Fiche de révision : Lois de Newton et chutes

📋 Plan du Cours

1. Modélisation du point matériel
2. Référentiel et relativité du mouvement
3. Référentiels galiléens usuels
4. Repère cartésien et vecteurs
5. Position vitesse accélération
6. Forces et actions réciproques
7. Interactions et classification des forces
8. Principe fondamental de la dynamique
9. Chute libre et trajectoire
10. Chute dans un fluide
11. Adimensionnalisation et Euler

📖 1. Modélisation du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Système matériel dont les points restent à distance constante les uns des autres au cours du temps.
• Point matériel : Point géométrique auquel est affectée une masse m.

📝 Points essentiels

📌 Modéliser un solide par un point matériel revient à négliger son extension et son orientation.

💡 Astuce mémo

Solide étendu et orienté ≠ point matériel réduit à sa masse

📖 2. Référentiel et relativité du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement : Évolution de la position relative de deux objets l’un par rapport à l’autre au cours du temps.
• Référentiel : Système physique de référence, considéré fixe, par rapport auquel les mouvements sont étudiés.

📝 Points essentiels

• Il n’existe pas de mouvement absolu, car tout mouvement est défini par rapport à une référence de position et de temps.

💡 Astuce mémo

Référentiel = système physique ; repère = outil géométrique

📖 3. Référentiels galiléens usuels

★ À maîtriser

📌 Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

Compléments

• Le référentiel terrestre est adapté aux mouvements sur Terre durant quelques heures au maximum, en négligeant la rotation terrestre de période 24 heures.

• Le référentiel géocentrique est adapté aux mouvements autour de la Terre durant quelques semaines au maximum, en négligeant la rotation de la Terre autour du Soleil de période un an.

• Le référentiel héliocentrique est adapté aux mouvements autour du Soleil durant quelques milliers d’années au maximum, en négligeant le mouvement du système solaire dans la galaxie, de durée caractéristique d’environ 230 millions d’années.

💡 Astuce mémo

Terrestre → géocentrique → héliocentrique : échelles de temps croissantes

📖 4. Repère cartésien et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Composé d’une origine O et d’une base orthonormée directe de vecteurs unitaires.
• Vecteur unitaire : Vecteur sans dimension dont la norme vaut 1 et qui sert à indiquer une direction.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un repère cartésien, un vecteur s’écrit $\vec V=V_x\vec e_x+V_y\vec e_y+V_z\vec e_z$ et sa norme vaut $V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}$.

💡 Astuce mémo

Main droite tenant les trois vecteurs unitaires dans l’ordre direct

📖 5. Position vitesse accélération

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur position d’un point M est $\overrightarrow{OM}=x(t)\vec e_x+y(t)\vec e_y+z(t)\vec e_z$.

📐 Formule — Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée temporelle du vecteur position, $\vec v_{M/R}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\bigg|_R$, et s’exprime en m·s⁻¹.

📐 Formule — Le vecteur accélération instantanée est $\vec a_{M/R}=\frac{d\vec v_{M/R}}{dt}\bigg|_R=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}\bigg|_R$ et s’exprime en m·s⁻².

Compléments

📐 Formule — Dans un repère cartésien fixe, $\vec v_{M/R}=\frac{dx}{dt}\vec e_x+\frac{dy}{dt}\vec e_y+\frac{dz}{dt}\vec e_z$.

💡 Astuce mémo

Position → dérivée : vitesse → dérivée : accélération

📖 6. Forces et actions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Vecteur caractérisé par une direction, un sens, une norme exprimée en newtons et, pour un solide, un point d’application.

★ À maîtriser

📌 Si un système S1 exerce une force $\vec F_{1\to2}$ sur S2, alors S2 exerce sur S1 une force $\vec F_{2\to1}=-\vec F_{1\to2}$.

Compléments

📌 Si les points d’application des actions réciproques sont différents, les deux forces sont dirigées par la droite qui relie ces points.

💡 Astuce mémo

Action 1→2 et réaction 2→1 : même direction et norme, sens opposés

📖 7. Interactions et classification des forces

★ À maîtriser

📐 Formule — La force de Coulomb entre deux charges vaut $\vec F_{\mathrm{Coulomb},1\to2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec u_{1\to2}$, avec $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}$.

