Fiche de révision : Projections linéaires et décomposition d'espace

📋 Plan du Cours

1. Projection linéaire en espace vectoriel
2. Propriété d'idempotence
3. Interprétation géométrique
4. Projection sur sous-espace
5. Décomposition d'espace
6. Valeurs propres
7. Sous-espaces propres
8. Matrice d'une projection
9. Trace d'une projection
10. Rang d'une projection

📖 1. Projection linéaire en espace vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application linéaire $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Cela signifie que pour tout $x \in E$, $p(p(x)) = p(x)$. La projection est dite idempotente.

• Interprétation géométrique : La projection correspond à la projection d’un vecteur sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$. Si $E = F \oplus G$, alors tout $x \in E$ s’écrit $x = f + g$ avec $f \in F$ et $g \in G$, et $p(x) = f$.

• Propriétés fondamentales :

  • Idempotence : $p^2 = p$.
  • Image : $\operatorname{Im}(p) = F$, le sous-espace sur lequel on projette.
  • Noyau : $\ker(p) = G$, le sous-espace parallèle.
  • Décomposition de $E$ : $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$.
  • Valeurs propres : 0 et 1.
  • Sous-espaces propres :
    • $E_1 = \operatorname{Im}(p)$
    • $E_0 = \ker(p)$
  • Matrice dans une base adaptée : $\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ où $r = \dim(\operatorname{Im}(p))$.
  • Trace : $\operatorname{Tr}(p) = \dim(\operatorname{Im}(p))$.
  • Rang : $\operatorname{rg}(p) = \dim(\operatorname{Im}(p))$.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente, ce qui garantit que la projection sur un sous-espace ne modifie pas un vecteur déjà dans ce sous-espace.
• La décomposition $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$ permet de comprendre la structure de l’espace en termes de sous-espaces propres.
• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec 1 et 0, ce qui facilite le calcul de ses propriétés.
• La seule valeur propre de $p$ sont 0 et 1, correspondant respectivement au noyau et à l’image.

💡 À retenir

Une projection linéaire est une application idempotente qui décompose un espace en deux sous-espaces complémentaires, permettant une représentation simple et efficace de la projection dans une base adaptée.

📖 2. Propriété d'idempotence

🔑 Notions clés & Définitions

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ telle que $p^2 = p$. Autrement dit, appliquer deux fois la transformation revient à une seule application : $p(p(x)) = p(x)$ pour tout $x \in E$.

• Projection : Application linéaire $p : E \to E$ qui est idempotente, correspondant à la projection d’un espace vectoriel $E$ sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$.

• Sous-espace image (Im(p)) : Sous-espace de $E$ constitué des vecteurs fixés par la projection, c’est-à-dire l’espace sur lequel on projette.

• Noyau (ker(p)) : Sous-espace constitué des vecteurs qui sont envoyés sur le vecteur nul par la projection, représentant l’espace parallèle à celui de l’image.

• Décomposition de l’espace : Toute espace $E$ peut s’écrire comme la somme directe $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{ker}(p)$.

📝 Points essentiels

• La propriété d'idempotence caractérise une projection linéaire : appliquer deux fois la projection ne modifie pas le résultat initial.
• La projection est associée à une décomposition géométrique de $E$ en deux sous-espaces $F$ et $G$ tels que $E = F \oplus G$.
• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec des valeurs 1 et 0, correspondant respectivement à l’image et au noyau.
• Les seules valeurs propres possibles d’une projection sont 0 et 1.
• La trace et le rang d’une projection sont égaux à la dimension de son image.

💡 À retenir

Une projection linéaire est une application idempotente qui décompose un espace en deux sous-espaces complémentaires, avec une matrice diagonale simple dans une base adaptée, et possède des valeurs propres limitées à 0 et 1.

📖 3. Interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application linéaire $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle associe à chaque vecteur son "projection" sur un sous-espace, en conservant certains vecteurs fixes.

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Elle caractérise une projection, car appliquer deux fois la projection revient à une seule application.

