QCM : Chapitre 1 — 24 questions

Explication

La variable $x$ doit être introduite, par exemple avec « soit $x\in\mathbb{R}$ », avant d’apparaître dans une formule. Écrire d’abord une expression contenant $x$ laisse sa nature mathématique indéterminée.

Explication

$f(x)$ désigne l’image de $x$ par $f$, donc un élément de l’ensemble d’arrivée, tandis que $f$ désigne la fonction elle-même. Confondre ces deux objets revient à prendre une valeur particulière pour la fonction complète.

Explication

Un nombre réel peut être comparé à $0$, car ils appartiennent à une structure où cette comparaison a un sens. Les autres opérations mélangent des objets incompatibles ou appliquent une opération réelle à un complexe non réel.

Explication

Le quantificateur universel $\forall$ signifie « pour tout » et impose que $P(x)$ soit vraie pour chaque élément de $\mathbb{R}$. L’existence d’un seul élément correspondrait au quantificateur $\exists$.

Explication

Le quantificateur existentiel $\exists$ affirme qu’au moins un élément de $\mathbb{N}$ satisfait $P(x)$. L’affirmation portant sur chaque naturel utiliserait $\forall$, et non $\exists$.

Explication

La formulation « Soit $x\in E$ » introduit l’objet sur lequel porte la démonstration. Les quantificateurs servent à formuler des énoncés généraux ou existentiels, et non à remplacer cette introduction pratique.

Explication

Dans le premier énoncé, le naturel $y$ peut être choisi après la connaissance de $x$, alors que le second exige un même $y$ valable pour tous les réels. L’ordre des quantificateurs modifie donc la dépendance entre les objets.

Explication

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse, dès sa formulation. Une expression avec une variable non fixée ne possède pas nécessairement encore une valeur de vérité déterminée.

Explication

La structure « On a $P$, donc $Q$ » affirme d’abord la proposition vraie puis présente $Q$ comme une conséquence. L’expression « donc $Q$ » n’affirme pas une proposition indépendante avant la justification qui la précède.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : elle est vraie si $P$ est fausse et fausse si $P$ est vraie. Elle ne coïncide donc pas avec $P$ lorsque cette dernière est vraie.

Explication

Si $\neg P$ est vraie, alors la définition de la négation implique que $P$ est fausse. Vérifier $P$ sur un seul exemple ne suffit pas à établir sa fausseté générale.

Explication

La conjonction exige que ses deux propositions soient vraies simultanément. À l’inverse, une disjonction peut être vraie dès qu’une des deux propositions est vraie.

Explication

La disjonction est fausse lorsque ses deux composantes sont fausses. Si l’une d’elles est vraie, la proposition « P OU Q » est vraie.

Explication

La première loi de De Morgan remplace la négation d’une conjonction par la disjonction des négations. La conjonction des deux négations correspondrait à la négation de « P OU Q ».

Explication

Une implication « si P alors Q » se traduit logiquement par « non P ou Q ». L’expression « P ou non Q » décrit plutôt la négation de l’implication.

Explication

Une implication est vraie lorsque son antécédent P est faux, quelle que soit la valeur de Q. En revanche, si P est vraie, alors Q doit être vraie pour que l’implication le soit.

Explication

La preuve directe d’une implication commence par l’hypothèse P, puis établit la conclusion Q. Supposer Q pour obtenir P correspond à l’implication inverse, qui n’est pas requise ici.

Explication

La contraposée inverse les propositions et nie chacune d’elles, donnant « non Q implique non P ». Elle est logiquement équivalente à l’implication initiale, contrairement à l’implication inverse Q implique P.

Explication

Ces symboles relient des propositions et expriment une implication ou une équivalence entre elles. Ils ne remplacent pas une phrase de rédaction, et « donc » reste approprié pour introduire une conclusion.

Explication

La conclusion doit expliciter l’hypothèse de dérivabilité et le théorème selon lequel une fonction dérivable est continue. La continuité n’est pas, en général, une justification suffisante de la dérivabilité.

Explication

Une division impose de vérifier que son dénominateur est défini et non nul avant toute transformation. Multiplier sans cette vérification peut introduire ou conserver des valeurs interdites.

Explication

Le raisonnement par l’absurde suppose $\neg P$, puis montre que cette hypothèse mène à une contradiction, ce qui permet de conclure que $P$ est vraie. Une démonstration directe part plutôt des hypothèses ou de $P$ selon la méthode employée, sans introduire cette contradiction.

Explication

La contraposée d’une implication $P \Rightarrow Q$ est l’implication $\neg Q \Rightarrow \neg P$, qui lui est logiquement équivalente. Établir $P \land \neg Q$ revient plutôt à exhiber un cas qui réfute l’implication.

Explication

L’analyse-synthèse commence par l’étude d’une solution supposée afin d’obtenir des conditions nécessaires, puis la synthèse vérifie les candidats restants pour identifier les véritables solutions. La déduction d’une contradiction relève plutôt du raisonnement par l’absurde.