω.
• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime P(A) comme la somme des probabilités P(A ∩ B_i) sur une partition {B_i} de Ω.

📝 Points essentiels

• Une partition {B1,…,Bn} vérifie : probabilités non nulles, incompatibilité deux à deux, et réunion égale à Ω.
• La formule des probabilités totales s’écrit P(A) = Σ P(A ∩ B_i) pour une partition de Ω.
• Dans l’exemple, les événements « cadre » et « non cadre » forment une partition de l’univers.
• Donc P(femme) = P(femme ∩ cadre) + P(femme ∩ non cadre).
• On calcule chaque terme via P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B).
• Dans l’exemple numérique : P(femme) = 0,4×0,55 + 0,6×0,3 = 0,4.

💡 Astuce mémo

Partition = “cas complets et disjoints” ; Totales = “P(A) = somme des morceaux de A sur chaque cas”.

📖 8. Indépendance de deux événements et contraires

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

📝 Points essentiels

• La définition d’indépendance relie intersection et produit des probabilités.
• La propriété admise précise que si A et B sont indépendants et P(A) et P(B) non nulles, alors P(A|B) = P(A) et P(B|A) = P(B).
• Interprétation : la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Si A et B sont indépendants, alors les événements complémentaires Ā et B sont aussi indépendants.
• Si A et B sont indépendants, alors les événements complémentaires Ā et B̄ sont aussi indépendants (montré dans le cours).
• Le cours insiste sur l’usage de la formule des probabilités totales pour établir l’indépendance avec des complémentaires.

💡 Astuce mémo

Indépendance = “intersection = produit” ; donc “savoir B ne change pas A”.

📊 Tableaux de synthèse

Réunion vs incompatibilité

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre un événement (ensemble d’issues) avec sa probabilité (un nombre réel).
2. Oublier que la probabilité conditionnelle n’est définie que si P(B) ≠ 0.
3. Se tromper sur la réunion : A ∪ B correspond à “au moins un”, pas à “les deux”.
4. Croire que deux événements incompatibles peuvent avoir une intersection non vide : incompatibles implique aucune issue commune.
5. Appliquer la formule des probabilités totales sans vérifier que les événements forment bien une partition (incompatibles deux à deux et réunion = Ω).
6. Penser que l’indépendance signifie seulement “P(A|B) existe” : il faut P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir Ω, un événement, et un événement élémentaire, et reconnaître leurs contenus dans un exemple.
2. Savoir calculer P(A) par somme des probabilités des événements élémentaires composant A.
3. Savoir identifier un événement certain (probabilité 1) et un événement impossible (probabilité 0), dont Ω et ∅.
4. Savoir construire A ∪ B à partir des listes d’issues et interpréter “au moins un”.
5. Savoir déterminer si deux événements sont incompatibles en vérifiant l’absence d’issue commune.
6. Savoir utiliser la définition P(A|B)=P(A∩B)/P(B) et relier intersection et conditionnelle.
7. Savoir appliquer la formule des probabilités totales sur une partition {B_i} : P(A)=Σ P(A∩B_i).
8. Savoir utiliser P(A∩B)=P(B)×P(A|B) pour calculer les termes de la formule des probabilités totales.
9. Savoir reconnaître l’indépendance via P(A∩B)=P(A)×P(B) et en déduire P(A|B)=P(A) et P(B|A)=P(B).
10. Savoir conclure que l’indépendance se conserve avec des complémentaires (Ā et B, Ā et B̄, etc.).