• Sous-espace de projection (Im $p$) : Sous-espace $F \subset E$ sur lequel la projection est effectuée. C'est l'image de $p$.

• Sous-espace parallèle (ker $p$) : Sous-espace $G \subset E$ tel que $E = F \oplus G$. C'est le noyau de $p$, espace "parallèle" à la projection.

• Décomposition de l’espace : Expression $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$, indiquant que tout vecteur peut s’écrire de manière unique comme somme d’un vecteur dans l’image et d’un vecteur dans le noyau.

• Valeurs propres : Les seules valeurs propres possibles pour une projection sont 0 et 1, correspondant respectivement aux vecteurs dans le noyau et dans l’image.

📝 Points essentiels

• La projection géométrique consiste à "projeter" un vecteur sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$, lorsque $E = F \oplus G$.

• La propriété d’idempotence ($p^2 = p$) traduit que la projection appliquée une seconde fois ne modifie pas le résultat initial.

• La décomposition $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$ permet de comprendre la structure de l’espace en deux sous-espaces complémentaires.

• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec 1s et 0s, où le nombre de 1s correspond à la dimension de l’image.

• La trace et le rang d’une projection sont égaux à la dimension de l’image, c’est-à-dire le sous-espace sur lequel on projette.

💡 À retenir

Une projection géométrique est une application linéaire idempotente qui décompose l’espace en deux sous-espaces complémentaires, permettant de représenter toute opération de projection comme une opération géométrique de "chute" sur un sous-espace parallèlement à un autre.

📖 4. Projection sur sous-espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle associe chaque vecteur à sa "projection" sur un sous-espace, en conservant certains vecteurs et en annulant d’autres.

• Idempotence : Propriété d’une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Cela signifie que la projection appliquée plusieurs fois ne modifie pas le résultat après la première application.

• Sous-espace d’image (Im(p)) : Sous-espace sur lequel la projection "projette" un vecteur. C’est l’ensemble des vecteurs fixés par la projection.

• Noyau (ker(p)) : Sous-espace constitué des vecteurs envoyés sur le vecteur nul par la projection. Correspond au sous-espace parallèle à la projection.

• Décomposition de l’espace : Toute espace $E$ peut s’écrire comme la somme directe $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{ker}(p)$, avec $\operatorname{Im}(p)$ et $\operatorname{ker}(p)$ en somme directe.

• Valeurs propres : Les seules valeurs propres possibles pour une projection sont 0 et 1. La valeur propre 1 correspond à l’image, et 0 au noyau.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente, ce qui garantit que $p^2 = p$.

• La décomposition de l’espace $E$ en $\operatorname{Im}(p)$ et $\operatorname{ker}(p)$ est fondamentale pour comprendre la géométrie de la projection.

• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec des 1 et des 0, où la dimension de l’image est le rang de la projection.

• La trace de la projection est égale à la dimension de son image, c’est-à-dire $\operatorname{Tr}(p) = \dim(\operatorname{Im}(p))$.

• La projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à $G$ implique que $E = F \oplus G$, et chaque vecteur $x$ peut s’écrire $x = f + g$ avec $f \in F$ et $g \in G$.

💡 À retenir

Une projection est une application linéaire idempotente qui décompose l’espace en deux sous-espaces complémentaires, permettant une représentation claire et simple de l’espace et de ses sous-espaces.

📖 5. Décomposition d'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application linéaire $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle associe chaque vecteur à sa "projection" sur un sous-espace, en conservant certains vecteurs fixes.

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Elle garantit que la projection appliquée plusieurs fois ne modifie pas le résultat.

• Interprétation géométrique : La projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$, avec $E = F \oplus G$. Tout vecteur $x$ s'écrit $x = f + g$, avec $f \in F$ et $g \in G$, et $p(x) = f$.

• Noyau (ker $p$) : Sous-espace constitué des vecteurs $x$ tels que $p(x) = 0$. Correspond au sous-espace $G$ dans la décomposition $E = F \oplus G$.

