QCM : Limites des suites (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment caractérise-t-on la convergence d’une suite (un)\left(u_n\right) vers un réel ℓ\ell ?

Tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient les termes à partir d’un certain rang.
Tout intervalle fermé ne contenant pas ℓ\ell contient les termes à partir d’un certain rang.
Les termes deviennent égaux à ℓ\ell dès qu’un rang suffisamment grand est atteint.
Les termes restent à distance constante de ℓ\ell quel que soit leur rang.

Tout intervalle ouvert contenant $$\ell$$ contient les termes à partir d’un certain rang.

Explication

Une suite converge vers ℓ\ell lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell finit par contenir tous ses termes. La convergence n’exige pas que les termes deviennent égaux à ℓ\ell ni qu’ils restent à distance constante.

2. Quelle condition traduit formellement la convergence de (un)\left(u_n\right) vers ℓ\ell ?

Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que tout n≥n0n\ge n_0 entraîne ∣un−ℓ∣>ε\left|u_n-\ell\right|>\varepsilon.
Pour tout n≥n0n\ge n_0, on a ∣un−ℓ∣=ε\left|u_n-\ell\right|=\varepsilon pour un réel fixé.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe n0n_0 tel que n≥n0n\ge n_0 entraîne ∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon.
Il existe un rang n0n_0 tel que ∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon pour chaque terme antérieur.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$n_0$$ tel que $$n\ge n_0$$ entraîne $$\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon$$.

Explication

La définition exige que toute distance positive ε\varepsilon soit finalement respectée par les termes, grâce à l’inégalité ∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon. L’appartenance à un intervalle ne suffit pas à elle seule si la distance à ℓ\ell n’est pas contrôlée.

3. Quelle est la limite de la suite définie par um=1mu_m=\frac{1}{m} pour m∈N∗m\in\mathbb{N}^* ?

Elle n’a pas de limite.
Elle converge vers 00.
Elle tend vers +∞+\infty.
Elle converge vers 11.

Elle converge vers $$0$$.

Explication

Lorsque mm devient grand, 1m\frac{1}{m} se rapproche de 00, donc sa limite vaut 00. Le fait que les termes soient strictement positifs n’empêche pas leur convergence vers zéro.

4. Que signifie qu’une suite (un)\left(u_n\right) tend vers +∞+\infty ?

Ses termes se rapprochent d’un réel fixe avec une précision arbitrairement grande.
Ses termes deviennent égaux à un réel positif après un rang donné.
Pour tout réel AA, ses termes sont supérieurs ou égaux à AA à partir d’un certain rang.
Il existe un réel AA que ses termes dépassent à partir d’un certain rang.

Pour tout réel $$A$$, ses termes sont supérieurs ou égaux à $$A$$ à partir d’un certain rang.

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie que tout seuil réel AA finit par être dépassé ou atteint par tous les termes suivants. Cette propriété se distingue d’une convergence vers un réel fixe, qui décrit une proximité autour d’une valeur déterminée.

5. Pour montrer que un=n2u_n=n^2 tend vers +∞+\infty, quel choix de rang convient pour un seuil A>0A>0 ?

Choisir un entier n0≥A2n_0\ge A^2.
Choisir un entier n0≤An_0\le\sqrt{A}.
Choisir un entier n0≤1An_0\le\frac{1}{A}.
Choisir un entier n0≥An_0\ge\sqrt{A}.

Choisir un entier $$n_0\ge\sqrt{A}$$.

Explication

Si n≥n0≥An\ge n_0\ge\sqrt{A}, alors n2≥An^2\ge A, ce qui vérifie la définition de la divergence vers +∞+\infty. Le choix fondé sur 1/A1/A ne garantit pas que le carré dépasse le seuil demandé.

6. Quelle association de limites de référence est correcte lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

n2n^2 et n3n^3 tendent vers +∞+\infty, tandis que 1n\frac1n, 1n2\frac1{n^2} et 1n3\frac1{n^3} tendent vers 00.
Toutes ces suites tendent vers 00, car les puissances de nn deviennent négligeables.
Toutes ces suites tendent vers +∞+\infty, car elles dépendent de nn.
n2n^2 et n3n^3 tendent vers 00, tandis que 1n\frac1n, 1n2\frac1{n^2} et 1n3\frac1{n^3} tendent vers +∞+\infty.

$$n^2$$ et $$n^3$$ tendent vers $$+\infty$$, tandis que $$\frac1n$$, $$\frac1{n^2}$$ et $$\frac1{n^3}$$ tendent vers $$0$$.

