Fiche de révision : Outils mathématiques pour l’automatique

📋 Plan du Cours

1. Équations différentielles des systèmes
2. Causalité analyse et commande
3. Linéarité et invariance temporelle
4. Convolution discrète
5. Impulsion de Dirac et convolution continue
6. Transformée de Laplace
7. Propriétés de la transformée de Laplace
8. Fonction de transfert et pôles

📖 1. Équations différentielles des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation différentielle relie une sortie y(t), ses dérivées successives, une entrée u(t) et ses dérivées successives.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un système linéaire continu est décrit par $a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_m u^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+b_1\dot u+b_0u$.

📌 Dans un système propre, l’ordre n est supérieur ou égal à l’ordre m des dérivées de l’entrée.

Compléments

• Un circuit électrique passif RC est modélisé par $\dot y+\frac{1}{RC}y=\dot u$.

📖 2. Causalité analyse et commande

🔑 Notions clés & Définitions

• Causalité : La causalité signifie que la sortie à l’instant t ne dépend pas de valeurs futures de l’entrée.

★ À maîtriser

📌 L’analyse consiste à déterminer la sortie y(t) pour une entrée u(t) donnée, tandis que la commande consiste à calculer l’entrée u(t) pour obtenir une sortie fixée.

Compléments

• La résolution d’une équation différentielle consiste à trouver la réponse temporelle y(t) correspondant à une entrée donnée, telle qu’une impulsion de Dirac, un échelon ou une rampe.

💡 Astuce mémo

Analyse : entrée → sortie ; commande : sortie fixée → entrée recherchée

📖 3. Linéarité et invariance temporelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Invariance temporelle : Un système invariant dans le temps fournit la même réponse à une entrée donnée aujourd’hui ou demain.

★ À maîtriser

📌 Le principe de superposition affirme que si (u₁,y₁) et (u₂,y₂) sont deux solutions, alors (au₁+bu₂, ay₁+by₂) est aussi une solution pour tous a et b.

Compléments

📌 Si (u(⋆),y(⋆)) est une solution d’un système invariant, alors (u(⋆+T),y(⋆+T)) est aussi une solution pour tout décalage T.

💡 Astuce mémo

Linéarité + invariance → caractérisation par la réponse impulsionnelle

📖 4. Convolution discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Impulsion unité : L’impulsion unité discrète δ[k] vaut 1 si k=0 et 0 si k≠0.
• Échelon unité : L’échelon unité discret I[⋆] est la somme des impulsions décalées $I[⋆]=\sum_{k=0}^{+\infty}\delta[⋆-k]$.

📝 Points essentiels

• Un signal discret quelconque se décompose en une somme d’impulsions décalées et pondérées selon $u[⋆]=\sum_{k=0}^{+\infty}u[k]\delta[⋆-k]$.

📐 Formule — La réponse d’un système discret de réponse impulsionnelle h[⋆] est donnée par $y[⋆]=\sum_{k=0}^{+\infty}u[k]h[⋆-k]=u[⋆]*h[⋆]$.

💡 Astuce mémo

Impulsion → décalage → décomposition → réponse convoluée

📖 5. Impulsion de Dirac et convolution continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Impulsion de Dirac : L’impulsion de Dirac δ(t) est une distribution nulle pour t≠0 et dont l’intégrale sur l’intervalle réel vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — La réponse d’un système continu de réponse impulsionnelle h(t) est $y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(τ)h(t-τ)dτ=u(t)*h(t)$.

Compléments

• L’impulsion de Dirac est obtenue comme limite, lorsque ε tend vers 0, d’une fonction rectangulaire d’amplitude 1/ε et de largeur ε.

📌 La mise en parallèle de deux systèmes de réponses impulsionnelles h₁ et h₂ produit une réponse h₁+h₂, tandis que leur mise en série produit h₁*h₂.

💡 Astuce mémo

Une impulsion concentrée en t = 0 dont l’aire vaut 1

📖 6. Transformée de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : définie par $X(s)=\mathcal L(x(t))=\int_0^{+\infty}x(t)e^{-st}dt$, où s=σ+jω est une variable complexe

★ À maîtriser

📐 Formule — La transformée de Laplace de l’échelon constant A est $\mathcal L(A)=\frac{A}{s}$.

Compléments

• La transformée de Laplace est inversible : elle permet de retrouver x(t) à partir de X(s).

📖 7. Propriétés de la transformée de Laplace

★ À maîtriser

📌 La linéarité donne $\mathcal L(αx+βy)=αX(s)+βY(s)$ lorsque les transformées de x et y sont X et Y.

📌 La transformée de Laplace d’une convolution est le produit des transformées : si z=x*y, alors $Z(s)=X(s)Y(s)$.

📐 Formule — Pour la dérivée d’ordre n, $\mathcal L(x^{(n)}(t))=s^nX(s)-s^{n-1}x(0)-s^{n-2}\dot x(0)-\cdots-x^{(n-1)}(0)$.

📐 Formule — Le théorème de la valeur finale donne $\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s)$ uniquement si x(t) converge vers une valeur finie.

Compléments

📐 Formule — Le retard temporel vérifie $\mathcal L(x(t-τ))=X(s)e^{-sτ}$.

📖 8. Fonction de transfert et pôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Pôles : Les pôles de G(s) sont les racines du polynôme dénominateur de la fonction de transfert.
• Zéros : Les zéros de G(s) sont les racines du polynôme numérateur de la fonction de transfert.

★ À maîtriser

📐 Formule — Après transformation de Laplace, le transfert entrée-sortie s’écrit $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0}{a_ns^n+\cdots+a_1s+a_0}+I(s)$, où I(s) contient les termes liés aux conditions initiales.

Compléments

• Pour l’équation $\ddot y(t)+y(t)=0$ avec y(0)=α et ẏ(0)=β, la solution est $y(t)=α\cos(t)+β\sin(t)$.

💡 Astuce mémo

Pôles : dénominateur ; zéros : numérateur

📊 Tableaux de synthèse

Pôles et zéros