Fiche de révision : Puissances d’un nombre relatif

📋 Plan du Cours

1. Ordres de grandeur et puissances
2. Définition et exposants particuliers
3. Signes et priorités de calcul
4. Règles de calcul des puissances

📖 1. Ordres de grandeur et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a, noté $a^n = a \times a \times \cdots \times a$.

📝 Points essentiels

• La taille de l’univers est de l’ordre de grandeur de 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 m, tandis que celle du noyau atomique est de l’ordre de grandeur de 0,000 000 000 000 000 000 01 m.

💡 Astuce mémo

Des nombres immensément grands ou petits sont condensés en produits répétés.

📖 2. Définition et exposants particuliers

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre relatif a non nul, $a^0 = 1$, tandis que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Les cas particuliers sont $a^1=a$ et $a^{-1}=\frac{1}{a}$, l’inverse de a.

• Par exemple, $3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$ et $\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\frac{8}{27}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : on multiplie ; exposant négatif : on prend l’inverse.

📖 3. Signes et priorités de calcul

★ À maîtriser

📌 Sans parenthèses, on effectue les puissances avant les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

📌 Dans $(-3)^4$, la base est -3 et le résultat est positif, alors que dans $-3^4$, seule la puissance porte sur 3 et le résultat est négatif.

Compléments

📌 Dans $(-2)^{-6}$, la base négative est élevée à la puissance -6, alors que dans $-2^{-6}$, le signe moins reste extérieur à la puissance.

💡 Astuce mémo

(-a)^n inclut le signe dans la base, alors que -a^n laisse le signe à l’extérieur.

📖 4. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une même base a, le produit de deux puissances vérifie $a^n \times a^m = a^{n+m}$.

📐 Formule — Pour une même base a, le quotient de deux puissances vérifie $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

📐 Formule — Une puissance d’une puissance vérifie $\left(a^n\right)^m=a^{n\times m}$.

Compléments

• Les exemples donnent $9^5\times9^{-7}=9^{-2}$, $9^5\div9^{-2}=9^7$ et $\left(3^5\right)^4=3^{20}$.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne les exposants, diviser les soustrait, puis une puissance multiplie les exposants.