• Image (Im $p$) : Sous-espace constitué des vecteurs $p(x)$, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs fixes par la projection, correspondant à $F$.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente, permettant de décomposer l'espace $E$ en la somme directe de deux sous-espaces : $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$.

• La projection sur $F$ parallèlement à $G$ implique que chaque vecteur $x$ peut s'écrire de façon unique $x = f + g$, avec $f \in F$ et $g \in G$.

• Les valeurs propres d'une projection sont 0 et 1. La valeur propre 1 correspond à l'espace propre associé à l'image, et 0 à celle du noyau.

• La matrice d'une projection dans une base adaptée est diagonale, avec des 1 sur la diagonale correspondant à la dimension de l'image, et 0 pour le reste.

• La trace et le rang d'une projection sont égaux à la dimension de son image.

💡 À retenir

Une projection est une application linéaire idempotente permettant de décomposer un espace vectoriel en deux sous-espaces complémentaires, avec des propriétés algébriques et géométriques simples, essentielles pour la décomposition d'espace.

📖 6. Valeurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ tel que, pour un vecteur non nul 𝑥, on ait 𝐴𝑥 = λ𝑥, où 𝐴 est une application linéaire. Le vecteur 𝑥 est appelé vecteur propre associé à λ.

• Valeur propre d'une projection : Les seules valeurs propres possibles sont 0 et 1. Cela reflète la nature de la projection comme opérateur idempotent.

• Sous-espace propre : L'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre λ, noté 𝐸_λ, forme un sous-espace vectoriel. Pour une projection, 𝐸_1 = Im(p) et 𝐸_0 = ker(p).

• Valeur propre 1 : Correspond à l'image de la projection, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs fixés par la projection.

• Valeur propre 0 : Correspond au noyau de la projection, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs envoyés vers le vecteur nul.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente : 𝑝² = 𝑝.
• Les valeurs propres d'une projection sont uniquement 0 et 1.
• Les sous-espaces propres associés sont 𝐸_1 = Im(p) et 𝐸_0 = ker(p).
• La décomposition de l’espace vectoriel 𝐸 = Im(p) ⊕ ker(p) permet d’étudier la projection via ses sous-espaces propres.
• La trace de la projection (somme de ses valeurs propres) est égale à la dimension de son image : Tr(p) = dim(Im(p)).

💡 À retenir

Une projection linéaire est caractérisée par ses valeurs propres 0 et 1, et ses sous-espaces propres permettent de décomposer l’espace en deux parties complémentaires : l’image (fixée par la projection) et le noyau (envoyé vers zéro).

📖 7. Sous-espaces propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle "projette" chaque vecteur sur un sous-espace, en laissant inchangé les vecteurs du sous-espace cible.

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Elle garantit que la projection ne modifie pas le résultat après une application successive.

• Sous-espace propre : Sous-espace associé à une valeur propre $\lambda$, constitué des vecteurs $v$ tels que $p(v) = \lambda v$. Pour une projection, les sous-espaces propres sont $\operatorname{Im}(p)$ et $\operatorname{ker}(p)$.

• Décomposition de l’espace : Expression de $E$ comme somme directe de deux sous-espaces $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{ker}(p)$.

• Valeurs propres : Les seules valeurs propres d'une projection sont 0 et 1, correspondant respectivement à $\operatorname{ker}(p)$ et $\operatorname{Im}(p)$.

• Matricielle d’une projection : Dans une base adaptée, la matrice est diagonale avec 1 sur la diagonale correspondant à $\operatorname{Im}(p)$ et 0 pour le reste.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente qui associe chaque vecteur à son image dans un sous-espace $F$, parallèlement à un autre sous-espace $G$.

• La décomposition $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{ker}(p)$ permet de comprendre la structure de l’espace par rapport à la projection.

• Les sous-espaces propres associés à la projection sont $\operatorname{Im}(p)$ (valeur propre 1) et $\operatorname{ker}(p)$ (valeur propre 0).

• La trace et le rang de la projection sont égaux à la dimension de $\operatorname{Im}(p)$.

• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec des 1 et des 0, simplifiant son étude.

