Fiche de révision : Racines carrées et simplification

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Calculs avec les racines carrées
3. Simplification par factorisation

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un nombre positif a, $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

📌 $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$ existe, tandis que $\sqrt{-5^2}=\sqrt{-25}$ n’existe pas car -25 est négatif.

💡 Astuce mémo

√((-5)²) existe, alors que √(-5²) n’existe pas.

📖 2. Calculs avec les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 La somme de deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de leur somme : $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, alors que $\sqrt{9+16}=5$.

• Pour développer une expression avec des racines carrées, on applique la distributivité puis on regroupe les termes semblables.

Compléments

• On a $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$ et $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

• Le calcul $2+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\sqrt{3}-7-2\sqrt{2}$ se simplifie en $-5+4\sqrt{3}-7\sqrt{2}$.

• Le produit $2\sqrt{3}\times5\sqrt{3}$ vaut 30, car il devient $10\times3$.

📖 3. Simplification par factorisation

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le nombre sous le radical en facteurs contenant un carré parfait, puis on extrait la racine de ce carré.

• La décomposition $72=36\times2$ donne $\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

• La décomposition $150=25\times6$ donne $\sqrt{150}=\sqrt{25}\times\sqrt{6}=5\sqrt{6}$.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 450 est $450=2\times3\times3\times5\times5$, donc $\sqrt{450}=3\times5\times\sqrt{2}=15\sqrt{2}$.

• La décomposition en facteurs premiers de 72 est $72=2\times2\times2\times3\times3$, donc $\sqrt{72}=2\times3\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

💡 Astuce mémo

Factoriser, regrouper les carrés parfaits, puis sortir les facteurs.