Fiche de révision : Principes fondamentaux de la convexité

📋 Plan du Cours

1. Définition convexité fonction
2. Interprétation graphique convexité
3. Inégalité de Jensen
4. Caractérisation par pente croissante
5. Dérivabilité et convexité
6. Fonctions convexes dérivables
7. Inégalités des trois pentes
8. Points d'inflexion
9. Convexité stricte
10. Épigraphe et convexité

📖 1. Définition convexité fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité d'une fonction (définition formelle) :
  Soit $f : I \to \mathbb{R}$, une fonction définie sur un intervalle $I$.
  $f$ est dite convexe si, pour tous $x, y \in I$ et pour tout $\lambda \in [0, 1]$, on vérifie :
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  (MP2I, Havret)

• Concavité :
  Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est concave si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0, 1]$, :
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) > (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  (MP2I, Havret)
  La concavité est l'opposée de la convexité, et une fonction est concave si et seulement si $-f$ est convexe.

• Exemples classiques de fonctions convexes :

  • Fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$
  • Fonction carré : $x \mapsto x^2$
  • Fonctions affines : $x \mapsto ax + b$ (seules fonctions à la fois convexes et concaves)

• Interprétation graphique de la convexité :
  La fonction $f$ est convexe si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0, 1]$, la courbe de $f$ est située en dessous de toutes ses cordes reliant deux points $A(x, f(x))$ et $B(y, f(y))$. La pointure de la corde est donnée par le segment $[A, B]$.

• Notion de corde et sécante :
  La corde reliant deux points du graphe de $f$ est le segment $[A, B]$ avec $A(x, f(x))$ et $B(y, f(y))$. La sécante est la droite complète reliant ces deux points, qui peut dépasser la courbe si $f$ n'est pas convexe.

📝 Points essentiels

• La convexité d'une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ se caractérise par l'inégalité :
  $\forall x, y \in I, \forall \lambda \in [0, 1]$,
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  Elle implique que la courbe de $f$ est en dessous de toutes ses cordes reliant deux points du domaine.

• La concavité est l'opposé de la convexité : $f$ est concave si et seulement si $-f$ est convexe.

• Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves, ce qui correspond à une égalité stricte dans la définition.

• La convexité est indépendante de l'ordre de $x, y$ dans la définition, mais certains résultats nécessitent de considérer l'ordre pour simplifier l'analyse.

• La convexité peut être visualisée par la position de la courbe par rapport à ses cordes : la courbe est en dessous de toutes ses cordes pour une fonction convexe.

💡 À retenir

Une fonction $f$ est convexe si sa courbe reste en dessous de toutes ses cordes reliant deux points, ce qui traduit une propriété d'inégalité entre la valeur de $f$ en une combinaison convexes de points et la combinaison des valeurs en ces points.

📖 2. Interprétation graphique convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité d'une fonction (définition) : Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est convexe si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0,1]$, on a $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y).$ Auteurs : La définition repose sur la position relative de la courbe par rapport à ses cordes, illustrée par la position du point $C$ en dessous de la corde $[A, B]$.

• Point D sur la corde entre A et B : Pour deux points $A(x, f(x))$ et $B(y, f(y))$, le point $D$ de la corde $[A, B]$ d'abscisse $(1 - \lambda)x + \lambda y$ a pour ordonnée $D = ((1 - \lambda)x + \lambda y, (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)).$ Auteurs : Benjamin Havret (2023) précise que la convexité se traduit graphiquement par la courbe située en dessous de toutes ses cordes.

• Interprétation graphique de la convexité : La courbe de $f$ est en-dessous de toutes ses cordes, c’est-à-dire que pour tout $\lambda \in [0,1]$ et $x, y \in I$, $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y).$ Auteurs : La position relative du point $C$ (sur la courbe) par rapport au point $D$ (sur la corde) illustre cette propriété.

• Point D et comparaison des ordonnées : La convexité implique que $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y),$ ce qui signifie que le point $C$ (sur la courbe) est en-dessous du point $D$ (sur la corde), illustrant graphiquement que la courbe est en dessous de ses cordes.

