Fiche de révision : Probabilités et Modèles Binomiaux

📋 Plan du Cours

1. Probabilités sur les lames conformes
2. Loi binomiale sur les lames
3. Moyenne des contrôles et concentration
4. Affirmations sur fonctions et suites
5. Géométrie du cube dans l’espace
6. Étude de ln(x)/x² et intégrales

📖 1. Probabilités sur les lames conformes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bayes : Méthode reliant les probabilités conditionnelles pour inverser une information du type P(T|A) en P(A|T).
• Arbre de probabilité : Schéma qui factorise une expérience en choix d’origine puis condition de conformité pour calculer des probabilités.
• Événement conforme : Événement T représentant le fait que la lame casse après plus de cinq heures de test, donc que la lame est conforme.
• Probabilité conjointe : Probabilité qu’un même essai réalise deux événements à la fois, notée par exemple P(A∩T).

📝 Points essentiels

• P(A)=0,60 et P(B)=0,12 et P(C)=0,28 car le reste du stock vient de C.
• On donne P(T|A)=0,90 et P(T|B)=0,95 et P(T|C)=0,85.
• On obtient P(A∩T)=P(A)×P(T|A)=0,60×0,90=0,54 et cela signifie que 54% des lames sont à la fois de A et conformes.
• En recouvrant les fournisseurs, P(T)=0,60×0,90+0,12×0,95+0,28×0,85=0,892.
• Avec T contraire noté T, on a P(B|T)=P(B∩T)/P(T) et la valeur arrondie au millième est 0,345.
• mémoriser : P(conforme)=somme sur les fournisseurs P(fournisseur)×P(conforme|fournisseur).

💡 Astuce mémo

Fournisseurs A,B,C → conforme = 0,60·0,90 + 0,12·0,95 + 0,28·0,85.

📖 2. Loi binomiale sur les lames

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Modèle du nombre de succès en n essais indépendants à probabilité de succès p constante, de la forme X~B(n,p).
• Nombre de non conformes : Variable aléatoire X comptant combien de lames non conformes figurent dans l’échantillon.
• Tirage avec remise : Choix indépendants successifs d’éléments dans un grand stock, permettant d’assimiler les essais à identiques.

📝 Points essentiels

• On admet X~B(75,p) où p=P(T)=1−0,892=0,108 est la probabilité qu’une lame soit non conforme.
• La probabilité que exactement 6 lames soient non conformes vaut P(X=6)=C_{75}^6×0,108^6×0,892^69 (à arrondir au millième).
• L’affirmation « P(X>8)<0,5 » se vérifie en calculant P(X>8)=1−P(X≤8) avec la loi binomiale.

💡 Astuce mémo

Binomiale : mêmes essais (remise) + probabilité de non-conforme p=0,108.

📖 3. Moyenne des contrôles et concentration

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables X_i : Comptages indépendants du nombre de non conformes dans chaque échantillon de 75 lames.
• Somme normalisée M_n : Moyenne des X_i : M_n=(X1+X2+…+Xn)/n représentant une moyenne de non conformes sur n compétitions.
• Espérance : Valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire.
• Variance : Mesure de dispersion autour de l’espérance.

📝 Points essentiels

• Comme X_i~B(75,0,108), on a E(X_i)=75×0,108 et V(X_i)=75×0,108×0,892, donc E(M_n)=75×0,108 et V(M_n)=V(X_i)/n.
• L’inégalité donnée se justifie par une borne de type concentration : pour tout n≥1, P(|M_n−8,1|≥2)≤1,8063/n.
• On cherche n tel que 1,8063/n<0,05, ce qui équivaut à n>36,126 et conduit au plus petit entier n=37.
• Interprétation : à partir de 37 compétitions, la moyenne des non conformes s’écarte de 8,1 de moins de 2 avec une probabilité ≥0,95.
• La valeur 8,1 correspond à E(M_n) puisque 75×0,108=8,1.

💡 Astuce mémo

M_n est une moyenne : l’écart demandé (2) devient plus rare quand n grandit, comme 1/n dans la borne.

📖 4. Affirmations sur fonctions et suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’équation différentielle : Procéder en vérifiant qu’une fonction candidate satisfait l’égalité y'+y=2cos(x).
• Point d’intersection de courbes : Lieu où deux fonctions ont la même valeur, donc où f(x)=g(x).
• Suite divergente : Suite qui ne converge vers aucune limite réelle.
• Somme S_n : Somme finie S_n=u0+u1+…+u_n d’une suite définie par une formule explicite.

📝 Points essentiels

• Affirmation 1 est vraie ou fausse en remplaçant f(x)=4e^{-x}+cos(x)+sin(x) dans y'+y et en vérifiant que le résultat vaut 2cos(x).
• Pour l’affirmation 2, étudier f(x)=2x et g(x)=sin(x) revient à résoudre 2x=sin(x et en déduire le nombre de solutions réelles.
• Pour l’affirmation 3, avec v_n=(2^n+sin(n))/n+1, vérifier la croissance de v_n suffit pour décider si la suite diverge.
• Pour l’affirmation 4, tester la définition u_{n+1}=u_n+2^n+1 et vérifier la formule u_n=n^2 par récurrence ou calcul initial tranche la proposition.
• Pour l’affirmation 5, S_n=∑_{k=0}^n e^{-k} vérifie une somme géométrique et on compare la limite à e−1 quand n→+∞.
• L’exercice impose justification pour chaque réponse et les affirmations sont indépendantes.

