Fiche de révision : Notions fondamentales sur les vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Définition et caractéristiques des vecteurs
2. Norme et représentation cartésienne
3. Addition et produit scalaire
4. Produit vectoriel

📖 1. Définition et caractéristiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Segment de droite orienté caractérisé par un point d’application, une direction, un sens et une intensité.
• Intensité d’un vecteur : Sa norme ou son module.
• Point d’application : L’origine du vecteur.
• Direction d’un vecteur : La droite d’action du vecteur.
• Sens d’un vecteur : Son orientation.

💡 Astuce mémo

PDSI : point d’application, direction, sens, intensité

📖 2. Norme et représentation cartésienne

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la base cartésienne, pour $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, la norme du vecteur est $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

• Pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$, le point d’application est M, la direction est celle de la droite MN, le sens va de M vers N et l’intensité est le module de $\overrightarrow{MN}$.

💡 Astuce mémo

Une flèche allant de M vers N, avec M comme origine

📖 3. Addition et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le nombre algébrique de deux vecteurs non nuls vérifiant $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\widehat{u,v})$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme de deux vecteurs vérifie $\vec{s}=\vec{u}+\vec{v}$ et son module vérifie $s=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos(\widehat{u,v})}$.

📌 Pour un angle droit vérifiant $\alpha=\frac{\pi}{2}$, les vecteurs sont perpendiculaires, le cosinus est nul et $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Compléments

📌 Pour un angle aigu vérifiant $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, le cosinus est positif et le produit scalaire vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus

📖 4. Produit vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques $\vec{U}$ et $\vec{V}$ est le vecteur $\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le module du produit vectoriel vérifie $\|\vec{W}\|=\|\vec{U}\wedge\vec{V}\|=\|\vec{U}\|\,\|\vec{V}\|\sin(\widehat{U,V})$.

📊 Tableaux de synthèse

Effet de l’angle sur le produit scalaire