Principes fondamentaux de la convexité

📋 Plan du Cours

1. Définition convexité fonction
2. Interprétation graphique convexité
3. Inégalité de Jensen
4. Caractérisation par pente croissante
5. Dérivabilité et convexité
6. Fonctions convexes dérivables
7. Inégalités des trois pentes
8. Points d'inflexion
9. Convexité stricte
10. Épigraphe et convexité

📖 1. Définition convexité fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité d'une fonction (définition formelle) :
  Soit $f : I \to \mathbb{R}$, une fonction définie sur un intervalle $I$.
  $f$ est dite convexe si, pour tous $x, y \in I$ et pour tout $\lambda \in [0, 1]$, on vérifie :
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  (MP2I, Havret)

• Concavité :
  Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est concave si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0, 1]$, :
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) > (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  (MP2I, Havret)
  La concavité est l'opposée de la convexité, et une fonction est concave si et seulement si $-f$ est convexe.

• Exemples classiques de fonctions convexes :

  • Fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$
  • Fonction carré : $x \mapsto x^2$
  • Fonctions affines : $x \mapsto ax + b$ (seules fonctions à la fois convexes et concaves)