Fiche de révision : Optique géométrique

📋 Plan du Cours

1. Nature et modèles de la lumière
2. Principes de l’optique géométrique
3. Stigmatisme et formation des images
4. Conditions et conséquences de Gauss
5. Points cardinaux des systèmes centrés
6. Foyers et plans focaux
7. Points principaux et dioptre sphérique
8. Construction et conjugaison optique
9. Lentille mince dans l’air
10. Œil et instruments visuels

📖 1. Nature et modèles de la lumière

🔑 Notions clés & Définitions

• Optique géométrique : Décrit la propagation de rayons lumineux indépendants dans des systèmes dont les dimensions sont grandes devant la longueur d’onde
• Onde électromagnétique : Maxwell — Constituée d’un champ électrique et d’un champ magnétique oscillants

★ À maîtriser

📌 La lumière a été décrite par une théorie corpusculaire, une théorie ondulatoire, puis par un modèle quantique réunissant ces deux aspects.

📌 La diffraction et les interférences contredisent l’indépendance des particules lumineuses et s’expliquent par le caractère ondulatoire de la lumière.

📐 Formule — La longueur d’onde λ, la vitesse c et la fréquence ν sont reliées par $\lambda=\frac{c}{\nu}$.

• Dans le vide, la lumière se propage à la vitesse c = 299 792 458 m/s.

• La lumière visible correspond aux radiations dont la longueur d’onde est comprise entre 400 nm et 800 nm, avec des fréquences de l’ordre de 10^14 Hz.

Compléments

• Les expériences de propagation rectiligne et de réflexion sur un miroir peuvent conduire à interpréter la lumière comme un ensemble de particules indépendantes, conception soutenue par Newton jusqu’au milieu du XIXe siècle.

📌 Dans le modèle quantique, la lumière est composée de photons auxquels est associée une onde, et l’intensité de l’onde représente la probabilité de présence du photon. — Einstein

💡 Astuce mémo

Corpuscules pour les rayons, ondes pour diffraction et interférences

📖 2. Principes de l’optique géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de réfraction : Rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et sa vitesse dans le milieu, soit $n=\frac{c}{v}$
• Milieu homogène : Milieu dont l’indice de réfraction est le même en chaque point
• Dioptre : Surface de séparation entre deux milieux homogènes
• Normale au dioptre : La normale à un dioptre en un point est la droite perpendiculaire au dioptre en ce point ; pour un dioptre sphérique, c’est un rayon de la sphère.
• Angle d’incidence : Angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d’incidence

★ À maîtriser

📌 Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite.

📌 Lorsqu’un rayon rencontre un dioptre, les rayons incident, réfléchi et réfracté appartiennent au même plan d’incidence défini par le rayon incident et la normale.

📐 Formule — La réflexion vérifie que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence, et la réfraction vérifie $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.

📐 Formule — Lorsque n_2 < n_1, l’angle limite de réflexion totale vérifie $\sin i_L=\frac{n_2}{n_1}$ et $i_L=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$.

📌 Lorsque la lumière passe d’un milieu d’indice plus élevé à un milieu d’indice plus faible avec un angle d’incidence supérieur à l’angle limite, aucun rayon réfracté n’existe et la lumière est entièrement réfléchie.

Compléments

• Les indices de réfraction sont approximativement n_air = 1,0003 ≃ 1, n_eau = 1,3 et n_verre = 1,5.

📌 Selon le principe de retour inverse, si la lumière suit un chemin pour aller d’un point A à un point B, elle suit le même chemin pour aller de B à A.

📌 Les mirages résultent de variations de température de l’air qui entraînent des variations de son indice de réfraction et peuvent provoquer une réflexion totale sur des couches atmosphériques.