📝 Points essentiels

• La convexité d'une fonction se traduit graphiquement par la position de la courbe en dessous de toutes ses cordes, c’est-à-dire que pour chaque segment reliant deux points $A$ et $B$ de la courbe, la courbe reste en dessous de la corde $[A, B]$.

• La position du point $D$ (sur la corde) et du point $C$ (sur la courbe) est essentielle : la convexité impose que $C$ soit en-dessous de $D$. Cela reflète que la valeur de $f$ en une combinaison convexes de $x$ et $y$ est inférieure ou égale à la combinaison convexes des valeurs $f(x)$ et $f(y)$.

• La propriété graphique est symétrique : la courbe ne dépasse jamais la ligne droite reliant deux points quelconques de la courbe, ce qui caractérise la convexité.

• La représentation graphique permet une interprétation intuitive : si la courbe est en dessous de toutes ses cordes, alors la fonction est convexe. À l'inverse, si une corde dépasse la courbe en certains points, la fonction n'est pas convexe.

💡 À retenir

La convexité d'une fonction se caractérise graphiquement par la courbe située en dessous de toutes ses cordes, ce qui signifie que pour tout segment reliant deux points de la courbe, la courbe reste en dessous de la ligne droite reliant ces points.

📖 3. Inégalité de Jensen

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Jensen (source : Benjamin Havret, 2023) : Pour une fonction convexe $f : I \to \mathbb{R}$, et une combinaison convexe de points $x_1, \dots, x_n \in I$ avec des poids positifs $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, on a :
  $f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$
  C'est une inégalité fondamentale illustrant que la valeur de la fonction en une moyenne convexes est inférieure ou égale à la moyenne des valeurs.

• Propriété de stabilité d’un intervalle (source : Benjamin Havret, 2023) : La combinaison convexe de points $x_1, \dots, x_n \in I$ avec des poids positifs $\lambda_i$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ appartient à l’intervalle $I$.
  Cela garantit que la moyenne convexes reste dans l’intervalle de départ.

• Poids égaux dans Jensen (source : Benjamin Havret, 2023) : Lorsqu’on utilise $\lambda_i = 1/n$ pour tout $i$, l’inégalité de Jensen devient une moyenne arithmétique pondérée, souvent utilisée pour simplifier les démonstrations et applications.

📝 Points essentiels

• L’inégalité de Jensen s’applique uniquement aux fonctions convexes, c’est-à-dire celles vérifiant $f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y)$ pour tout $x, y \in I$ et $\lambda \in [0,1]$.
• Elle exprime que la fonction ne peut pas "sauter" au-dessus de la moyenne de ses valeurs en un ensemble convexement combiné, ce qui traduit une forme de "courbure" ou de "régularité" de $f$.
• La propriété de stabilité d’un intervalle assure que la moyenne convexes de points dans $I$ reste dans $I$, ce qui est crucial pour l’application de Jensen.
• L’utilisation fréquente de poids égaux $\lambda_i = 1/n$ permet d’obtenir des inégalités simples et symétriques, notamment dans la démonstration du théorème ou dans les applications en probabilités et statistiques.

💡 À retenir

L’inégalité de Jensen affirme que pour une fonction convexe, la valeur en la moyenne convexes de points est inférieure ou égale à la moyenne des valeurs, ce qui en fait un outil clé pour comparer des moyennes et analyser la croissance ou la régularité des fonctions convexes.

📖 4. Caractérisation par pente croissante

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction pente (f(x)−f(a))/(x−a) : Expression représentant la pente de la corde reliant le point A(a, f(a)) à un point variable (x, f(x)) sur le graphique de f, pour x ≠ a.
• Croissance de la fonction pente : La propriété qu’une fonction de la forme x ↦ (f(x)−f(a))/(x−a) est croissante sur I{a}. Selon Benjamin Havret (chapitre 22), cette croissance caractérise la convexité de f.
• Caractérisation de la convexité (faisant référence à Havret) : La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout a ∈ I, la fonction x ↦ (f(x)−f(a))/(x−a) est croissante sur I{a}.
• Lien avec la croissance des pentes (Havret) : La convexité se traduit par la croissance monotone de la pente entre deux points, ce qui implique que la pente entre a et x ne diminue pas lorsque x s’éloigne de a.
• Condition nécessaire et suffisante (Havret) : La croissance de la fonction pente est une condition nécessaire et suffisante pour que f soit convexe, ce qui relie directement la géométrie du graphe à la croissance de ses pentes.

