Fiche de révision : Probabilités et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Indépendance de deux événements
2. Succession d'épreuves indépendantes
3. Arbre pondéré des répétitions
4. Calcul des probabilités composées

📖 1. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si connaître l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Probabilités non nulles : La définition d’indépendance est donnée pour deux événements dont la probabilité est non nulle, afin d’éviter des probabilités conditionnelles impossibles.

📝 Points essentiels

• Pour des événements A et B de probabilité non nulle, A et B sont indépendants si P_A(B)=P(B) (ou équivalemment si P^B(A)=P(A)).
• Dans le jeu de 32 cartes, avec R = « tirer un roi » et T = « tirer un trèfle », on obtient P_T(R)=P(R), donc R et T sont indépendants.
• Après ajout de 2 jokers au jeu, on a P_T(R)≠P(R) avec les mêmes définitions, donc R et T ne sont pas indépendants.

💡 Astuce mémo

Indépendance = “pas d’effet” : P de l’un reste la même même si on sait l’autre.

📖 2. Succession d'épreuves indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuves indépendantes : Des épreuves sont indépendantes lorsque le résultat d’une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes.
• Répétition identique : Une répétition est dite identique quand chaque épreuve se fait avec les mêmes conditions (mêmes règles, même matériel).
• Remise dans l’urne : La remise garantit que la composition de l’urne reste la même, ce qui rend les tirages successifs indépendants.

📝 Points essentiels

• Lancer d’un dé puis lancer d’une pièce : les deux épreuves sont indépendantes.
• Tirage avec remise dans une urne (2 boules blanches, 3 noires) répété 10 fois : les 10 épreuves sont identiques et indépendantes.
• Avec remise, les tirages successifs suivent des probabilités constantes, ce qui permet d’utiliser un arbre de répétitions sans probabilités conditionnelles implicites.

💡 Astuce mémo

Remise dans l’urne = mêmes probabilités à chaque tirage.

📖 3. Arbre pondéré des répétitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré décrit toutes les suites possibles d’issues et associe à chaque branche la probabilité correspondante.
• Issues ordonnées (B ; R) : Une issue ordonnée indique l’ordre des tirages, par exemple (B ; R) signifie blanc puis rouge.
• Probabilité sur une suite : La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs issues s’obtient en additionnant les probabilités des issues concernées.

📝 Points essentiels

• Dans l’urne (3 blanches, 2 rouges) avec remise, P(B)=3/5=0,6 et P(R)=2/5=0,4.
• Sur l’arbre, la 1re couche correspond au 1er tirage et la 2e couche au 2e tirage, sans utiliser de probabilité conditionnelle au sens du cours.
• Obtenir deux blanches correspond à (B ; B) et donne P=0,6×0,6=0,36.
• Obtenir une blanche puis une rouge correspond à (B ; R) et (R ; B) et donne P=0,24+0,24=0,48.
• Obtenir au moins une blanche correspond à (B ; R), (B ; B) et (R ; B) et donne P=0,24+0,36+0,24=0,84.

💡 Astuce mémo

Arbre = “toutes les suites” : branches à multiplier puis issues à additionner.

📖 4. Calcul des probabilités composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’événements : L’intersection A ∩ B est l’événement “A et B”, donc obtenu quand les deux conditions se réalisent ensemble.
• Probabilités composées par indépendance : Pour deux événements indépendants, la probabilité de leur intersection se calcule par produit.

📝 Points essentiels

• Si R et B sont indépendants alors P(R ∩ B)=P(R)×P(B), ce qui justifie le produit des probabilités sur l’arbre.
• Dans l’exemple de deux tirages, l’issue (B ; B) se calcule par P(B)×P(B) avec P(B)=3/5=0,6, donnant 0,36.

💡 Astuce mémo

Indépendance = produit : “et” se traduit par ×.

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance des événements au jeu de 32 cartes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que l’égalité P(A)=P(A|B) définit l’indépendance sans vérifier le contexte demandé pour les événements de probabilité non nulle.
2. Confondre le 2e niveau de l’arbre (dans l’exemple à tirage avec remise) avec une probabilité conditionnelle.
3. Calculer P(B et R) en additionnant directement des branches sans repérer lesquelles correspondent réellement à chaque ordre (B ; R) ou (R ; B).
4. Oublier le facteur d’ordre : (B ; R) n’est pas la même issue que (R ; B).
5. Croire que l’ajout de jokers ne change rien : l’égalité P_T(R)=P(R) cesse et l’indépendance disparaît.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer la condition d’indépendance de deux événements A et B de probabilité non nulle via P_A(B)=P(B).
2. Savoir conclure indépendance ou non à partir d’une égalité ou d’une inégalité entre P_A(B) et P(B).
3. Savoir reconnaître une succession d’épreuves indépendantes à partir du caractère indépendant des épreuves (ex. dé puis pièce).
4. Savoir justifier l’indépendance de tirages successifs quand il y a remise dans l’urne.
5. Savoir construire un arbre pondéré pour deux répétitions en plaçant P(B)=3/5 et P(R)=2/5 sur chaque niveau.
6. Savoir interpréter une issue ordonnée comme (B ; R) et associer correctement l’ordre aux issues.
7. Savoir calculer P(B ; B)=0,36 à partir de P(B)=0,6.
8. Savoir calculer P(B ; R ou R ; B)=0,48 en additionnant les probabilités des deux issues.
9. Savoir calculer P’au moins une blanche)=0,84 en additionnant les trois issues correspondantes.
10. Savoir utiliser la règle de produit P(R ∩ B)=P(R)×P(B) lorsque les événements sont indépendants.