QCM : Notions fondamentales sur les vecteurs (9 questions)

Question 1

1. Quelle combinaison décrit correctement les caractéristiques d’un vecteur ?

Une longueur, une surface, un rayon et une origine

Une direction, une pente, une distance et un périmètre

Une origine, une extrémité, une aire et un volume

Un point d’application, une direction, un sens et une intensité

Explication

Un vecteur est un segment orienté défini par un point d’application, une direction, un sens et une intensité. Le fait qu’il soit orienté le distingue d’un segment de droite non orienté.

Answer

Un point d’application, une direction, un sens et une intensité

Question 2

2. Que représente l’intensité d’un vecteur ?

Son sens ou son orientation

Sa norme ou son module

Sa direction ou sa droite d’action

Son point d’application ou son origine

Explication

L’intensité d’un vecteur correspond à sa norme, également appelée son module. La direction, le point d’application et le sens décrivent d’autres caractéristiques du vecteur.

Answer

Sa norme ou son module

Question 3

3. Dans une base cartésienne, comment calcule-t-on la norme de $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ?

\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\|\vec{u}\|=x+y+z

\|\vec{u}\|=x^2+y^2+z^2

\|\vec{u}\|=\sqrt{x+y+z}

Explication

La norme cartésienne s’obtient en prenant la racine carrée de la somme des carrés des composantes. Une simple somme ou une somme de carrés sans racine ne donne pas la norme.

Answer

$$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Question 4

4. Pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$ , quel élément correspond au point d’application ?

Le point M, qui est l’origine du vecteur

La longueur MN, qui définit son intensité

La droite MN, qui définit sa direction

Le point N, qui est l’extrémité du vecteur

Explication

Dans $\overrightarrow{MN}$ , le point M est l’origine et donc le point d’application du vecteur. Le point N est son extrémité, tandis que la droite MN indique la direction.

Answer

Le point M, qui est l’origine du vecteur

Question 5

5. Deux vecteurs de modules $u$ et $v$ forment un angle $\widehat{u,v}$ ; quelle expression donne le module de leur somme ?

s=\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos(\widehat{u,v})}

s=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos(\widehat{u,v})}

s=u+v+\cos(\widehat{u,v})

s=\sqrt{u^2+v^2+uv\sin(\widehat{u,v})}

Explication

Le module de la somme $\vec{s}=\vec{u}+\vec{v}$ suit la relation avec le terme positif $2uv\cos(\widehat{u,v})$ . Il faut distinguer le vecteur somme $\vec{s}$ de son module scalaire $s$ .

Answer

$$s=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos(\widehat{u,v})}$$

Question 6

6. Quelle nature possède le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?

Un nombre positif égal à la somme de leurs normes

Un segment orienté dont la longueur vaut leur angle

Un nombre algébrique égal à

\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\widehat{u,v})

Un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ

Explication

Le produit scalaire est un nombre algébrique calculé par le produit des normes et du cosinus de l’angle entre les vecteurs. Il ne doit pas être confondu avec le produit vectoriel, qui produit un vecteur.

Answer

Un nombre algébrique égal à $$\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\widehat{u,v})$$

Question 7

7. Que peut-on déduire de deux vecteurs formant un angle droit, soit $\alpha=\frac{\pi}{2}$ ?

Ils sont perpendiculaires et leur produit scalaire vaut zéro

Ils sont parallèles et leur produit scalaire est positif

Ils sont opposés et leur produit scalaire est négatif

Ils ont le même sens et leur produit scalaire vaut leur norme

Explication

Pour $\alpha=\frac{\pi}{2}$ , le cosinus est nul, donc le produit scalaire est nul et les vecteurs sont perpendiculaires. Un produit scalaire positif correspond plutôt à un angle aigu.

Answer

Ils sont perpendiculaires et leur produit scalaire vaut zéro

Question 8

8. Quel type de grandeur obtient-on en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ?

Un nombre algébrique égal à leur somme

Un vecteur

\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}

Un scalaire égal à leur produit des normes

Un angle mesurant leur inclinaison

Explication

Le produit vectoriel de $\vec{U}$ et $\vec{V}$ est le vecteur $\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$ . Le produit scalaire, contrairement au produit vectoriel, fournit un nombre algébrique plutôt qu’un vecteur.

Answer

Un vecteur $$\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$$

Question 9

9. Deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ont des normes respectives $4$ et $5$ et forment un angle de $30^\circ$ . Quel est le module de leur produit vectoriel $\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$ ?

10

20

\frac{5\sqrt{3}}{2}

\frac{5}{2}

Explication

Le module se calcule avec $\|\vec{W}\|=\|\vec{U}\|\,\|\vec{V}\|\sin(\widehat{U,V})$ , donc $4\times5\times\sin(30^\circ)=10$ . La confusion fréquente consiste à utiliser le cosinus, qui correspond au produit scalaire et donnerait ici une autre valeur.

QCM : Notions fondamentales sur les vecteurs (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle combinaison décrit correctement les caractéristiques d’un vecteur ?

2. Que représente l’intensité d’un vecteur ?

3. Dans une base cartésienne, comment calcule-t-on la norme de $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ?

4. Pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$ , quel élément correspond au point d’application ?

5. Deux vecteurs de modules $u$ et $v$ forment un angle $\widehat{u,v}$ ; quelle expression donne le module de leur somme ?

6. Quelle nature possède le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?

7. Que peut-on déduire de deux vecteurs formant un angle droit, soit $\alpha=\frac{\pi}{2}$ ?

8. Quel type de grandeur obtient-on en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ?

9. Deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ont des normes respectives $4$ et $5$ et forment un angle de $30^\circ$ . Quel est le module de leur produit vectoriel $\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle combinaison décrit correctement les caractéristiques d’un vecteur ?

2. Que représente l’intensité d’un vecteur ?

3. Dans une base cartésienne, comment calcule-t-on la norme de u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}u=xi+yj​+zk ?

4. Pour le vecteur MN→\overrightarrow{MN}MN, quel élément correspond au point d’application ?

5. Deux vecteurs de modules uuu et vvv forment un angle u,v^\widehat{u,v}u,v​ ; quelle expression donne le module de leur somme ?

6. Quelle nature possède le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?

7. Que peut-on déduire de deux vecteurs formant un angle droit, soit α=π2\alpha=\frac{\pi}{2}α=2π​ ?

8. Quel type de grandeur obtient-on en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs U⃗\vec{U}U et V⃗\vec{V}V ?

9. Deux vecteurs U⃗\vec{U}U et V⃗\vec{V}V ont des normes respectives 444 et 555 et forment un angle de 30∘30^\circ30∘. Quel est le module de leur produit vectoriel W⃗=U⃗∧V⃗\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}W=U∧V ?

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4. Pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$ , quel élément correspond au point d’application ?

5. Deux vecteurs de modules $u$ et $v$ forment un angle $\widehat{u,v}$ ; quelle expression donne le module de leur somme ?

7. Que peut-on déduire de deux vecteurs formant un angle droit, soit $\alpha=\frac{\pi}{2}$ ?

8. Quel type de grandeur obtient-on en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ?

9. Deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ ont des normes respectives $4$ et $5$ et forment un angle de $30^\circ$ . Quel est le module de leur produit vectoriel $\vec{W}=\vec{U}\wedge\vec{V}$ ?