QCM : Probabilités et Modèles Binomiaux — 12 questions

Question 1

1. Quelle formule permet de calculer la probabilité qu’une lame soit à la fois issue du fournisseur A et conforme ?

P(T)×P(A|T)

P(A)+P(T|A)

P(A)×P(T|A)

P(A|T)×P(T)

Explication

On utilise la probabilité conjointe : P(A∩T)=P(A)×P(T|A). Ici, cela donne bien 0,60×0,90.

Answer

P(A)×P(T|A)

Question 2

2. Quelle est la valeur de la probabilité qu’une lame soit conforme, en tenant compte des trois fournisseurs ?

0,108

0,892

0,345

0,540

Explication

La probabilité totale de conformité est la somme sur les fournisseurs : 0,60×0,90 + 0,12×0,95 + 0,28×0,85 = 0,892. La valeur 0,108 correspond au contraire, donc à la non-conformité.

Answer

Une loi binomiale de paramètres 75 et 0,108

Answer

C_{75}^6×0,108^6×0,892^69

Answer

Calculer y'+y et vérifier que l’on obtient 2cos(x)

Answer

v_n=(2^n+sin(n))/(n+1)

Answer

I(0,1,1), J(1,0,1), K(0,0,1/2)

Answer

x+y−(1/2)z=0

Answer

(1−2ln(x))/x³

Question 3

3. Quel modèle aléatoire décrit le nombre de lames non conformes dans un échantillon de 75 lames ?

Une loi géométrique de paramètre 0,108

Une loi binomiale de paramètres 75 et 0,108

Une loi uniforme de paramètres 75 et 0,892

Une loi normale de moyenne 75 et d’écart-type 0,108

Explication

Le nombre de non conformes est modélisé par une loi binomiale, car il s’agit de 75 essais indépendants de même probabilité de succès p=0,108. La loi géométrique concerne le rang du premier succès, pas un comptage sur un nombre fixé d’essais.

Question 4

4. Quelle expression permet d’écrire la probabilité d’obtenir exactement 6 lames non conformes parmi 75 ?

75×0,108^6×0,892^69

C_{75}^6×0,108^69×0,892^6

C_{75}^6×0,108^6×0,892^69

C_{75}^6×0,892^6×0,108^69

Explication

Pour une loi binomiale, on multiplie le coefficient binomial par p^k et par (1-p)^{n-k}. Ici, k=6 et p=0,108, d’où C_{75}^6×0,108^6×0,892^69.

Question 5

5. Quelle est l’espérance de la moyenne M_n des nombres de non conformes par contrôle ?

1,8063/n

75×0,892

0,108

8,1

Explication

Chaque X_i suit une loi binomiale B(75,0,108), donc E(X_i)=75×0,108=8,1. Comme M_n est la moyenne des X_i, son espérance vaut aussi 8,1.

Question 6

6. Quel plus petit entier n garantit que la probabilité que M_n s’écarte de 8,1 de moins de 2 est au moins 0,95 ?

18

36

50

37

Explication

On utilise la borne P(|M_n−8,1|≥2)≤1,8063/n et on veut qu’elle soit strictement inférieure à 0,05. Cela conduit à n>36,126, donc au plus petit entier n=37.

Question 7

7. Pour vérifier une affirmation portant sur la fonction f(x)=4e^{-x}+cos(x)+sin(x), quelle méthode est utilisée ?

Étudier uniquement la limite de f en +∞

Comparer f(x) à une suite géométrique

Résoudre f(x)=0 pour tout x

Calculer y'+y et vérifier que l’on obtient 2cos(x)

Explication

Il faut remplacer la fonction candidate dans l’équation différentielle et vérifier que y'+y=2cos(x). C’est exactement la méthode indiquée pour trancher cette affirmation.

Question 8

8. Quelle suite est donnée comme exemple de suite divergente à étudier par croissance ?

f(x)=2x

v_n=(2^n+sin(n))/(n+1)

S_n=∑_{k=0}^n e^{-k}

u_n=n^2

Explication

La suite v_n=(2^n+sin(n))/(n+1) est explicitement citée comme suite dont la croissance permet de conclure à la divergence. Les autres propositions ne correspondent pas à cet exemple.

Question 9

9. Dans le repère du cube, quelles sont les coordonnées des points I, J et K définis comme milieux de segments ?

I(1,1,0), J(0,1,1), K(1/2,1/2,1/2)

I(1,0,1), J(0,1,1), K(1/2,0,0)

I(0,1,1), J(1,0,1), K(0,0,1/2)

I(0,1,0), J(1,1,0), K(0,0,1)

Explication

Dans le repère (A; AB⃗, AD⃗, AE⃗), les milieux sont donnés par la moyenne des coordonnées des extrémités, ce qui conduit à I(0,1,1), J(1,0,1) et K(0,0,1/2).

Question 10

10. Quelle est une équation cartésienne du plan (A I J) ?

x+y+z=0

x+y−(1/2)z=0

2x+2y−z=1

x−y+z=0

Explication

Le vecteur KC est normal au plan (A I J), ce qui conduit à l’équation x+y−(1/2)z=0. Cette équation est celle indiquée pour ce plan.

Question 11

11. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x² définie sur ]0,+∞[, quelle est sa limite lorsque x tend vers 0 par valeurs positives ?

+∞

1

0

−∞

Explication

Quand x→0⁺, le logarithme tend vers −∞ et la division par x² renforce cette divergence vers −∞. La fonction ne peut donc pas admettre une limite finie en 0⁺.

Question 12

12. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x², quelle est l’expression correcte de sa dérivée sur ]0,+∞[ ?

(1−2ln(x))/x²

(1−ln(x))/x²

(2ln(x)−1)/x²

(1−2ln(x))/x³

Explication

La dérivation de ln(x)/x² conduit à f'(x)=(1−2ln(x))/x³. Le signe de 1−2ln(x) permet ensuite d’étudier les variations de la fonction.

QCM : Probabilités et Modèles Binomiaux — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle formule permet de calculer la probabilité qu’une lame soit à la fois issue du fournisseur A et conforme ?

2. Quelle est la valeur de la probabilité qu’une lame soit conforme, en tenant compte des trois fournisseurs ?

3. Quel modèle aléatoire décrit le nombre de lames non conformes dans un échantillon de 75 lames ?

4. Quelle expression permet d’écrire la probabilité d’obtenir exactement 6 lames non conformes parmi 75 ?

5. Quelle est l’espérance de la moyenne M_n des nombres de non conformes par contrôle ?

6. Quel plus petit entier n garantit que la probabilité que M_n s’écarte de 8,1 de moins de 2 est au moins 0,95 ?

7. Pour vérifier une affirmation portant sur la fonction f(x)=4e^{-x}+cos(x)+sin(x), quelle méthode est utilisée ?

8. Quelle suite est donnée comme exemple de suite divergente à étudier par croissance ?

9. Dans le repère du cube, quelles sont les coordonnées des points I, J et K définis comme milieux de segments ?

10. Quelle est une équation cartésienne du plan (A I J) ?

11. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x² définie sur ]0,+∞[, quelle est sa limite lorsque x tend vers 0 par valeurs positives ?

12. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x², quelle est l’expression correcte de sa dérivée sur ]0,+∞[ ?

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