Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée du trinôme
2. Forme canonique et factorisée
3. Discriminant et racines

📖 1. Forme développée du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : La forme développée d’un trinôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, où a, b et c sont les coefficients.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📐 Formule — La différence des racines vérifie $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{a}$.

📖 2. Forme canonique et factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme du second degré est $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un trinôme ayant deux racines est $a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la forme canonique, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

• Tout trinôme de degré 2 admet une forme canonique.

📌 Les racines d’un trinôme sont les solutions de l’équation $f(x)=0$ et les antécédents de 0 par f.

Compléments

📐 Formule — L’ordonnée du sommet est $\beta=f(\alpha)$.

📐 Formule — Avec une racine double x₀, la forme factorisée est $a(x-x_0)^2$, où $x_0=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

La forme canonique montre le sommet, tandis que la forme factorisée montre les racines.

📖 3. Discriminant et racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant d’un trinôme est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Lorsque $\Delta\geq 0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles.

• Si $\Delta<0$, le trinôme ne possède aucune racine réelle.

• Si $\Delta=0$, le trinôme possède une racine réelle double.

💡 Astuce mémo

La valeur de Δ détermine le nombre de racines réelles.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines