QCM : Produit scalaire et géométrie vectorielle — 18 questions

Explication

Pour deux vecteurs non nuls, le produit scalaire vaut bien le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle entre eux. Les autres propositions mélangent avec des formules de coordonnées ou de trigonométrie inadaptées.

Explication

Deux vecteurs orthogonaux ont un angle de 90°, donc leur cosinus vaut 0 et leur produit scalaire aussi. C’est l’équivalence fondamentale entre orthogonalité et produit scalaire nul.

Explication

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées correspondantes : xx' + yy'. La formule xx' - yy' serait incorrecte.

Explication

La formule xx' + yy' n’est valable que dans un repère orthonormé. Sans cette hypothèse, on ne peut pas l’utiliser directement.

Explication

L’identité correcte est d7u·d7v = 1/2(‖u+v‖² - ‖u‖² - ‖v‖²). Elle permet de calculer un produit scalaire sans passer par le cosinus.

Explication

Le carré scalaire de d7u est d7u·d7u, et il vaut toujours ‖u‖². Les autres propositions ne correspondent pas à la définition.

Explication

Cette égalité traduit la distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition. La commutativité concerne l’échange de l’ordre des vecteurs.

Explication

Dans le cours, d7u·d7v=0 équivaut à d7u ⟂ d7v. Un vecteur peut toutefois être nul, donc la proposition sur la nullité nécessaire est fausse.

Explication

Le produit scalaire “passe” par la projection orthogonale : d7AB·d7AC = d7AB·d7AH. C’est la base des calculs avec les projections.

Explication

Quand d7AB et d7AH sont de sens opposés, la projection est signée négativement, donc le produit scalaire vaut -AB × AH. Le signe dépend bien du sens des vecteurs.

Explication

La formule d’Al-Kashi s’écrit bien a² = b² + c² - 2bc cos(Â). Elle généralise le théorème de Pythagore quand l’angle  est droit.

Explication

La formule de la médiane relie bien la somme des carrés MA² + MB² à 2MI² + AB²/2. Elle sert à remplacer une somme de distances au carré par une expression plus simple.

Explication

La loi des sinus relie chaque sinus d’angle au côté opposé : sin(Â)/a = sin(̂B)/b = sin(̂C)/c. C’est une relation métrique fondamentale des triangles.

Explication

Cette égalité est précisément la formule d’Al-Kashi. Elle fait intervenir un cosinus et les longueurs des côtés du triangle.

Explication

Un vecteur normal est défini comme étant orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Cette propriété sert à écrire ou reconnaître une équation cartésienne.

Explication

Pour une droite d’équation ax + by + c = 0, un vecteur normal est (a, b). Les coefficients de x et y donnent directement la normale.

Explication

Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs d7MA et d7MB sont orthogonaux, donc si leur produit scalaire est nul. Cela traduit l’angle droit en M.

Explication

L’équation d’un cercle de centre Ω et de rayon r s’écrit (x - xΩ)² + (y - yΩ)² = r². Elle traduit l’ensemble des points situés à distance r du centre.