📝 Points essentiels

• La caractérisation par la croissance de la pente repose sur l’étude de la fonction x ↦ (f(x)−f(a))/(x−a), qui doit être croissante pour f convexe.
• Cette propriété est équivalente à la propriété que la pente entre deux points (x, f(x)) et (a, f(a)) ne diminue pas lorsque x s’éloigne de a.
• La croissance de cette fonction de pente implique que la courbe de f est "au-dessus" de ses tangentes, ce qui est une caractéristique fondamentale de la convexité (voir section 5).
• La condition est symétrique : elle doit être vérifiée pour tout a ∈ I, ce qui montre que la convexité est une propriété locale et globale en même temps.
• La croissance de la pente est également liée à la dérivée si f est dérivable : f' est croissante ⇔ f est convexe (voir section 5).

💡 À retenir

La convexité d'une fonction peut être caractérisée par la croissance monotone de la pente de ses cordes reliant un point fixe à d’autres points, ce qui relie la géométrie du graphe à une propriété analytique essentielle.

📖 5. Dérivabilité et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité d'une fonction (d'après Benjamin Havret, 2023) : Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est convexe si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0,1]$, $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y).$ La courbe de $f$ est située en-dessous de toutes ses cordes reliant deux points.

• Lien entre dérivabilité et convexité (d'après Benjamin Havret, 2023) : Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est convexe si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$.

• Lien entre deuxième dérivée et convexité (d'après Benjamin Havret, 2023) : Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, alors $f$ est convexe si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.

• Exemples de fonctions convexes dérivables (d'après Benjamin Havret, 2023) : La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$, la fonction carrée $x \mapsto x^2$, et la fonction $x \mapsto 1/x$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

📝 Points essentiels

• La convexité d'une fonction peut être caractérisée par la croissance de sa dérivée : si $f$ est dérivable, $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante (Benjamin Havret, 2023).
• La convexité est également liée à la deuxième dérivée pour les fonctions deux fois dérivables : $f$ est convexe si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle (Benjamin Havret, 2023).
• La propriété géométrique fondamentale : pour une fonction dérivable convexe, la courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes en tout point (théorème de la tangente). Cela implique que la tangente en un point touche la courbe en ce point et reste en dessous de la courbe dans un voisinage (Benjamin Havret, 2023).
• Exemple illustratif : La fonction $f(x) = e^x$ est convexe, sa dérivée $f'(x) = e^x$ est croissante, et sa deuxième dérivée $f''(x) = e^x > 0$. La fonction $f(x) = x^2$ est également convexe, avec $f'(x) = 2x$ croissante, et $f''(x) = 2 > 0$.
• La convexité implique que la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes, ce qui est une propriété essentielle pour l'étude de l'optimisation et des inégalités (voir section 4).

💡 À retenir

Une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante, et si elle est deux fois dérivable, cela revient à ce que sa deuxième dérivée soit positive ou nulle. La convexité garantit que la courbe reste au-dessus de ses tangentes en tout point.

📖 6. Fonctions convexes dérivables

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité des trois pentes (propriété fondamentale) : Pour une fonction convexe f : I → R, et x < y < z dans I, on a
  $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \leq \frac{f(z) - f(y)}{z - y}$ (Benjamin Havret, source).
  Cette inégalité exprime que la fonction pente entre deux points est croissante lorsque la fonction est convexe.

• Position de la courbe par rapport à ses sécantes (Théorème) :
  Pour f convexe, le graphe est situé en dessous de sa sécante sur l'intervalle [x, y], et au-dessus de sa sécante en dehors de cet intervalle.
  (Benjamin Havret, source).
  Cela traduit la propriété géométrique que la courbe ne dépasse pas ses cordes à l’intérieur de l’intervalle, mais peut la croiser en dehors.