💡 À retenir

Une projection est une application linéaire idempotente qui décompose l’espace en deux sous-espaces propres, permettant une compréhension claire de sa structure via ses valeurs propres et ses sous-espaces associés.

📖 8. Matrice d'une projection

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle associe à chaque vecteur son image projetée sur un sous-espace, en laissant inchangés les vecteurs déjà dans ce sous-espace.

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Elle signifie que la projection appliquée plusieurs fois ne modifie pas le résultat après la première application.

• Sous-espace image (Im(p)) : Sous-espace sur lequel on projette, constitué des vecteurs fixes par la projection.

• Noyau (ker(p)) : Sous-espace des vecteurs envoyés sur le vecteur nul par $p$, correspondant à l'espace parallèle à l'image.

• Décomposition de l’espace : $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{ker}(p)$. Toute vectorielle peut s’écrire comme la somme d’un vecteur dans l’image et d’un vecteur dans le noyau.

• Valeurs propres : Les seules valeurs propres possibles pour une projection sont 0 et 1, correspondant respectivement aux vecteurs dans le noyau et dans l’image.

📝 Points essentiels

• La matrice d'une projection dans une base adaptée est diagonale, avec des 1 correspondant à l’image et des 0 au noyau :
  $\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ où $r = \dim(\operatorname{Im}(p))$.

• La trace de $p$, $\operatorname{Tr}(p)$, est égale à la dimension de l’image, soit $r$.

• La matrice est diagonale dans une base adaptée, ce qui facilite le calcul de ses propriétés.

• La projection est orthogonale si elle est aussi auto-adjointe, ce qui nécessite que l’espace soit muni d’un produit scalaire et que la projection soit orthogonale.

💡 À retenir

La matrice d'une projection dans une base adaptée est diagonale avec des 1 sur la diagonale correspondant à l’espace sur lequel on projette, et des 0 pour le complément. La trace de cette matrice donne la dimension de l’image, ce qui permet d’en déduire rapidement ses propriétés.

📖 9. Trace d'une projection

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application linéaire $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle "projette" chaque vecteur sur un sous-espace, en laissant inchangé les vecteurs de ce sous-espace.

• Idempotence : Propriété $p^2 = p$. Elle signifie que l'application appliquée deux fois est équivalente à une seule application.

• Sous-espace image (Im(p)) : Sous-espace sur lequel la projection agit, constitué des vecteurs fixés par $p$.

• Noyau (ker(p)) : Sous-espace constitué des vecteurs envoyés sur le vecteur nul par $p$, souvent l'espace parallèle à l'image.

• Trace (Tr(p)) : Somme des valeurs propres d'une matrice, ici égale à la dimension de l'image, $\text{Tr}(p) = \dim(\text{Im}(p))$.

📝 Points essentiels

• La projection est caractérisée par la propriété d'idempotence $p^2 = p$.

• Géométriquement, une projection correspond à la projection d’un espace vectoriel $E$ sur un sous-espace $F$ parallèlement à un autre sous-espace $G$, avec $E = F \oplus G$.

• La décomposition de $E$ en somme directe : $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$.

• Les valeurs propres d’une projection sont uniquement 0 et 1, correspondant respectivement aux vecteurs non fixés et fixés par $p$.

• La trace de $p$ est égale à la dimension de son image, ce qui permet de calculer rapidement cette dimension.

• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec 1 sur la diagonale correspondant à $\text{Im}(p)$ et 0 ailleurs.

💡 À retenir

La trace d'une projection linéaire est égale à la dimension de son sous-espace image, ce qui permet de relier facilement ses propriétés algébriques et géométriques.

📖 10. Rang d'une projection

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection (application linéaire) : Application $p : E \to E$ telle que $p^2 = p$. Elle associe chaque vecteur à son image projetée, et est dite idempotente.

• Idempotence : Propriété d'une application $p$ vérifiant $p^2 = p$. Elle caractérise une projection, garantissant que la projection appliquée plusieurs fois ne modifie pas le résultat.