💡 Astuce mémo

Milieu → dioptre → normale → incidence → propagation

📖 3. Stigmatisme et formation des images

🔑 Notions clés & Définitions

• Système optique centré : Possède un axe de symétrie et est invariant par rotation autour de cet axe
• Stigmatisme rigoureux : Si tous les rayons issus de A se croisent en A′ après déviation par le système
• Stigmatisme approché : Lorsque les rayons issus d’une source passent au voisinage de son image et forment une tache plus petite que la tache de diffraction ou qu’une cellule du photodétecteur

★ À maîtriser

• Pour un objet composé de plusieurs points sources, un système stigmatique associe un point image à chaque point objet, tandis qu’un système non stigmatique associe une tache à chaque point objet.

• Le stigmatisme rigoureux est une notion géométrique irréalisable en pratique, notamment parce que les sources et les détecteurs ne sont pas ponctuels et que la diffraction impose une taille minimale à la tache image.

Compléments

• Un miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points, car les rayons réfléchis semblent provenir d’un point symétrique du point source par rapport au miroir.

💡 Astuce mémo

Stigmatisme rigoureux : point ; stigmatisme approché : petite tache

📖 4. Conditions et conséquences de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Dioptre sphérique : Un dioptre sphérique est une portion de sphère de rayon R et de centre C séparant deux milieux homogènes d’indices différents ; son intersection avec l’axe optique est le sommet S.

★ À maîtriser

• Les conditions de Gauss sont:
  • Angles des rayons avec l’axe faibles
  • Angles d’incidence sur les dioptres faibles
  • Hauteurs d’incidence petites devant les rayons de courbure

📐 Formule — Pour un petit angle u exprimé en radians, on peut utiliser $\cos u\simeq1$, $\sin u\simeq u$ et $\tan u\simeq u$.

📐 Formule — Dans les conditions de Gauss, la loi de Snell-Descartes devient $n_1i_1=n_2i_2$ lorsque i_1 et i_2 sont petits.

📌 Dans les conditions de Gauss, on peut négliger la taille de la tache image et considérer que tous les rayons issus d’une source passent par son image.

📌 Si un objet AB est perpendiculaire à l’axe optique, son image A′B′ est également perpendiculaire à l’axe optique.

Compléments

📌 Dans les conditions de Gauss, l’image d’un plan de front perpendiculaire à l’axe par un système optique centré est un autre plan de front perpendiculaire à l’axe.

📌 Dans les conditions de Gauss, un dioptre sphérique est assimilé à son plan tangent au sommet S, tandis que la normale en un point I reste le rayon CI.

💡 Astuce mémo

Petits angles et faibles hauteurs → approximation paraxiale

📖 5. Points cardinaux des systèmes centrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Foyer image : Point de l’axe optique image d’un point situé à l’infini sur l’axe optique
• Plan focal image : Plan perpendiculaire à l’axe optique qui contient le foyer image F′i

📝 Points essentiels

• Tout point source situé à l’infini possède son image dans le plan focal image.

📐 Formule — Une source ponctuelle très éloignée peut être considérée comme située à l’infini lorsque l’angle α vérifie $\alpha\simeq\frac{a}{L}\ll1$, où a est le rayon du système et L la distance à la source.

💡 Astuce mémo

Un faisceau parallèle à l’axe converge au foyer image

📖 6. Foyers et plans focaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Foyer objet : Point de l’axe dont l’image se trouve à l’infini sur l’axe.
• Plans focaux : Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l’axe contenant le foyer image, tandis que le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe contenant le foyer objet.

📝 Points essentiels

📌 Tout rayon lumineux incident parallèle à l’axe optique passe par le foyer image après avoir été dévié par un système optique centré.

📌 Tous les rayons lumineux passant par le foyer objet d’un système optique centré émergent parallèlement à l’axe.

💡 Astuce mémo

Foyer image : parallèle entrant → convergence sortante ; foyer objet : convergence entrante → parallèle sortant

📖 7. Points principaux et dioptre sphérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandissement : Le grandissement d’un objet AB et de son image A′B′ perpendiculaires à l’axe est $\gamma=\frac{A′B′}{AB}$.
• Points principaux : Les points principaux objet H et image H′ sont tels que H′ est l’image de H avec un grandissement égal à 1.