• Caractérisation par la croissance des pentes (Proposition) :
  La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout a ∈ I, la fonction
  $x \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est croissante sur I \ {a}.
  (Benjamin Havret, source).
  Cette propriété relie la convexité à la croissance monotone de la pente entre un point fixe et les autres points.

📝 Points essentiels

• La convexité implique que la pente moyenne entre deux points (f(y)−f(x))/(y−x) est croissante en y lorsque x est fixé, ce qui est formellement exprimé par l'inégalité des trois pentes.
• La position du graphe par rapport à ses sécantes est une caractéristique géométrique fondamentale : le graphe est en dessous de toutes ses cordes sur [x, y], et en dessus en dehors.
• La caractérisation par la croissance des pentes permet de vérifier la convexité en étudiant la monotonie de la fonction x ↦ (f(x)−f(a))/(x−a).
• Ces propriétés sont essentielles pour comprendre le comportement asymptotique des fonctions convexes, notamment leur tendance à croître ou décroître à l’infini selon les valeurs en a, b (voir section 3, inégalité des trois pentes).

💡 À retenir

Une fonction convexe dérivable possède une pente croissante, ce qui se traduit géométriquement par le fait que son graphe reste en dessous de ses cordes sur l’intervalle, et la croissance de ses pentes permet de caractériser sa convexité.

📖 7. Inégalités des trois pentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d'inflexion : Point où la fonction change de convexité, c’est-à-dire que la courbe passe de convexe à concave ou inversement. AUTEUR (source) : défini comme le changement de convexité de la fonction.
• Changement de signe de f'' : Si f est deux fois dérivable, un point d'inflexion correspond à un point où la dérivée seconde f'' change de signe, passant de positif à négatif ou inversement. AUTEUR (source) : caractérisation classique des points d'inflexion.
• Inégalité des trois pentes : Pour une fonction convexe f, pour tout x < y < z dans I, on a :
  $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \leq \frac{f(z) - f(y)}{z - y}$
  Elle exprime que la pente entre deux points croît avec l'augmentation de l'abscisse.
• Exemples classiques de points d'inflexion : La fonction sin, sh, et tan en 0 ont un point d'inflexion en 0, où la convexité change.
• Propriété géométrique : La tangente en un point d'inflexion traverse la courbe au point d'inflexion, indiquant un changement de convexité.

📝 Points essentiels

• La propriété fondamentale de l'inégalité des trois pentes est qu’elle traduit la convexité en une croissance croissante de la pente entre deux points.
• Pour une fonction convexe, la pente entre deux points est croissante, ce qui implique que la courbe est située en dessous de ses sécantes.
• La caractérisation par la croissance stricte de la fonction x ↦ (f(x)−f(a))/(x−a) est essentielle pour identifier la convexité stricte, notamment via la dérivée f' si f est dérivable.
• La position de la courbe par rapport à ses sécantes est : en-dessous sur [x, y], et au-dessus à l’extérieur de cet intervalle, ce qui est lié à la propriété des inégalités des trois pentes.
• La détection d’un point d’inflexion par changement de signe de f'' est valable si f est deux fois dérivable, sinon, on utilise la variation de la convexité localement.
• La convexité stricte implique que la fonction x ↦ f(x) − f(a) / (x − a) est strictement croissante, et que la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes sauf en un point.

💡 À retenir

Les inégalités des trois pentes illustrent que pour une fonction convexe, la pente entre deux points croît lorsque l’on avance, ce qui permet de repérer les points d’inflexion par un changement de signe de la dérivée seconde ou par une croissance stricte de la pente.

📖 8. Points d'inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité stricte : Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est strictement convexe si, pour tous $x, y \in I$ distincts et tout $\lambda \in ]0, 1[$, on a $f((1 - \lambda)x + \lambda y) < (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y).$ AUTEUR (source) : La convexité stricte implique que le graphe de $f$ est strictement au-dessus de ses cordes, sauf aux extrémités où il touche la corde en ses points de contact.

• Point d'inflexion : Un point $a \in I$ où la convexité de $f$ change, c’est-à-dire où la fonction passe de convexe à concave ou inversement. Si $f$ est deux fois dérivable, alors $a$ est un point d'inflexion si $f''(a)$ change de signe (passage de positif à négatif ou vice versa).
  AUTEUR (source) : La variation du signe de $f''$ caractérise un point d'inflexion dans le cas de deux fois différentiabilité.

