Fiche de révision : Capsule 11 : Probabilités et statistiques 1. 5/09

📋 Plan du Cours

1. Statistique et variabilité
2. Population échantillon et inférence
3. Types de variables
4. Représentation et distributions
5. Description des variables quantitatives
6. Covariance et centrage-réduction
7. Lois de probabilité
8. Fluctuations d’échantillonnage
9. Intervalle de pari

📖 1. Statistique et variabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Méthode de raisonnement qui permet d’interpréter des données caractérisées par leur variabilité.
• Variabilité : Fait que les individus ne sont pas tous identiques et qu’ils peuvent être différemment adaptés à une condition de vie.

💡 Astuce mémo

Variabilité des individus → besoin de statistique

📖 2. Population échantillon et inférence

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble très grand auquel se rapporte l’étude statistique.
• Échantillon : Sous-ensemble d’une population, idéalement tiré au sort, représentatif et de taille importante.

📝 Points essentiels

📌 Les statistiques descriptives étudient une population sans extrapoler les résultats, tandis que les statistiques inductives ou inférentielles utilisent un échantillon représentatif pour tirer des conclusions sur la population.

💡 Astuce mémo

Descriptive : décrire ; inférentielle : extrapoler

📖 3. Types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Caractéristique des individus de la série statistique étudiée.

★ À maîtriser

• Les variables quantitatives sont mesurables, les variables qualitatives ne sont pas mesurables et les variables ordinales sont classables par catégories ordonnées.

• Les variables quantitatives discrètes prennent un nombre fini ou limité de valeurs, tandis que les variables quantitatives continues peuvent prendre un nombre infini de valeurs.

• La discrétisation transforme une variable continue en variable discrète, mais entraîne une perte d’informations et de précision.

Compléments

• Les variables qualitatives dichotomiques ou binaires possèdent deux modalités, comme fumeur et non-fumeur.

💡 Astuce mémo

Q-Q-O : quantitatives, qualitatives, ordinales

📖 4. Représentation et distributions

★ À maîtriser

📌 Les données brutes sont présentées sans classement particulier, tandis que les données ordonnées sont triées par ordre croissant ou décroissant.

📌 Une représentation graphique permet une compréhension immédiate des résultats, tandis qu’une représentation tabulaire apporte davantage de précision sur les données.

Compléments

• Les principales représentations statistiques comprennent:
  • le diagramme en barres
  • l’histogramme
  • le camembert
  • le diagramme en secteurs
  • le découpage en classes

💡 Astuce mémo

Graphique : immédiat ; tableau : précis

📖 5. Description des variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : Somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
• Médiane : Valeur qui divise l’échantillon ordonné en deux parties égales.
• Variance : Somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par l’effectif.
• Écart type : Racine carrée de la variance et mesure de dispersion exprimée dans la même unité que la moyenne.
• Mode : Valeur la plus fréquente d’une série et peut être unique, multiple ou absent si toutes les valeurs sont différentes.
• Quartile : Valeurs qui séparent une distribution ordonnée en quatre, dix ou cent parties de même effectif.

📝 Points essentiels

• L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, tandis que l’écart interquartile vaut Q3 − Q1.

💡 Astuce mémo

Position : où se situent les données ; dispersion : à quel point elles s’écartent

📖 6. Covariance et centrage-réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Mesure de l’évolution conjointe de deux variables quantitatives en associant les écarts de chaque variable à sa moyenne.

📝 Points essentiels

• Centrer-réduire une valeur consiste à soustraire la moyenne, puis à diviser le résultat par l’écart type.

• Une variable centrée réduite possède une moyenne nulle, une variance égale à 1 et un écart type égal à 1.

💡 Astuce mémo

Centrer puis réduire : moyenne 0, écart-type 1

📖 7. Lois de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Loi concernant une variable continue dépendant approximativement d’un grand nombre de facteurs de même ordre de grandeur agissant de façon additive.
• Loi binomiale : La loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus lors de N épreuves indépendantes, chacune ayant deux issues, succès ou échec, avec une probabilité de succès p et une probabilité d’échec q = 1 − p.
• Loi de Poisson : Cas particulier de la loi binomiale correspondant à un nombre d’épreuves très grand et à une probabilité de succès très petite.

★ À maîtriser

📌 Une variable continue est généralement rattachée à la loi normale, tandis qu’une variable discontinue peut être rattachée à la loi binomiale ou à la loi de Poisson.

• Dans une loi normale, environ 68 % des observations se situent entre −1 et +1 écart type, 95 % entre −2 et +2 écarts types et 99,7 % entre −3 et +3 écarts types.

Compléments

• Pour une variable normalement distribuée, la moyenne, le mode et la médiane sont égaux.

💡 Astuce mémo

Continue : normale ; discrète : binomiale ou Poisson

📖 8. Fluctuations d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluctuation d’échantillonnage : Variations des estimations obtenues lorsque plusieurs échantillons sont tirés au sort dans une même population.

📝 Points essentiels

📌 Pour une variable quantitative, la moyenne et l’écart type de la population sont notés μ et σ, tandis que leurs estimations dans l’échantillon sont notées m et s.

• La moyenne des moyennes observées sur plusieurs échantillons vaut la moyenne μ de la population.

• Les moyennes d’échantillons convergent vers une loi normale si l’effectif N est supérieur à 30 ou si la variable est normalement distribuée.

• Pour une variable qualitative, la proportion P de la population est estimée par la fréquence F observée dans l’échantillon.

• Les fréquences d’échantillons convergent vers une loi normale lorsque NP ou NQ sont suffisamment grands, avec NP et NQ supérieurs ou égaux à 5 et Q = 1 − P.

💡 Astuce mémo

Échantillons différents → estimations variables

📖 9. Intervalle de pari

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de pari : Intervalle recherché au seuil α pour la moyenne μ ou la fréquence P d’une population à partir d’un échantillon tiré de cette population.

★ À maîtriser

• Le raisonnement avec un intervalle de pari part des résultats d’un échantillon, estime le paramètre correspondant, puis généralise le résultat à la population.

Compléments

• L’intervalle de pari est utilisé dans le raisonnement par l’absurde des tests d’hypothèses.

💡 Astuce mémo

Échantillon → estimation → généralisation à la population

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres de population et estimations d’échantillon