📐 Formule — La force gravitationnelle entre deux masses vaut $\vec F_{\mathrm{grav},1\to2}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\vec u_{1\to2}$, avec $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$.

📌 Les actions mécaniques de contact ou de liaison sont inconnues a priori et se déduisent du mouvement ; le contact disparaît lorsque la force de contact s’annule.

Compléments

• Les quatre interactions fondamentales sont:
  • l’interaction faible
  • l’interaction forte
  • l’interaction électromagnétique
  • l’interaction gravitationnelle

💡 Astuce mémo

Force connue par une loi ≠ force de contact déduite du mouvement

📖 8. Principe fondamental de la dynamique

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $m\frac{d\vec v_{M/R}}{dt}\bigg|_R=\sum_{n=1}^{N}\vec F_{n\to M}$.

Compléments

📌 Le principe d’inertie affirme qu’un point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen.

💡 Astuce mémo

Forces résultantes → accélération du point matériel

📖 9. Chute libre et trajectoire

★ À maîtriser

📐 Formule — Le poids à la surface de la Terre vaut $\vec P=m\vec g=-G\frac{M_Tm}{R_T^2}\vec e_z$.

• 🔄 L’étude suit les étapes suivantes:
  1. définir le système
  2. identifier un référentiel galiléen
  3. réaliser un schéma
  4. choisir un repère adapté
  5. effectuer le bilan des forces
  6. appliquer le PFD

📐 Formule — Pour un projectile lancé avec une vitesse initiale v₀ sous l’angle α, les lois horaires sont $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$, $y(t)=0$ et $z(t)=-\frac12gt^2+v_0\sin\alpha\,t$.

📐 Formule — La trajectoire du projectile vérifie $z(x)=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+(\tan\alpha)x$, donc elle est parabolique.

Compléments

• En France métropolitaine, l’intensité du champ de pesanteur vaut $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

Forces → équation du mouvement → lois horaires → trajectoire

📖 10. Chute dans un fluide

📝 Points essentiels

📐 Formule — La poussée d’Archimède est la résultante des forces de pression exercées par un fluide sur un solide immergé et vaut $\vec\Pi_A=-\rho_{fl}V_{imm}\vec g$.

📐 Formule — La force de traînée s’écrit généralement $\vec f=-\frac12\rho_{fl}SC_xv^2\vec u_T$.

📐 Formule — À faible vitesse, la traînée est linéaire $\vec f=-\lambda\vec v$, tandis qu’à grande vitesse elle est quadratique $\vec f=-\mu v\vec v$.

📐 Formule — Pour un parachutiste soumis à un frottement quadratique, l’équation du mouvement est $\frac{dv}{dt}+\frac{\mu}{m}v^2=g$.

📐 Formule — La vitesse limite du parachutiste vaut $v_\infty=\sqrt{\frac{mg}{\mu}}$, obtenue lorsque le poids et la traînée se compensent.

💡 Astuce mémo

Traînée croissante → compensation du poids → vitesse limite

📖 11. Adimensionnalisation et Euler

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le parachutiste à traînée quadratique, le temps caractéristique vaut $\tau=\sqrt{\frac{m}{\mu g}}=\frac{v_\infty}{g}$.

• L’adimensionnalisation consiste à introduire $v^*=v/v_\infty$ et $t^*=t/\tau$, remplacer ces variables dans l’équation, puis identifier les grandeurs caractéristiques pour obtenir une équation sans paramètre physique.

📐 Formule — L’équation adimensionnée de la chute avec traînée quadratique est $\frac{dv^*}{dt^*}+(v^*)^2=1$.

📐 Formule — La méthode d’Euler explicite donne la récurrence $v_{n+1}=v_n+(1-v_n^2)\Delta t$.

Compléments

📌 Pour obtenir un résultat précis avec la méthode d’Euler, le pas de temps doit être très petit devant tous les temps caractéristiques, ce qui devient $\Delta t^*\ll1$ pour l’équation adimensionnée.

💡 Astuce mémo

Grandeurs caractéristiques → équation réduite → discrétisation d’Euler

📊 Tableaux de synthèse

Référentiels usuels

Régimes de traînée