• Croissance stricte de la dérivée : Pour une fonction dérivable $f$, elle est strictement convexe si et seulement si sa dérivée $f'$ est strictement croissante sur $I$.
  AUTEUR (source) : La croissance stricte de $f'$ traduit la convexité stricte de $f$.

📝 Points essentiels

• La convexité stricte est une version renforcée de la convexité : elle interdit que la fonction soit affine sur un intervalle, ce qui implique que son graphe est toujours strictement au-dessus de ses cordes, sauf en ses points de contact.
• La caractérisation par la dérivée $f'$ est essentielle : si $f$ est dérivable, alors $f$ est strictement convexe si et seulement si $f'$ est strictement croissante.
• La présence d’un point d’inflexion est indiquée par un changement de signe de $f''$ si $f$ est deux fois différentiable. Par exemple, les fonctions sinus, sh (hyperbolique sinus) et tan ont un point d’inflexion en 0, où leur convexité change.
• La convexité stricte garantit que le graphe de la fonction ne peut pas toucher sa tangente en plus d’un seul point, ce qui renforce la position du graphe au-dessus de ses tangentes en tout point (voir section 5).

💡 À retenir

Une fonction strictement convexe possède un graphe toujours strictement au-dessus de ses cordes, et un point d'inflexion correspond à un changement de signe de sa dérivée seconde si elle est deux fois dérivable.

📖 9. Convexité stricte

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité stricte (d’après C22.24): Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est dite strictement convexe si, pour tous $x, y \in I$ distincts et tout $\lambda \in ]0,1[$, on a : $f((1-\lambda)x + \lambda y) < (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y)$ La courbe de $f$ est alors toujours strictement au-dessus de ses cordes, sauf en leurs extrémités.

• Caractérisation par la croissance de la dérivée (d’après C22.24): Pour une fonction dérivable $f$, elle est strictement convexe si et seulement si sa dérivée $f'$ est strictement croissante sur $I$.

• Position de la courbe par rapport à ses tangentes (d’après C22.24): La fonction $f$ est strictement convexe si, en tout point $a \in I$, sa courbe est située strictement au-dessus de sa tangente en $a$, qui ne touche la courbe qu’en ce point.

• Partie convexe dans $\mathbb{R}^2$ (d’après C22.25): Une partie $P \subset \mathbb{R}^2$ est dite convexe si, pour tous $A, B \in P$, le segment $[A, B]$ est contenu dans $P$. L’épigraphe d’une fonction convexe est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.

• Épigraphe d’une fonction (d’après C22.25): L’ensemble des points situés au-dessus du graphe de $f$, défini par : $E_f = \{(x, z) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in I, z \geq f(x)\}$ La convexité stricte de $f$ implique que $E_f$ est une partie strictement convexe.

📝 Points essentiels

• La convexité stricte est une propriété plus forte que la convexité simple, impliquant que la fonction ne peut pas être affine sur un intervalle, sauf en un seul point.
• La caractérisation par la dérivée montre que $f'$ doit être strictement croissante pour que $f$ soit strictement convexe, ce qui garantit que la courbe ne peut pas "s'aplatir" sur un segment.
• La position de la courbe par rapport à ses tangentes est une propriété géométrique clé : en tout point $a$, la courbe doit se situer strictement au-dessus de sa tangente en $a$, sauf en ce point où elles se touchent.
• La convexité stricte de $f$ se traduit par la convexité stricte de son épigraphe $E_f$, qui est alors une partie strictement convexe de $\mathbb{R}^2$.

💡 À retenir

Une fonction est strictement convexe si sa courbe est toujours située strictement au-dessus de ses cordes et de ses tangentes, ce qui se traduit par une dérivée strictement croissante ou une inégalité stricte dans la définition de convexité. Son épigraphe est une partie strictement convexe de $\mathbb{R}^2$.

📖 10. Épigraphe et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition formelle de la convexité (section 1) :
  Soit une fonction $f : I \to \mathbb{R}$. Elle est convexe si, pour tous $x, y \in I$ et $\lambda \in [0,1]$,
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y).$
  La courbe de $f$ est située en-dessous de toutes ses cordes reliant deux points.

