Fiche de révision : Optique diélectrique des solides

📋 Plan du Cours

1. Propagation électromagnétique dans un solide
2. Indice complexe et profondeur de peau
3. Absorption et dissipation de l’énergie lumineuse
4. Réponse des électrons libres
5. Réponse des électrons liés
6. Transitions interbandes et réponse quantique
7. Réponse optique des métaux réels
8. Échelles de fréquence électroniques et ioniques

📖 1. Propagation électromagnétique dans un solide

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un milieu isotrope de permittivité relative εᵣ, l’indice vérifie $\tilde n=\sqrt{\epsilon_r+i\frac{\sigma}{\omega\epsilon_0}}$ pour une conductivité σ.

• La vitesse de propagation dans un milieu diélectrique sans terme source est $v=\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}=\frac{c}{\tilde n}$ lorsque l’indice est réel.

Compléments

📐 Formule - Dans un milieu sans charge nette, l’équation d’onde électrique avec courant est $\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}$.

📖 2. Indice complexe et profondeur de peau

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice complexe : L’indice complexe s’écrit $\tilde n=n+i\kappa$, où n décrit la phase de l’onde et κ son atténuation dans le milieu.

★ À maîtriser

📐 Formule - La profondeur de peau est $\xi=\frac{1}{2K_0\kappa}=\frac{\lambda}{4\pi\kappa}$ et caractérise la longueur de pénétration de la lumière dans la matière.

Compléments

• Pour une onde plane dans un milieu isotrope, le champ électrique comporte un facteur de phase dépendant de n et un facteur d’atténuation $e^{-K_0\kappa x}$.

• Pour un métal avec κ ≈ 2, la profondeur de peau est d’environ 20 nm à une longueur d’onde de 500 nm.

💡 Astuce mémo

La partie imaginaire κ atténue l’onde → l’intensité décroît dans le solide.

📖 3. Absorption et dissipation de l’énergie lumineuse

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité lumineuse décroît selon $I(x)=E_0^2e^{-2K_0\kappa x}$ dans le modèle unidimensionnel du cours.

• La puissance moyenne dissipée par unité de volume est obtenue en moyennant le travail du champ électrique sur le courant induit ; la contribution en quadrature s’annule et la partie dissipative est liée à la partie imaginaire de la permittivité.

Compléments

📐 Formule - La densité d’énergie électrique associée au champ d’amplitude E₀ est $w_E=\frac{1}{2}\epsilon_0E_0^2$.

💡 Astuce mémo

La partie imaginaire dissipe l’énergie ; la partie en quadrature ne contribue pas à la puissance moyenne.

📖 4. Réponse des électrons libres

★ À maîtriser

• Dans le modèle des électrons libres, le champ électrique met les électrons en mouvement tandis qu’un terme d’amortissement modélise la friction avec le réseau.

📐 Formule - La pulsation plasma des électrons libres vérifie $\omega_p^2=\frac{e^2N}{\epsilon_0m}$.

📐 Formule - Dans le modèle de Drude du cours, la réponse diélectrique des électrons libres s’écrit $\epsilon_r=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2+i\omega\omega_\tau}$.

Compléments

📐 Formule - Le déplacement d’un électron libre soumis à un champ harmonique vérifie $u_0=\frac{eE_0}{m(\omega^2+i\omega\tau)}$, où τ est la pulsation d’amortissement utilisée dans le cours.

📌 Dans le modèle sans amortissement, la réflexion est parfaite sous la pulsation plasma, tandis que l’augmentation de l’amortissement réduit le coefficient de réflexion.

💡 Astuce mémo

Sous l’onde, le gaz d’électrons oscille et se heurte au réseau.

📖 5. Réponse des électrons liés

★ À maîtriser

• Dans le modèle des électrons liés, le champ entraîne le déplacement de l’électron, tandis qu’une force de rappel élastique de constante Cₙ et un amortissement s’opposent à son mouvement.

📐 Formule - La permittivité relative du modèle à plusieurs oscillateurs s’écrit $\epsilon_r=1-\sum_n\frac{\omega_n^2}{\omega^2-\omega_{0,n}^2+i\omega\omega_{\tau,n}}$.

Compléments

📐 Formule - La pulsation propre d’un électron lié vérifie $m\omega_{0,n}^2=C_n$.

💡 Astuce mémo

Un électron lié est rappelé vers son centre par un ressort de constante Cₙ.

📖 6. Transitions interbandes et réponse quantique

★ À maîtriser

• Lors d’une transition interbande, l’énergie du photon est transférée au sous-système électronique, ce qui produit un maximum de la partie imaginaire de la constante diélectrique.

📌 Dans le cours, lorsque l’énergie du photon est inférieure au gap d’un semi-conducteur, la partie imaginaire de la constante diélectrique s’annule et le matériau devient transparent à ce rayonnement.

Compléments

• Dans l’interprétation quantique du modèle, une transition interbande d’énergie E′₁−E₁ correspond à une pulsation propre telle que $E'_1-E_1=\hbar\omega_{0,n}$.

• Dans le semi-conducteur GaAs présenté, les transitions interbandes sont particulièrement marquées aux points L et X de la zone de Brillouin, où la densité d’états est élevée.

💡 Astuce mémo

Quand le photon permet une transition interbande, l’énergie est transférée aux électrons.

📖 7. Réponse optique des métaux réels

★ À maîtriser

📌 Dans le cuivre, le modèle de Drude décrit la réponse optique à basse énergie, tandis qu’au-dessus d’environ 2 eV la réponse s’écarte de ce modèle sous l’effet des électrons liés.

Compléments

• Les changements de réflectivité sont observés autour des longueurs d’onde suivantes :

  • 580 nm pour le cuivre
  • 520 nm pour l’or
  • 800 nm pour l’aluminium

• Les énergies plasma indiquées sont :

  • 7,3 eV pour le cuivre
  • 8,55 eV pour l’or
  • 9,6 eV pour l’argent
  • 15 eV pour l’aluminium

• Le coefficient complexe de réflexion à incidence normale sur un solide isotrope est $r=\frac{\tilde n-1}{\tilde n+1}$, et la réflectivité est donnée par $R=rr^*$.

💡 Astuce mémo

À basse énergie, Drude décrit les électrons libres ; au-delà, les transitions interbandes deviennent importantes.

📖 8. Échelles de fréquence électroniques et ioniques

★ À maîtriser

• Le cours estime la pulsation caractéristique des ions à environ 3×10¹³ rad·s⁻¹ et celle des électrons à environ 3×10¹⁵ Hz.

Compléments

• Le modèle simple du cours associe une constante élastique C d’environ 1 à 10 N·m⁻¹ aux estimations des fréquences ioniques et électroniques.

• Le modèle d’ordre de grandeur utilise une masse électronique de 9,1×10⁻³¹ kg et une masse ionique d’environ 10⁻²⁶ kg.

💡 Astuce mémo

Les électrons répondent vers 3×10¹⁵ Hz, les ions vers 3×10¹³ rad·s⁻¹.