Explication

Les puissances positives de nn croissent sans borne, alors que leurs inverses deviennent arbitrairement petits. Les expressions 1n\frac1n, 1n2\frac1{n^2} et 1n3\frac1{n^3} convergent donc vers zéro.

7. Quelle est la limite de la suite géométrique qnq^n lorsque −1<q<1-1<q<1 ?

Elle vaut 00.
Elle vaut 11.
Elle vaut +∞+\infty.
Elle n’existe pas.

Elle vaut $$0$$.

Explication

Pour une raison géométrique comprise entre −1-1 et 11, la valeur absolue de qnq^n devient de plus en plus petite et la suite tend vers 00. La valeur 11 correspond au cas q=1q=1, tandis que la non-existence indiquée concerne notamment q<−1q<-1.

8. Dans quel cas la somme de deux limites est-elle une forme indéterminée ?

Lorsque l’une des suites converge vers un réel non nul et l’autre vers zéro.
Lorsque la somme s’écrit +∞+(+∞)+\infty+(+\infty).
Lorsque la somme s’écrit +∞+(−∞)+\infty+(-\infty).
Lorsque les deux suites convergent vers des réels positifs.

Lorsque la somme s’écrit $$+\infty+(-\infty)$$.

Explication

Les contributions opposées de +∞+\infty et −∞-\infty ne permettent pas de déterminer la limite de la somme sans informations supplémentaires. En revanche, la somme +∞+(+∞)+\infty+(+\infty) vaut +∞+\infty.

9. Si unu_n tend vers +∞+\infty, vers quelle limite tend kunku_n lorsque k<0k<0 ?

Vers −∞-\infty.
Vers 00.
Vers +∞+\infty.
Vers la limite réelle kk.

Vers $$-\infty$$.

Explication

La multiplication par un réel négatif inverse le signe de l’infini : un multiple négatif d’une suite tendant vers +∞+\infty tend vers −∞-\infty. Le résultat serait +∞+\infty pour un coefficient positif et 00 lorsque le coefficient vaut zéro.

10. Quelle situation constitue une forme indéterminée pour le produit de deux suites ?

Les deux suites convergent vers des réels non nuls.
Une suite tend vers 22 et l’autre vers 33.
Les deux suites tendent vers −∞-\infty.
Une suite tend vers 00 et l’autre vers +∞+\infty.

Une suite tend vers $$0$$ et l’autre vers $$+\infty$$.

Explication

Le produit associé à la forme 0×∞0\times\infty est indéterminé, car les vitesses de convergence vers zéro et de croissance vers l’infini peuvent produire des résultats différents. Deux limites réelles non nulles, comme 22 et 33, donnent au contraire le produit de ces limites.

11. Si une suite vérifie un≤vnu_n\le v_n à partir d’un certain rang et si un→+∞u_n\to +\infty, quelle conclusion peut-on tirer pour vnv_n ?

La suite vnv_n oscille autour de zéro.
La suite vnv_n est nécessairement décroissante.
La suite vnv_n tend vers +∞+\infty.
La suite vnv_n tend vers une limite finie.

La suite $$v_n$$ tend vers $$+\infty$$.

Explication

Comme vnv_n est au moins aussi grande que unu_n à partir d’un certain rang, elle dépasse tout réel lorsque unu_n tend vers +∞+\infty. L’inégalité inverse ne fournirait pas cette conclusion concernant vnv_n.

12. Quelles conditions permettent d’appliquer le théorème d’encadrement à une suite centrale vnv_n ?

Deux suites bornes convergent vers la même limite ℓ\ell et encadrent vnv_n.
Une seule suite borne converge vers ℓ\ell tandis que l’autre reste non bornée.
Deux suites bornes divergent vers deux limites finies différentes et encadrent vnv_n.
Les deux suites bornes sont monotones, même si leurs limites sont différentes.

Deux suites bornes convergent vers la même limite $$\ell$$ et encadrent $$v_n$$.

Explication

Lorsque les deux bornes convergent vers la même limite ℓ\ell, la suite centrale est contrainte de converger vers cette même valeur. Des limites différentes ne permettent pas de déterminer la limite de la suite centrale.

