Fiche de révision : Chapitre 1

📋 Plan du Cours

1. Rédiger et introduire les objets
2. Quantificateurs et ordre logique
3. Propositions et négation
4. Connecteurs ET et OU
5. Implication et équivalence
6. Erreurs de rédaction mathématique
7. Méthodes de démonstration

📖 1. Rédiger et introduire les objets

★ À maîtriser

• Une variable doit être introduite par une expression comme « soit x » avant d’être utilisée dans une formule ou une proposition.

• L’objet f est une fonction, tandis que f(x) est le nombre image de x par f et ne représente pas la fonction elle-même.

• Une expression mathématique doit respecter la nature des objets : on ne peut pas additionner un vecteur de R² avec 2, diviser 1 par un vecteur, comparer un complexe non réel à 0 ou appliquer ln à un complexe non réel.

Compléments

• Les objets mathématiques peuvent être des nombres, des ensembles, des fonctions, des suites ou des vecteurs, et leur nature détermine les opérations et propriétés qui ont un sens.

💡 Astuce mémo

La fonction f n’est pas son image f(x) : objet global contre valeur particulière

📖 2. Quantificateurs et ordre logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall$ signifie « pour tout » ou « quel que soit », comme dans $\forall x\in\mathbb{R}$.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists$ signifie « il existe », comme dans $\exists x\in\mathbb{N}$.

★ À maîtriser

📌 Dans une démonstration, on introduit un objet par « Soit x ∈ E », tandis que les quantificateurs servent à formuler des énoncés et non à introduire les objets avec lesquels on travaille.

📌 L’ordre des quantificateurs est essentiel : $\forall x\in\mathbb{R},\exists y\in\mathbb{N},y>x$ n’est pas équivalent à $\exists y\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R},y>x$.

Compléments

📌 Deux quantificateurs consécutifs du même type peuvent être échangés sans modifier l’énoncé, par exemple $\forall x\in\mathbb{R}_+,\forall y\in\mathbb{R}$ peut être inversé.

💡 Astuce mémo

Pour tout puis il existe : ∀x, ∃y

📖 3. Propositions et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Un énoncé dont on peut décider, au moment où il est formulé, s’il est vrai ou faux.
• Négation : Vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

★ À maîtriser

📌 Pour utiliser une proposition vraie P, on écrit « On a P », puis on peut en déduire une conséquence introduite par « donc ».

📌 Pour montrer qu’une proposition P est fausse, il suffit de montrer que sa négation non P est vraie.

Compléments

• La négation d’un énoncé quantifié vérifie $\neg(\forall x\in E,\exists y\in F,P(x,y))\Leftrightarrow\exists x\in E,\forall y\in F,\neg P(x,y)$.

💡 Astuce mémo

Une proposition est vraie ou fausse ; sa négation inverse sa valeur de vérité

📖 4. Connecteurs ET et OU

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : La proposition P ET Q est vraie si P et Q sont vraies, et fausse dans tous les autres cas.
• Disjonction : La proposition P OU Q est vraie si P ou Q est vraie, et fausse seulement si P et Q sont toutes deux fausses.

📝 Points essentiels

• Les lois de De Morgan donnent $\neg(P\,\mathrm{ET}\,Q)\Leftrightarrow(\neg P)\,\mathrm{OU}\,(\neg Q)$ et $\neg(P\,\mathrm{OU}\,Q)\Leftrightarrow(\neg P)\,\mathrm{ET}\,(\neg Q)$.

📖 5. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : La proposition (non P) OU Q et se lit « si P alors Q ».
• Contraposée : L’implication non Q ⇒ non P, qui lui est équivalente.
• Équivalence : L’équivalence P ⇔ Q est vraie si P et Q ont la même valeur de vérité et se démontre par P ⇒ Q et Q ⇒ P.

★ À maîtriser

📌 Une implication P ⇒ Q est vraie lorsque P est fausse, même si Q est fausse, et sa vérité ne prouve donc pas que P ou Q soit vraie.

• Pour montrer P ⇒ Q, on suppose P vraie puis on démontre Q.

Compléments

📌 Dans une équivalence, P ⇒ Q exprime que P est une condition suffisante de Q, tandis que Q ⇒ P exprime que P est une condition nécessaire de Q.

💡 Astuce mémo

Implication : une direction ; équivalence : deux directions

📖 6. Erreurs de rédaction mathématique

★ À maîtriser

• Les symboles ⇒ et ⇔ s’emploient entre propositions et ne doivent pas remplacer une phrase française complète.

• Pour conclure qu’une fonction est continue à partir de sa dérivabilité, il faut écrire que la fonction est dérivable, rappeler que dérivable implique continue, puis conclure qu’elle est continue.

• Lorsqu’une expression contient une division, il faut vérifier les conditions de définition avant de manipuler l’égalité ou de résoudre l’équation.

Compléments

📌 Pour montrer qu’une fonction est impaire, il faut établir l’égalité f(-x) = -f(x) pour tout x de son domaine, et non conclure par une équivalence isolée.

📖 7. Méthodes de démonstration

★ À maîtriser

• Un raisonnement par l’absurde pour montrer P suppose non P vraie, conduit à une proposition fausse ou contradictoire, puis conclut que P est vraie.

• Un raisonnement par contraposée pour démontrer P ⇒ Q consiste à démontrer non Q ⇒ non P.

• Un raisonnement par analyse-synthèse étudie d’abord une solution hypothétique pour obtenir des conditions nécessaires, puis vérifie les candidats restants pour établir lesquels sont réellement solutions.

Compléments

• Dans le cours, l’analyse-synthèse sert principalement à traiter l’existence et l’unicité d’une solution, l’analyse donnant souvent l’unicité et la synthèse justifiant l’existence.

• En 1900, David Hilbert propose à Paris une liste de 23 problèmes mathématiques non résolus parmi les plus importants de son époque.

• L’état des problèmes de Hilbert est le suivant:

  • 11 sont parfaitement résolus
  • 6 sont partiellement résolus
  • 6 restent non résolus

💡 Astuce mémo

Absurde, contraposée, puis analyse-synthèse

📊 Tableaux de synthèse

Relations logiques principales