• Sous-espace image (Im(p)) : Sous-espace de $E$ constitué des vecteurs fixes par la projection, c’est la zone de projection.

• Noyau (ker(p)) : Sous-espace constitué des vecteurs envoyés sur le vecteur nul par $p$, correspondant à la zone parallèle à la projection.

• Décomposition de l’espace : $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$. Toute vecteur $x$ peut s’écrire de manière unique comme $x = f + g$ avec $f \in \text{Im}(p)$ et $g \in \ker(p)$.

• Valeurs propres : Les seules valeurs propres possibles pour une projection sont 0 et 1, correspondant respectivement aux vecteurs dans le noyau et dans l’image.

📝 Points essentiels

• La projection est une application linéaire idempotente, ce qui implique que $p^2 = p$.

• La matrice d’une projection dans une base adaptée est diagonale avec des 1 et des 0, où la dimension du sous-espace image est le rang de la projection.

• Le rang $r_g(p)$ est égal à la dimension de l’image, soit $\dim(\text{Im}(p))$. La trace de $p$ est aussi égale à ce rang.

• La décomposition $E = \text{Im}(p) \oplus \ker(p)$ permet de comprendre la structure de l’espace par rapport à la projection.

💡 À retenir

Une projection est une application linéaire idempotente dont le rang correspond à la dimension de l’image, et elle permet de décomposer l’espace en deux sous-espaces complémentaires : l’image et le noyau.

📊 Tableaux de synthèse

⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

1. Confondre projection et application linéaire quelconque : seule une application idempotente est une projection.
2. Croire que la projection doit être orthogonale : la définition ne l’impose pas, sauf si précisé (projection orthogonale).
3. Confondre noyau et image : le noyau correspond à l’espace parallèle, l’image à l’espace de projection.
4. Oublier que la seule valeur propre possible est 0 ou 1 : erreur fréquente avec d’autres valeurs propres.
5. Confondre la décomposition $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$ avec une somme simple.
6. Penser que la matrice d’une projection doit être symétrique : uniquement si projection orthogonale.
7. Confondre trace et rang : dans une projection, ils sont égaux, mais ce n’est pas une règle générale pour toutes les applications.

✅ Checklist examen

• Vérifier que la transformation $p$ est linéaire et vérifie $p^2 = p$.
• Identifier l’image $\operatorname{Im}(p)$ et le noyau $\ker(p)$.
• Vérifier que $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$.
• Déterminer les valeurs propres possibles de $p$.
• Calculer la trace de $p$ et la comparer à la dimension de l’image.
• Vérifier si la projection est orthogonale (si la norme est conservée).
• Représenter la matrice de $p$ dans une base adaptée.
• Vérifier que la matrice est diagonale avec 1 et 0.
• Calculer le rang de $p$ et le comparer à la dimension de l’image.
• Expliquer la décomposition géométrique de $E$ en sous-espaces $F$ et $G$.
• Vérifier si la projection est orthogonale ou non.
• S’assurer que la décomposition $E = F \oplus G$ est bien réalisée.
• Vérifier la cohérence entre valeurs propres, trace, rang et sous-espaces.
• Vérifier si la projection est orthogonale, en utilisant la norme ou la symétrie.
• S’assurer que la matrice dans une base adaptée est diagonale avec 1 et 0.
• Vérifier que la projection conserve les vecteurs dans $F$.
• Vérifier que la projection annule les vecteurs dans $G$.
• Vérifier la propriété d’idempotence pour toute application proposée.
• Vérifier la cohérence entre la décomposition géométrique et la matrice.
• Vérifier si la projection est orthogonale ou non.
• Vérifier la compatibilité entre la décomposition et la matrice diagonale.
• Vérifier que la trace correspond à la dimension de l’image.
• Vérifier si la projection est orthogonale en utilisant la norme ou la symétrie.
• Vérifier que la matrice est diagonale dans une base adaptée.
• Vérifier que la décomposition de l’espace est cohérente avec la projection.
• Vérifier la propriété d’idempotence pour toute transformation proposée.