📖 5. Géométrie du cube dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormal du cube : Repère (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗) où A est l’origine et AB, AD, AE forment les axes perpendiculaires de longueur 1.
• Milieu d’un segment : Point J milieu de [EH] vérifiant que ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées des extrémités.
• Vecteurs normaux : Vecteur orthogonal à un plan lorsque son produit scalaire avec deux directions du plan est nul.
• Projeté orthogonal : Point L du plan (A I J) tel que CL est perpendiculaire au plan.

📝 Points essentiels

• Dans le repère (A;AB⃗,AD⃗,AE⃗), on a I milieu de [EF] donc I(0,1,1), J milieu de [EH] donc J(1,0,1) et K milieu de [AE] donc K(0,0,1/2).
• On calcule A I⃗·A J⃗ puis on en déduit l’angle IAĴ via cos(IAJ)= (A I⃗·A J⃗)/(|A I⃗|·|A J⃗|) arrondi au dixième.
• Le vecteur K C⃗ est normal au plan (A I J), donc une équation cartésienne du plan est x+y−(1/2)z=0.
• Le projeté L de C sur (A I J) vérifie l’équation du plan et la perpendiculaire, et la distance de C au plan vaut 4/3.
• Les droites (I M) et (K C) : avec M(1,m,1), la paramétrisation de (I M) s’écrit x=1/2 s+1/2, y=ms, z=1 et la coplanarité se décide selon m.

💡 Astuce mémo

Milieux : coordonnées = moyennes ; plan (A I J) donnée par x+y−z/2=0.

📖 6. Étude de ln(x)/x² et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction f(x)=ln(x)/x² : Fonction définie sur (0,+∞) par f(x)=ln(x)/x^2 dont on étudie limites, dérivées et variations.
• Convexité : Propriété liée au signe de la dérivée seconde f'' : concave si f''<0, convexe si f''>0.
• Tangente en x=1 : Droite passant par le point de la courbe en abscisse 1 et de pente f'(1).
• Intégrale I_n : Intégrale I_n=∫_1^{e} ln(x)/x^{n+1} dx ou forme équivalente donnée dans l’énoncé via ln(x)×x^{-n-1}.

📝 Points essentiels

• Limites : quand x→0^+, f(x)=ln(x)/x^2 tend vers −∞, et quand x→+∞, f(x) tend vers 0.
• On montre que pour x>0, f'(x)=(1−2ln(x))/x^3 et le signe de 1−2ln(x pilote les variations.
• La tangente Δ au point d’abscisse 1 a pour équation réduite à partir de f(1) et f'(1).
• On a aussi pour tout x>0, f''(x)=(-5+6ln(x))/x^4 et l’inflexion se cherche par -5+6ln(x)=0.
• Pour x∈[0, e^{5/6}] (cadre exact), on déduit x−1 ≥ ln(x)·x^2 et pour x∈[e^{5/6},+∞[, on démontre la même inégalité aussi.
• Pour n≥1, I_n=∫ ln(x)/x^{n} dx (forme de l’énoncé) est donnée par intégration par parties : I_n= n−1−ln(n)/n^{5} (comme indiqué), puis on calcule lim_{n→+∞} I_n en conséquence.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre T et T : T est l’événement « conforme », alors que T désigne l’événement contraire « non conforme ».
2. Inverser les conditionnelles : utiliser P(B|T) exige de partir de P(B∩T) et de diviser par P(T), pas par P(T|B).
3. Oublier que la loi binomiale vient des essais indépendants à probabilité constante, ici justifiée par le tirage avec remise.
4. Se tromper sur la paramétrisation de la binomiale : le paramètre p est la proba de non conformité, donc p=0,108 et non 0,892.
5. Intervertir coordonnées dans le repère du cube : les axes sont AB⃗, AD⃗, AE⃗, donc (x,y,z) correspondent aux déplacements selon ces trois directions.
6. Confondre convexité et concavité : le signe de f''(x) donne directement la convexité, pas celui de f'(x).
7. Dans l’étude de l’inégalité, mélanger les intervalles (0 ; e^{5/6}] et [e^{5/6} ; +∞[) et perdre le sens du raisonnement de convexité/concavité.

✅ Checklist Examen

1. Calculer P(A∩T), puis interpréter le résultat en pourcentage dans le contexte des lames.
2. Calculer P(T) en utilisant la formule des probabilités totales sur A, B et C et vérifier la valeur 0,892.
3. Calculer P(B|T) avec la formule P(B∩T)/P(T) et donner la valeur arrondie au millième.
4. Modéliser X comme une variable binomiale et identifier ses paramètres n=75 et p=0,108.
5. Calculer P(X=6) à partir de la formule binomiale et arrondir au millième.
6. Évaluer P(X>8) via 1−P(X≤8) pour décider si l’affirmation « <50% » est vraie ou fausse.
7. Déterminer E(M_n) et V(M_n) à partir de E(X_i) et V(X_i), puis retrouver E(M_n)=8,1.
8. Utiliser la borne P(|M_n−8,1|≥2)≤1,8063/n pour trouver un n garantissant ≥0,95 pour P(|M_n−8,1|<2).
9. Pour l’exercice 2, vérifier chaque affirmation en appliquant la bonne méthode : équation différentielle, intersections, divergence, récurrence, somme géométrique.
10. Pour l’exercice 3, trouver les coordonnées des milieux I, J, K puis établir l’équation du plan (A I J).
11. Calculer le projeté orthogonal L et la distance du point C au plan (A I J) égale à 4/3.
12. Pour l’exercice 4, déterminer les limites de f, calculer f' et f'', établir variation/convexité puis justifier l’inégalité sur les deux intervalles.
13. Pour l’exercice 4, interpréter graphiquement I_n, prouver la croissance de (I_n) et calculer lim_{n→+∞} I_n à partir de la formule obtenue.