Limites des suites

📋 Plan du Cours

1. Limite finie d’une suite
2. Limites infinies et suites de référence
3. Opérations sur les limites
4. Théorème d’encadrement
5. Suites monotones et convergence
6. Propriétés des suites convergentes

📖 1. Limite finie d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes uₙ à partir d’un certain rang

★ À maîtriser

📐 Formule - La convergence de (uₙ) vers ℓ signifie que, pour tout ε > 0, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n ≥ n₀, $|uₙ-ℓ|<ε$.

• Pour la suite définie par $u_m=\frac{1}{m}$ avec m ∈ ℕ*, on a $\lim_{m\to+\infty}u_m=0$.

Compléments

• Pour démontrer que $u_m=\frac{1}{m}$ tend vers 0, on fixe ε > 0, on choisit m₀ entier strictement supérieur à 1/ε, puis on obtient, pour m ≥ m₀, $0<\frac{1}{m}<ε$.

💡 Astuce mémo

Les termes se resserrent dans une bande horizontale autour de ℓ.

📖 2. Limites infinies et suites de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs ou égaux à A à partir d’un certain rang