• Interprétation graphique de la convexité (section 2) :
  La convexité se traduit graphiquement par le fait que la courbe de $f$ est en-dessous de toutes ses cordes. Pour tout $x, y \in I$ et $\lambda \in [0,1]$, le point $C$ de la courbe en $(1 - \lambda)x + \lambda y$ vérifie :
  $f((1 - \lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y),$ ce qui signifie que la courbe est en dessous de la corde reliant $A(x, f(x))$ et $B(y, f(y))$.

• Lien entre convexité et croissance des pentes (section 4) :
  La fonction $x \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est croissante sur $I \setminus \{a\}$. Cela signifie que la croissance des pentes entre deux points est monotone, caractérisant la convexité. La convexité stricte correspond à une croissance strictement croissante de cette fonction.

• Inégalité de Jensen (section 3) :
  Pour une fonction convexe $f : I \to \mathbb{R}$, et pour tout ensemble de points $x_1, \dots, x_n \in I$ avec des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n \geq 0$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, on a :
  $f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).$
  C'est une propriété de stabilité des combinaisons convexes.

📝 Points essentiels

• La convexité d'une fonction $f$ est équivalente à ce que sa courbe reste en-dessous de toutes ses cordes reliant deux points quelconques (section 2).
• La propriété de stabilité de l'ensemble des combinaisons convexes, exprimée par l'inégalité de Jensen, est fondamentale pour la caractérisation de la convexité (section 3).
• La croissance de la fonction $x \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est une caractéristique clé de la convexité, permettant de la caractériser sans recourir à la définition initiale (section 4).
• La convexité implique que la fonction est au-dessus de ses tangentes si elle est dérivable, et cette propriété est équivalente à la croissance de sa dérivée (section 5, voir aussi section 9 pour la convexité stricte).

💡 À retenir

La convexité d'une fonction se manifeste graphiquement par sa courbe située en dessous de ses cordes, et analytiquement par la croissance monotone de ses pentes ou dérivées, avec l'inégalité de Jensen comme principe fondamental de stabilité.

📊 Tableau de Synthèse Comparatif : Convexité, Concavité, et Dérivabilité

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre convexité et concavité : la convexité implique une courbe en dessous de ses cordes, la concavité en dessus.
2. Croire qu'une fonction affine est uniquement convexe ou uniquement concave : elle est à la fois, égalité dans la définition.
3. Confondre la dérivabilité et la convexité : une fonction peut être convexe sans être dérivable.
4. Mauvaise interprétation de l'inégalité de Jensen : elle ne s'applique qu'aux fonctions convexes.
5. Penser que la convexité implique nécessairement une dérivée croissante partout : il faut vérifier la dérivabilité ou la croissance de $f'$.
6. Confusion entre points d'inflexion et points de convexité stricte : un point d'inflexion peut ne pas affecter la convexité globale.
7. Négliger l'importance de l'intervalle $I$ : la convexité doit être vérifiée sur tout $I$.

✅ Checklist d'Examen

1. Connaître la définition formelle de la convexité d’une fonction selon MP2I et Havret.
2. Savoir interpréter graphiquement la convexité : courbe en dessous de ses cordes.
3. Maîtriser l’inégalité de Jensen pour une fonction convexe et ses applications.
4. Identifier si une fonction est convexe ou concave à partir de sa dérivée : $f'$ croissante ou décroissante.
5. Savoir que les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.
6. Connaître la caractérisation par la dérivée seconde : $f'' \geq 0$ pour une fonction deux fois dérivable.
7. Reconnaître les exemples classiques de fonctions convexes : $x^2$, $|x|$.
8. Comprendre la différence entre convexité stricte et convexité simple.
9. Savoir que la convexité implique que la fonction reste en dessous de toutes ses cordes.
10. Connaître la propriété que la moyenne convexes d’un ensemble reste dans l’intervalle initial.
11. Maîtriser la notion de points d’inflexion et leur impact sur la convexité.
12. Vérifier que la convexité est indépendante de l’ordre de $x, y$ dans la définition.