Fiche de révision : Régime libre des oscillateurs

📋 Plan du Cours

1. Oscillateur harmonique masse-ressort
2. Circuit LC et pulsation propre
3. Résolution de l’oscillateur harmonique
4. Amplitude phase et énergie
5. Modèles d’oscillateurs amortis
6. Forme canonique et facteur de qualité
7. Régime apériodique sur-amorti
8. Régime pseudo-périodique
9. Régime apériodique critique
10. Résolution complète d’un circuit RLC
11. Applications expérimentales du RLC

📖 1. Oscillateur harmonique masse-ressort

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Oscillateur parfait dont les oscillations ne s’amortissent jamais et perdurent indéfiniment.
• Force de rappel élastique : La force de rappel exercée par un ressort idéal vaut $\vec F_r=-k(\ell-\ell_0)\vec u_{ext}$, où k est la raideur, ℓ la longueur instantanée et ℓ₀ la longueur à vide.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un système masse-ressort horizontal sans frottement, la pulsation propre vérifie $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Compléments

• La constante de raideur d’un ressort s’exprime en N·m⁻¹, unité équivalente à kg·s⁻².

💡 Astuce mémo

Force de rappel → oscillations périodiques

📖 2. Circuit LC et pulsation propre

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un circuit LC série, la tension du condensateur vérifie $\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}u_C=\frac{E}{LC}$.

📐 Formule — La pulsation propre d’un circuit LC série vaut $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

📐 Formule — La période et la fréquence propres d’un oscillateur harmonique vérifient $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$ et $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$.

📐 Formule — Dans un circuit LC isolé, l’énergie électromagnétique totale vérifie $E_L+E_C=\frac12Li^2+\frac12Cu_C^2=\text{constante}$.

💡 Astuce mémo

LC sans résistance : énergie conservée ; RLC : énergie dissipée

📖 3. Résolution de l’oscillateur harmonique

📝 Points essentiels

• La solution d’une équation différentielle linéaire est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène associée.

📐 Formule — Pour l’équation homogène $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x=0$, le polynôme caractéristique possède les racines $r_\pm=\pm i\omega_0$.

📐 Formule — Les solutions de l’équation homogène d’un oscillateur harmonique s’écrivent $x_H(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$.

💡 Astuce mémo

Équation → racines imaginaires → cosinus et sinus

📖 4. Amplitude phase et énergie

★ À maîtriser

📐 Formule — Les solutions harmoniques peuvent s’écrire $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)+\text{constante}$, où Xₘ est l’amplitude et φ la phase initiale.

Compléments

📐 Formule — L’amplitude d’une oscillation harmonique vaut $X_m=\frac{x_{max}-x_{min}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Amplitude = écart extrême ; phase = instant du maximum

📖 5. Modèles d’oscillateurs amortis

★ À maîtriser

• Dans un circuit RLC soumis à un échelon, une faible résistance produit un régime pseudo-périodique et une forte résistance produit un régime apériodique ou sur-amorti.

Compléments

• La durée du régime transitoire est minimale pour la valeur limite de résistance séparant les régimes pseudo-périodique et apériodique.

• Lorsque plusieurs paramètres caractéristiques de même dimension interviennent, l’analyse dimensionnelle ne fournit pas nécessairement une solution unique.

💡 Astuce mémo

Faible résistance → pseudo-périodique ; forte résistance → apériodique

📖 6. Forme canonique et facteur de qualité

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique d’un oscillateur amorti est $\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{ds}{dt}+\omega_0^2s=\text{forçage}$.

📐 Formule — Pour un circuit RLC série, $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

• Un facteur de qualité élevé signifie peu de dissipation et plusieurs oscillations avant la dissipation de l’énergie initiale.

Compléments

• Le facteur de qualité Q est sans dimension et le taux d’amortissement σ vaut $\sigma=\frac{1}{2Q}$.

💡 Astuce mémo

Dissipation accrue → facteur de qualité diminué

📖 7. Régime apériodique sur-amorti

★ À maîtriser

📌 Le régime apériodique ou sur-amorti correspond à un facteur de qualité $Q<\frac12$ et à un discriminant positif.

📐 Formule — La solution homogène apériodique s’écrit $u_H(t)=Ae^{r_+t}+Be^{r_-t}$, avec deux constantes déterminées par les conditions initiales.

Compléments

📐 Formule — En régime apériodique, les racines sont $r_\pm=-\frac{\omega_0}{2Q}\pm\frac{\omega_0}{2Q}\sqrt{1-4Q^2}$.

💡 Astuce mémo

Deux racines réelles → deux exponentielles décroissantes

📖 8. Régime pseudo-périodique

★ À maîtriser

📌 Le régime pseudo-périodique correspond à un facteur de qualité $Q>\frac12$ et à un discriminant négatif.

📐 Formule — En régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation vaut $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ et le temps caractéristique d’amortissement vaut $\tau=\frac{2Q}{\omega_0}$.

📐 Formule — La solution homogène pseudo-périodique s’écrit $u_H(t)=\left[A\cos(\omega_pt)+B\sin(\omega_pt)\right]e^{-t/\tau}$.

Compléments

• Le temps de réponse à 95 % vaut 3τ et celui à 99 % vaut 5τ.

• Pour un facteur de qualité raisonnablement élevé, le nombre d’oscillations pendant le transitoire est approximativement égal à Q.

💡 Astuce mémo

Une sinusoïde enfermée dans une enveloppe exponentielle

📖 9. Régime apériodique critique

★ À maîtriser

📌 Le régime apériodique critique correspond à un discriminant nul et à un facteur de qualité $Q=\frac12$.

📐 Formule — La solution homogène critique s’écrit $u_H(t)=(At+B)e^{-\omega_0t}$.

• À pulsation propre fixée, la durée du régime transitoire est minimale en régime apériodique critique et est de l’ordre de $1/\omega_0$.

Compléments

📐 Formule — En régime apériodique critique, le polynôme caractéristique possède une racine double $r=-\omega_0$.

💡 Astuce mémo

Q = 1/2 sépare les racines réelles des racines complexes

📖 10. Résolution complète d’un circuit RLC

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution complète suit l’ordre:
  1. établir l’équation canonique
  2. identifier le régime avec Q
  3. écrire la solution homogène
  4. appliquer les deux conditions initiales
  5. obtenir la solution complète

Compléments

• Pour le circuit RLC étudié, R = 100 Ω, C = 1 μF et L = 10 mH, ce qui donne Q = 1 et un régime pseudo-périodique.

📐 Formule — Pour ce circuit RLC initialement déchargé, la tension évolue selon $u(t)=E\left[1-\cos\left(\frac{\sqrt3}{2}\omega_0t\right)-\frac{1}{\sqrt3}\sin\left(\frac{\sqrt3}{2}\omega_0t\right)\right]e^{-\omega_0t/2}+E$.

💡 Astuce mémo

Équation → régime → conditions initiales → solution

📖 11. Applications expérimentales du RLC

📝 Points essentiels

• Le régime critique est obtenu pour une résistance totale Rtot = 400 Ω, soit environ R = 340 Ω en tenant compte des résistances internes du GBF et de la bobine.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes d’un oscillateur amorti