Fiche de révision : Premiers éléments de géométrie euclidienne

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la géométrie euclidienne
2. Points et droites
3. Segments et demi-droites
4. Appartenance et alignement
5. Longueur et milieu
6. Mesure du mètre et triangulation
7. Constructions et dénombrement

📅 Repères chronologiques

1. 1790L’Assemblée Nationale française décide d’établir un système de mesure unique appelé mètre.
2. 1795Le mètre remplace officiellement les unités précédentes d’abord en France, puis dans la plupart des pays du monde.
3. Depuis 1983Un mètre est défini comme la distance parcourue dans le vide par la lumière en 1/299 792 458e de seconde.

📖 1. Fondements de la géométrie euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Géométrie plane : Géométrie dans un plan, c’est-à-dire sur une surface plate.

★ À maîtriser

• Au IVe siècle avant J.-C., Euclide a compilé dans Les éléments d’Euclide les connaissances géométriques de son époque en treize livres.

Compléments

• Euclide y formule cinq axiomes et démontre vingt-neuf propositions supplémentaires à partir de ces bases.

• Les éléments d’Euclide sont restés une référence en géométrie pendant plus de 2 000 ans.

💡 Astuce mémo

Axiomes d’Euclide → propositions de géométrie

📖 2. Points et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Point : Lieu du plan que l’on repère à l’aide d’une croix.
• Droite : Ensemble infini de points alignés.

★ À maîtriser

📌 Par deux points distincts A et B du plan, il existe une droite et une seule, notée (AB) ou (BA). — Euclide

Compléments

• Une droite peut être désignée par son nom, comme (d), par deux points qui lui appartiennent, comme (AB), ou par deux directions, comme (xy).

💡 Astuce mémo

Point = lieu ; droite = ensemble infini de points

📖 3. Segments et demi-droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Segment : Portion de droite délimitée par deux points appelés ses extrémités.
• Demi-droite : Portion de droite délimitée d’un seul côté par un point appelé son origine.

📝 Points essentiels

📌 Pour deux points distincts A et B, il existe un segment unique [AB] ou [BA] et deux demi-droites, [AB) d’origine A passant par B et [BA) d’origine B passant par A.

💡 Astuce mémo

Segment = deux extrémités ; demi-droite = une origine

📖 4. Appartenance et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Un point appartient à une droite si cette droite passe par ce point, ce qui se note M ∈ (d), et il n’y appartient pas si elle ne passe pas par lui, ce qui se note M ∉ (d).
• Alignement : Trois points ou plus qui appartiennent à une même droite.

📝 Points essentiels

📌 Pour vérifier que A, B et C sont alignés, il suffit de vérifier que B appartient à la droite (AC), tandis que B ∉ (AC) prouve qu’ils ne sont pas alignés.

📌 Des points peuvent être alignés sans l’être dans un ordre donné, car l’alignement indique seulement l’appartenance à une même droite.

💡 Astuce mémo

Appartenir à une droite ≠ être aligné avec deux autres points

📖 5. Longueur et milieu

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’un segment : Distance qui sépare ses deux extrémités.
• Milieu d’un segment : Unique point du segment qui est équidistant de ses deux extrémités.

★ À maîtriser

📌 Si I est le milieu de [AB], alors I appartient à [AB] et AI = IB.

📐 Formule — Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], alors $IJ = \frac{BC}{2}$.

Compléments

• Si trois points A, B et C sont alignés avec AB = 3 cm et AC = 5 cm, alors BC peut mesurer 2 cm ou 8 cm selon la position de B et C.

💡 Astuce mémo

Le milieu partage le segment en deux distances égales

📖 6. Mesure du mètre et triangulation

★ À maîtriser

• Delambre et Méchain mesurent une portion de la méridienne de Dunkerque à Barcelone, la reproduisent par triangulation, puis déduisent la longueur du quart de méridien par proportionnalité. — Jean-Baptiste Joseph Delambre et Pierre Méchain

Compléments

• La portion mesurée par Delambre et Méchain était de 551 584,7 toises, avec une erreur de 8 millionièmes, et le quart de méridien calculé mesurait 5 130 740 toises.

💡 Astuce mémo

Méridienne → triangulation → proportionnalité → mètre

📖 7. Constructions et dénombrement

📝 Points essentiels

• Pour construire une figure géométrique, on trace les droites, segments ou demi-droites demandés, on place les points selon leurs appartenances, puis on construit les milieux ou intersections indiqués.

• Avec quatre points distincts en position générale, le nombre de droites passant par deux de ces points est égal au nombre de paires de points, soit six.

• Quatre personnes échangent six poignées de mains, car chaque poignée correspond à une paire de personnes.

📊 Tableaux de synthèse

Droite, segment et demi-droite