Fiche de révision : Limites des suites

📋 Plan du Cours

1. Limite finie d’une suite
2. Limites infinies et suites de référence
3. Opérations sur les limites
4. Théorème d’encadrement
5. Suites monotones et convergence
6. Propriétés des suites convergentes

📖 1. Limite finie d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes uₙ à partir d’un certain rang

★ À maîtriser

📐 Formule - La convergence de (uₙ) vers ℓ signifie que, pour tout ε > 0, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n ≥ n₀, $|uₙ-ℓ|<ε$.

• Pour la suite définie par $u_m=\frac{1}{m}$ avec m ∈ ℕ*, on a $\lim_{m\to+\infty}u_m=0$.

Compléments

• Pour démontrer que $u_m=\frac{1}{m}$ tend vers 0, on fixe ε > 0, on choisit m₀ entier strictement supérieur à 1/ε, puis on obtient, pour m ≥ m₀, $0<\frac{1}{m}<ε$.

💡 Astuce mémo

Les termes se resserrent dans une bande horizontale autour de ℓ.

📖 2. Limites infinies et suites de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs ou égaux à A à partir d’un certain rang

★ À maîtriser

📐 Formule - La suite $u_n=n^2$ vérifie $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$, car pour tout A > 0, il suffit de choisir un entier n₀ supérieur ou égal à $\sqrt{A}$.

• Les limites de référence sont $\lim n^2=+\infty$, $\lim n^3=+\infty$, $\lim 1/n=0$, $\lim 1/n^2=0$ et $\lim 1/n^3=0$.

• Pour une suite géométrique $q^n$, la limite vaut +∞ si q > 1, 1 si q = 1, 0 si -1 < q < 1, et n’existe pas si q < -1.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, on a $\lim u_n=+\infty$ si r > 0, $\lim u_n=u_0$ si r = 0, et $\lim u_n=-\infty$ si r < 0.

💡 Astuce mémo

Limite finie : proximité autour de ℓ ; limite infinie : dépassement de tout seuil A.

📖 3. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• La somme de deux limites est indéterminée dans le cas $+\infty+(-\infty)$, alors que les autres combinaisons présentées donnent une limite déterminée.

• Pour un réel k, si uₙ tend vers P, alors kuₙ tend vers kP lorsque P est réel ; si uₙ tend vers +∞ ou -∞, le signe de k détermine l’infini obtenu et k = 0 donne 0.

• Le produit de deux limites est indéterminé lorsque l’une tend vers 0 et l’autre vers ±∞, tandis que les produits non nuls suivent la règle des signes.

• Le quotient de deux limites est indéterminé dans les formes $0/0$ et $\infty/\infty$, tandis que le quotient par une limite réelle non nulle est calculable.

💡 Astuce mémo

Les opérations donnent une limite sauf dans les formes indéterminées.

📖 4. Théorème d’encadrement

★ À maîtriser

📌 Si uₙ ≤ vₙ à partir d’un certain rang et si uₙ tend vers +∞, alors vₙ tend aussi vers +∞.

📌 Si deux suites encadrent une suite centrale et tendent toutes deux vers la même limite ℓ, alors la suite centrale tend vers ℓ.

Compléments

• Pour $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$, on peut utiliser l’encadrement $-\frac1n\le u_n\le\frac1n$ pour conclure que $u_n\to0$.

💡 Astuce mémo

Borne inférieure → suite centrale → borne supérieure.

📖 5. Suites monotones et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : s’il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ ℕ, $u_n\le M$

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge.

📌 Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.

Compléments

• La suite définie par $d_{n+1}=\sqrt{d_n+1}$ et d₀ = 1 vérifie, après démonstration par récurrence, $0\le d_n\le d_{n+1}\le2$ ; elle est donc croissante et majorée, puis convergente.

💡 Astuce mémo

Croissance + majoration → convergence ; croissance + non-majoration → +∞.

📖 6. Propriétés des suites convergentes

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique.

• Si une suite définie par récurrence converge et vérifie uₙ₊₁ = f(uₙ), sa limite P vérifie l’équation P = f(P).

• Pour $u_0=5$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$, une limite éventuelle P vérifie $P^2-P-2=0$, donc P vaut -1 ou 2 ; comme uₙ ≥ 0, la limite est P = 2.

📌 Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

Compléments

📌 Si une suite croissante converge vers P, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à P.

💡 Astuce mémo

Toute suite convergente est bornée, mais toute suite bornée ne converge pas.

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites usuelles