★ À maîtriser

• Pour un dioptre sphérique, le sommet S est à la fois le point principal objet et le point principal image, et un point placé sur le dioptre est sa propre image avec un grandissement égal à 1.

Compléments

📐 Formule — Pour un dioptre sphérique, la distance focale image vérifie $SF′_i=\frac{n_{sortie}}{n_{sortie}-n_{entrée}}SC$.

📐 Formule — Pour un dioptre sphérique, la distance focale objet vérifie $SF_o=-\frac{n_{entrée}}{n_{sortie}-n_{entrée}}SC$.

💡 Astuce mémo

Réfraction au dioptre → position des foyers et des points principaux

📖 8. Construction et conjugaison optique

★ À maîtriser

• Pour construire l’image B′ d’un point B, on trace deux rayons issus de B, l’un parallèle à l’axe et l’autre passant par le foyer objet, puis on trace leurs rayons émergents et on prend leur intersection.

📐 Formule — La relation de conjugaison de Newton est $FoA\,F′_iA′=ff′$.

Compléments

📌 L’image A′ d’un point A situé sur l’axe est située sur l’axe, et l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe est également perpendiculaire à l’axe dans les conditions de Gauss.

📐 Formule — Pour le dioptre sphérique, la relation de Newton devient $FoA\,F′_iA′=SF_o\,SF′_i$.

💡 Astuce mémo

Deux rayons construits → B′ trouvé → perpendiculaire à l’axe → A′

📖 9. Lentille mince dans l’air

🔑 Notions clés & Définitions

• Lentille mince : Formée de deux dioptres sphériques accolés, dont la distance S1S2 est petite devant les rayons de courbure et le rayon d’ouverture.

📝 Points essentiels

• Pour une lentille mince, les sommets S1 et S2 sont confondus en un centre optique O qui est à la fois le point principal objet et le point principal image : O=H=H′.

📐 Formule — Pour une lentille mince plongée dans l’air, la distance focale image vérifie $\frac{1}{f′}=(n-1)\left(\frac{1}{S_1C_1}-\frac{1}{S_2C_2}\right)$ et donc $f′=-f$.

📐 Formule — La relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince est $\frac{1}{OA′}-\frac{1}{OA}=\frac{1}{f′}$.

📌 Lorsque les milieux de part et d’autre d’une lentille mince sont identiques, un rayon passant par son centre optique n’est pas dévié.

💡 Astuce mémo

Centre optique : rayon non dévié ; foyers : rayons parallèles ou émergents parallèles

📖 10. Œil et instruments visuels

★ À maîtriser

• La pupille est un trou de l’iris dont le diamètre peut varier de 2 mm à 8 mm et qui contrôle le flux lumineux entrant.

• L’accommodation est la déformation du cristallin qui fait varier sa distance focale afin que l’image se forme sur la rétine lorsque la position de l’objet change.

📌 Un œil emmétrope voit net à l’infini au repos, un œil myope est trop convergent et se corrige par une lentille divergente, tandis qu’un œil hypermétrope n’est pas assez convergent et se corrige par une lentille convergente.

• Le punctum proximum est le point le plus proche vu nettement, et sa distance standard est de 25 cm.

📐 Formule — Le grossissement d’un instrument visuel est $G=\frac{\alpha}{\alpha_0}$, où α est l’angle de vision à travers l’instrument et α0 l’angle de vision à l’œil nu.

Compléments

• Les cônes, surtout présents dans la fovéa, nécessitent beaucoup de lumière, assurent la vision diurne et la vision des couleurs, et leur sensibilité maximale se situe vers 555 nm dans le vert.

• Les bâtonnets sont très sensibles, assurent la vision nocturne, sont d’un seul type et ont une sensibilité maximale décalée vers le bleu autour de 507 nm.

📌 Un instrument visuel confortable forme généralement des images à l’infini, augmente l’angle sous lequel l’objet est vu et permet d’observer la plus grande portion possible de l’objet.

💡 Astuce mémo

Accommodation → focale variable → image maintenue sur la rétine

📊 Tableaux de synthèse

Types d’œil et corrections