Fiche de révision : Probabilités pour le business analytics

📋 Plan du Cours

1. Modèle probabiliste et incertitude
2. Espace d’échantillonnage et événements
3. Propriétés et opérations événementielles
4. Probabilités conditionnelles et Bayes
5. Dépendance et indépendance
6. Variables aléatoires et lois
7. Fonctions et indicateurs de distribution
8. Lois usuelles et théorème central limite

📖 1. Modèle probabiliste et incertitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Phénomène dont on ne peut pas prédire l’issue avec certitude.
• Modèle probabiliste : Formalise l’incertitude afin de passer de l’observation à la prédiction ou à la recommandation.

📝 Points essentiels

• Les probabilités jouent un rôle majeur en statistique inférentielle.

💡 Astuce mémo

Incertitude → probabilités → prédiction et décision

📖 2. Espace d’échantillonnage et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace d’échantillonnage : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : Correspond à une seule issue possible de l’espace d’échantillonnage.
• Événement composé : Sous-ensemble de Ω formé de plusieurs événements élémentaires.

📝 Points essentiels

• Pour un match PSG–OM, l’espace d’échantillonnage est Ω = {PSG gagne, OM gagne, match nul}.

💡 Astuce mémo

Un univers Ω contenant des issues ω comme des cases possibles

📖 3. Propriétés et opérations événementielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : Événement dans lequel A ne se réalise pas.

📝 Points essentiels

📌 Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément, tandis qu’ils sont compatibles s’ils peuvent se produire en même temps.

📌 Si A est inclus dans B, alors la probabilité de A ne dépasse pas celle de B : $P(A) \leq P(B)$.

📐 Formule - Pour deux événements A et B, la probabilité de leur union vérifie $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire vérifie $P(A^c)=1-P(A)$.

💡 Astuce mémo

Compatible = ensemble possible ; incompatible = impossible ensemble

📖 4. Probabilités conditionnelles et Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Mesure la probabilité de A sachant que B s’est produit et révise l’espace d’échantillonnage selon cette information.
• Théorème de Bayes : Permet d’inverser le conditionnement afin de calculer P(A|B) à partir de P(B|A), de P(A) et de P(B).

📝 Points essentiels

📐 Formule - La probabilité conditionnelle vérifie $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule - Le théorème de Bayes s’écrit $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$.

💡 Astuce mémo

Information nouvelle → conditionnement → inversion par Bayes

📖 5. Dépendance et indépendance

★ À maîtriser

📌 A et B sont dépendants si la survenue de l’un modifie la probabilité de l’autre, tandis qu’ils sont indépendants si elle ne la modifie pas.

📐 Formule - Deux événements sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Compléments

• Pour tester l’indépendance, on choisit une caractérisation, on calcule séparément les deux membres, puis on vérifie s’ils sont égaux.

💡 Astuce mémo

Dépendance : l’un modifie l’autre ; indépendance : aucune influence

📖 6. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Associe un nombre réel à chaque événement élémentaire ω de l’espace Ω.
• Loi de probabilité : Décrit les valeurs qu’une variable aléatoire peut prendre et la probabilité associée à chacune de ces valeurs.

★ À maîtriser

📌 Une variable aléatoire discrète prend un nombre dénombrable de valeurs, tandis qu’une variable aléatoire continue peut prendre une infinité de valeurs sur un intervalle.

Compléments

• Lorsqu’une pièce est lancée trois fois, la variable X comptant le nombre de PILE prend les valeurs 0, 1, 2 ou 3.

💡 Astuce mémo

La variable X transforme chaque issue ω en un nombre

📖 7. Fonctions et indicateurs de distribution

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : Donne, pour toute valeur x, la probabilité que X soit inférieure ou égale à x.

★ À maîtriser

• La fonction de répartition est croissante, vérifie F(-∞)=0 et F(+∞)=1, et prend une forme en escaliers pour une variable discrète.

📐 Formule - Pour une variable aléatoire discrète X, l’espérance est $E(X)=\sum_k kP(X=k)$.

📐 Formule - La variance d’une variable aléatoire discrète vérifie $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

Compléments

• Pour un dé équilibré, l’espérance vaut 3,5, la variance vaut environ 2,92 et l’écart-type environ 1,71.

💡 Astuce mémo

Loi → espérance → variance → écart-type

📖 8. Lois usuelles et théorème central limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Décrit une expérience à deux résultats, succès et échec, de probabilités p et 1-p, avec E(X)=p et Var(X)=p(1-p).
• Loi binomiale : Décrit le nombre de succès sur n répétitions d’épreuves de Bernoulli et vérifie E(X)=np et Var(X)=np(1-p).
• Loi de Poisson : Modélise le nombre d’événements rares sur un intervalle, lorsque le nombre d’essais est très grand et la probabilité d’un événement très faible, avec E(X)=Var(X)=λ.
• Densité de probabilité : Pour une variable aléatoire continue, la probabilité que X appartienne à un intervalle est donnée par l’aire sous la densité.

★ À maîtriser

📌 La loi des grands nombres affirme que la moyenne empirique se rapproche de l’espérance lorsque la taille de l’échantillon augmente, tandis que le théorème central limite approxime sa distribution par une loi normale.

📐 Formule - Pour un échantillon suffisamment grand, le théorème central limite approxime la moyenne empirique par une loi normale centrée en m, avec une incertitude mesurée par $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Compléments

• Les tests statistiques et les intervalles de confiance reposent souvent sur des hypothèses de distribution des données, dont la violation peut conduire à des résultats biaisés et à des décisions managériales inadaptées.

💡 Astuce mémo

Échantillon grand → moyenne stabilisée → approximation normale

📊 Tableaux de synthèse

Dépendance et indépendance

Lois discrètes et continues