13. Quelle condition caractérise une suite unu_n majorée par un réel MM ?

Il existe un rang tel que un=Mu_n=M.
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, on a un≤Mu_n\le M.
La suite possède une limite égale à MM.
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, on a un≥Mu_n\ge M.

Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, on a $$u_n\le M$$.

Explication

Une suite est majorée lorsqu’un même réel MM est supérieur ou égal à chacun de ses termes. Cette propriété ne signifie ni que MM est atteint ni qu’il constitue la limite de la suite.

14. Une suite est croissante et majorée par un réel MM. Quelle propriété garantit sa convergence ?

Toute suite croissante et majorée est constante à partir d’un rang.
Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie.
Toute suite croissante et majorée converge nécessairement vers MM.
Toute suite croissante et majorée tend vers +∞+\infty.

Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie.

Explication

Le théorème des suites monotones affirme qu’une suite croissante et majorée converge vers une limite finie. Cette limite peut être inférieure à MM, car MM n’est pas forcément la plus petite majoration.

15. Que peut-on conclure d’une suite croissante qui n’est pas majorée ?

Elle possède deux limites finies distinctes.
Elle devient constante après un certain rang.
Elle converge vers une limite négative.
Elle tend vers +∞+\infty.

Elle tend vers $$+\infty$$.

Explication

Une suite croissante non majorée dépasse tout réel, ce qui signifie précisément qu’elle tend vers +∞+\infty. L’absence de majoration exclut ici une convergence vers une limite finie.

16. Quelle propriété concerne la limite d’une suite lorsqu’elle existe ?

Une suite convergente possède une limite égale à toute borne supérieure.
Une suite convergente possède une limite unique.
Une suite convergente n’a pas de limite lorsque ses termes sont bornés.
Une suite convergente possède deux limites selon les sous-suites.

Une suite convergente possède une limite unique.

Explication

La limite d’une suite convergente est unique : deux nombres distincts ne peuvent pas satisfaire simultanément la définition de la limite. Une suite peut toutefois être bornée sans converger.

17. Si une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) converge vers PP, quelle équation sa limite doit-elle vérifier ?

Elle doit vérifier P=f(P)+1P=f(P)+1.
Elle doit vérifier P=f(P)P=f(P).
Elle doit vérifier P=f(u0)P=f(u_0).
Elle doit vérifier P=u0+f(P)P=u_0+f(P).

Elle doit vérifier $$P=f(P)$$.

Explication

En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l’équation de point fixe P=f(P)P=f(P). Les solutions de cette équation sont des limites candidates, que les signes ou les bornes de la suite peuvent ensuite départager.

18. Pour u0=5u_0=5 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}, quelle limite éventuelle est compatible avec la contrainte un≥0u_n\ge0 ?

P=5P=5, car la suite commence par cette valeur.
P=−1P=-1, car il s’agit de la plus petite solution.
P=0P=0, car la racine carrée impose une limite nulle.
P=2P=2, car les solutions candidates sont −1-1 et 22.

$$P=2$$, car les solutions candidates sont $$-1$$ et $$2$$.

Explication

Une limite éventuelle vérifie P2−P−2=0P^2-P-2=0, dont les solutions sont −1-1 et 22. Comme tous les termes sont positifs ou nuls, la valeur compatible est P=2P=2.

19. Quelle relation entre bornitude et convergence est correcte ?

Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut ne pas converger.
Une suite convergente est bornée uniquement lorsqu’elle est croissante.
Toute suite bornée converge, mais une suite convergente peut être non bornée.
Une suite bornée converge dès qu’elle possède deux valeurs d’adhérence.

Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut ne pas converger.

Explication

La convergence impose que les termes restent dans un intervalle borné. La réciproque est fausse : une suite bornée peut, par exemple, osciller entre plusieurs valeurs sans admettre de limite.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 37 flashcards sur Limites des suites.

Qu'est-ce qu'une suite (uₙ) converge vers le réel ℓ signifie?

Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les uₙ à partir d'un certain rang.

Que signifie la convergence de (uₙ) vers ℓ en termes de ε et n₀?

Pour tout ε>0, il existe n₀ tel que pour tout n≥n₀, ∣un−ℓ∣<ε|uₙ-ℓ|<ε.

Quelle est la limite de la suite um=1mu_m=\frac{1}{m} quand m tend vers +∞?

La limite est 0.

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