Fiche de révision : Racines carrées et applications

📋 Plan du Cours

1. Définition et existence
2. Carrés parfaits et calculatrice
3. Propriétés fondamentales
4. Équations du type x² = a
5. Comparaison des racines
6. Simplification des expressions
7. Rationalisation des dénominateurs
8. Applications géométriques

📖 1. Définition et existence

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : nombre positif noté √a dont le carré est a

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres étudiés dans ce cours.

📐 Formule — Pour tout nombre positif ou nul a, $(\sqrt{a})^2=a.$

Compléments

• On a √81 = 9 et √1,44 = 1,2, car 9² = 81 et 1,2² = 1,44.

💡 Astuce mémo

Carré positif pour deux nombres opposés : 6² = (−6)², mais la racine choisie est positive.

📖 2. Carrés parfaits et calculatrice

★ À maîtriser

• Les carrés parfaits étudiés jusqu’à 20² sont:
  • 1² = 1
  • 2² = 4
  • 3² = 9
  • 4² = 16
  • 5² = 25
  • 6² = 36
  • 7² = 49
  • 8² = 64
  • 9² = 81
  • 10² = 100

Compléments

📌 À partir d’un carré parfait, déplacer la virgule de deux rangs vers la droite ou vers la gauche permet d’obtenir une racine carrée décimale finie.

• La calculatrice permet d’obtenir √576 = 24 exactement et √575 ≈ 23,979158 par défaut.

💡 Astuce mémo

Carré parfait → décalage de deux rangs → racine décimale.

📖 3. Propriétés fondamentales

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux nombres positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}.$

📐 Formule — Pour deux nombres positifs a et b, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

📌 Il n’existe pas de formule analogue pour les sommes et les différences : √(a+b) ≠ √a + √b et √(a−b) ≠ √a − √b en général.

💡 Astuce mémo

Le produit et le quotient se séparent, mais la somme et la différence ne se séparent pas.

📖 4. Équations du type x² = a

★ À maîtriser

• Si a est positif, l’équation x² = a possède deux solutions : x = √a et x = −√a.

• Si a = 0, l’équation x² = 0 possède une seule solution, x = 0.

• Si a est négatif, l’équation x² = a n’a aucune solution, car un carré est toujours positif ou nul.

Compléments

• L’équation 3x² − 8 = −5 se transforme en x² = 1 et possède les solutions x = 1 et x = −1.

💡 Astuce mémo

a positif : deux solutions ; a nul : une solution ; a négatif : aucune solution.

📖 5. Comparaison des racines

★ À maîtriser

📌 Pour deux nombres positifs a et b, si a ≤ b alors √a ≤ √b.

Compléments

• Comme 56 < 57, on a √56 < √57.

💡 Astuce mémo

Carrés dans le même ordre → racines dans le même ordre.

📖 6. Simplification des expressions

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le radicande en un carré parfait multiplié par un entier, puis on extrait la racine du carré parfait.

• On a √50 = √(25 × 2) = 5√2, √24 = 2√6 et √64 = 8.

Compléments

• Le produit √45 × √5 se simplifie en √225 = 15.

• La somme 4√5 + √125 se simplifie en 9√5.

• Le produit (2√7 + 5)(2√7 − 5) se simplifie en 3 grâce à la troisième identité remarquable.

💡 Astuce mémo

Décomposer → extraire les carrés parfaits → réduire les radicaux.

📖 7. Rationalisation des dénominateurs

★ À maîtriser

• Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une expression qui rend le dénominateur rationnel.

Compléments

• On a 5/√2 = 5√2/2 après multiplication du numérateur et du dénominateur par √2.

📖 8. Applications géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur mesure $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

📐 Formule — Dans un carré de côté a, la diagonale mesure $d=a\sqrt{2}.$

Compléments

• Pour calculer cette hauteur, on utilise le triangle rectangle formé par la hauteur et une demi-base, puis le théorème de Pythagore.

• La diagonale du carré se calcule avec le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle de côtés a et a.

💡 Astuce mémo

Triangle équilatéral : hauteur a√3/2 ; carré : diagonale a√2.

📊 Tableaux de synthèse

Solutions de x² = a