QCM : Orthogonalisation de Schmidt en R3 — 4 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans l’orthonormalisation de Schmidt dans R3, quelle condition doit vérifier un nouveau vecteur avant sa normalisation pour être rendu orthogonal aux précédents ?

Son produit scalaire avec chaque vecteur précédent doit être nul
Ses coordonnées doivent être toutes positives
Sa norme doit déjà être égale à 1
Il doit être parallèle au premier vecteur

Son produit scalaire avec chaque vecteur précédent doit être nul

Explication

Avant la normalisation, on construit un vecteur orthogonal aux vecteurs déjà obtenus, ce qui se teste par un produit scalaire nul. La norme égale à 1 intervient seulement après la normalisation.

2. Dans R3 euclidien canonique, comment calcule-t-on la norme euclidienne d’un vecteur à partir de ses coordonnées ?

En additionnant les coordonnées puis en prenant la valeur absolue
En multipliant les coordonnées entre elles puis en prenant la racine carrée
En prenant la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées
En divisant la plus grande coordonnée par la plus petite

En prenant la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées

Explication

La norme euclidienne se calcule en additionnant les carrés des coordonnées puis en prenant la racine carrée. Les autres propositions ne correspondent pas à la définition de la norme.

3. Pour le vecteur u1 obtenu à partir de e1=(-1,1,1), quelle est sa forme correcte ?

(1/√3, -1/√3, -1/√3)
(-1, 1, 1)
(-1/2, 1/2, 1/2)
(-1/√3, 1/√3, 1/√3)

(-1/√3, 1/√3, 1/√3)

Explication

On normalise e1 de norme √3, ce qui donne u1 = (-1/√3, 1/√3, 1/√3). La proposition (-1,1,1) n’est pas normalisée.

4. Dans le calcul de la base orthonormée, quelle est la forme finale de u3 ?

(-1, 1, 0)
(-1/√6, 1/√6, 2/√6)
(-1/√2, 1/√2, 0)
(1/√2, -1/√2, 0)

(-1/√2, 1/√2, 0)

Explication

On obtient u3' = (-1,1,0), de norme √2, donc u3 = (1/√2)(-1,1,0) = (-1/√2, 1/√2, 0). La réponse (-1,1,0) correspond au vecteur avant normalisation.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 4 flashcards sur Orthogonalisation de Schmidt en R3.

Orthonormalisation de Schmidt — rôle ?

Construire une base orthonormée à partir de vecteurs donnés.

Base orthonormée — définition ?

Famille de vecteurs orthogonaux unitaires.

Calcul de u1 — étape clé ?

Diviser e1 par sa norme.

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Consultez la fiche de révision complète sur Orthogonalisation de Schmidt en R3.

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