Fiche de révision : Probabilités simples

📋 Plan du Cours

1. Définition et calcul des probabilités
2. Équiprobabilité et dénombrement
3. Événements répétés et probabilités limites
4. Propriétés et opérations sur les événements
5. Applications des probabilités composées

📖 1. Définition et calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : La limite, lorsque le nombre d’expériences tend vers l’infini, du rapport entre le nombre de réalisations de l’événement et le nombre d’expériences.

📝 Points essentiels

• Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 et correspond à la fréquence moyenne d’apparition d’un événement, que les issues soient équiprobables ou non.

📖 2. Équiprobabilité et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Le fait que les différents événements élémentaires ont autant de chances de se produire les uns que les autres.

★ À maîtriser

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables à }A}{\text{nombre de cas possibles}}$.

📌 La formule du rapport entre cas favorables et cas possibles s’utilise si et seulement si les événements élémentaires sont équiprobables.

Compléments

• Avec un dé équilibré à six faces, la probabilité d’obtenir un nombre pair est $\frac{3}{6}=0{,}5$, car trois faces portent un nombre pair.

• Les 216 résultats ordonnés de trois dés équilibrés sont équiprobables, contrairement aux combinaisons de valeurs obtenues lorsqu’on ne distingue pas les dés.

• Avec trois dés équilibrés, obtenir 11 points a 27 réalisations sur 216, soit 0,125, tandis qu’obtenir 12 points a 25 réalisations sur 216, soit environ 0,116.

💡 Astuce mémo

Les issues équiprobables se comptent directement ; les combinaisons de dés ne le sont pas si l’ordre des dés est ignoré.

📖 3. Événements répétés et probabilités limites

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un dé équilibré, la probabilité qu’une face fixée n’apparaisse pas pendant n lancers indépendants est $\left(\frac{5}{6}\right)^n$.

Compléments

• La probabilité qu’une face fixée n’apparaisse jamais sur une infinité de lancers d’un dé équilibré est $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n=0$.

💡 Astuce mémo

À chaque lancer, la probabilité de manquer la face se multiplie ; à l’infini, elle tend vers zéro.

📖 4. Propriétés et opérations sur les événements

★ À maîtriser

📌 Si A et B sont incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire de A est $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule - Pour deux événements quelconques, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• La probabilité de l’événement impossible est $P(\varnothing)=0$.

📌 Pour des événements incompatibles deux à deux, la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités.

📌 Si $A\subseteq B$, alors $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$ et $P(B)\geq P(A)$.

• La formule de Poincaré, ou formule du crible, généralise le calcul de la probabilité d’une union à n événements quelconques par alternance des sommes de probabilités d’intersections : termes d’intersection d’ordre impair ajoutés et termes d’ordre pair soustraits.

📖 5. Applications des probabilités composées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n étudiants dont les anniversaires sont répartis sur 365 jours, avec n≤365, la probabilité qu’au moins deux aient leur anniversaire le même jour est $1-\frac{365\cdot364\cdots(365-n+1)}{365^n}$ ; si n>365, cette probabilité vaut 1.

Compléments

• Si deux systèmes ont des probabilités de panne de 0,18 et 0,12 et une probabilité de panne simultanée de 0,05, la probabilité qu’ils fonctionnent tous les deux est 0,75.

• Lorsqu’on tire trois jetons parmi sept sans tenir compte de l’ordre, le nombre de tirages possibles est $\binom{7}{3}=35$ et la probabilité que la somme tirée dépasse celle des jetons restants est $\frac{7}{35}=0{,}2$.

• Pour 23 étudiants et 365 jours possibles, la probabilité qu’au moins deux aient leur anniversaire le même jour est environ 0,507, donc supérieure à une chance sur deux.

• Lors du tirage successif sans remise de v vrais billets et f faux billets, une issue est une liste ordonnée de lettres V et F correspondant aux billets tirés.