Convexité — définition ?
Inégalité f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x)+λf(y).
Interprétation graphique convexité
Courbe en dessous de toutes ses cordes.
Inégalité de Jensen — principe
Valeur en moyenne convexes ≤ moyenne des valeurs.
Caractérisation par pente croissante
f est convexe si x↦(f(x)-f(a))/(x−a) est croissante.
Convexité et dérivabilité
f est convexe si f' est croissante (si dérivable).
Fonctions convexes dérivables
Exemples : x², e^x ; caractérisées par f' croissante.
Inégalité des trois pentes
Pente entre deux points croît avec l'abscisse.
Points d'inflexion — définition
Changement de convexité, f'' change de signe.
Convexité stricte — définition
Strictement au-dessus de ses cordes, f' strictement croissante.
Épigraphe — convexité
Partie strictement convexe de R² au-dessus du graphe.
Convexité — définition formelle
f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x)+λf(y).
Interprétation graphique convexité
Courbe en dessous de ses cordes.
Inégalité de Jensen — formule
f(∑λi xi) ≤ ∑λi f(xi).
Caractérisation par croissance pente
x↦(f(x)-f(a))/(x−a) croissante.
Convexité et dérivées
f convex ⇔ f' croissante ; si deux fois dérivable, f'' ≥ 0.
Inégalité des trois pentes — expression
(f(y)-f(x))/(y−x) ≤ (f(z)-f(x))/(z−x).
Points d'inflexion — changement
Signe de f'' change, convexité inverse.
Convexité stricte — caractéristique
f' strictement croissante, courbe au-dessus de tangentes.
Épigraphe — convexité stricte
Partie strictement convexe, au-dessus du graphe.
Convexité — propriété clé
Courbe en dessous de ses cordes, f' croissante.
Teste tes connaissances avec un QCM de 10 questions sur Principes fondamentaux de la convexité.
1. Quelle est la de9finition formelle de la convexite9 d'une fonction $f : I o \u211d$ ?
2. Comment peut-on reconnaître graphiquement qu'une fonction est convexe ?
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