Fiche de révision : Nombres réels et équations

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et divisibilité
3. Nombres réels et rationnels
4. Fractions et irrationalité
5. Intervalles réels
6. Valeur absolue et distances
7. Réunions et intersections
8. Inéquations du premier degré
9. Équations produit et carré
10. Équations quotient

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : nombre positif ou nul, sans partie décimale, et l’ensemble des entiers naturels est noté N
• Entier relatif : nombre positif, négatif ou nul, sans partie décimale, et l’ensemble des entiers relatifs est noté Z
• Opposé : Dans Z, l’opposé d’un nombre x est −x et cette notion ne doit pas être confondue avec l’inverse.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N contient les positifs ou nuls, Z ajoute les négatifs

📖 2. Multiples diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Si a et b sont des entiers relatifs avec b non nul et s’il existe un entier relatif q tel que a = bq, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a
• Nombre pair : Un entier relatif est pair si 2 est un diviseur de cet entier, c’est-à-dire s’il existe un entier relatif q tel que a = 2q.
• Nombre premier : Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même, et 1 n’est pas un nombre premier.

📝 Points essentiels

• Les principaux critères de divisibilité sont:
  • unités paires pour 2
  • somme des chiffres pour 3 et 9
  • deux derniers chiffres pour 4
  • unités 0 ou 5 pour 5
  • divisibilité simultanée par 2 et 3 pour 6
  • trois derniers chiffres pour 8
  • unité 0 pour 10

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-6-7-8-9-10 : les critères de divisibilité

📖 3. Nombres réels et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : l’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère, appelée droite numérique, et il est noté R

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

• π et √2 sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Fractions et irrationalité

★ À maîtriser

• Pour réduire une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie les facteurs communs.

Compléments

• Les réductions données sont $\frac{500}{75}=\frac{20}{3}$, $\frac{126}{24}=\frac{21}{4}$ et $\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.

• Le développement décimal de π est infini et ses chiffres ne sont pas tous connus.

• En posant x = 0,999999… et en soustrayant x de 10x, on obtient 9x = 9, donc 0,999999… = 1.

📖 5. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes, comme [2 ; 4] pour 2 ≤ x ≤ 4

★ À maîtriser

📌 Un intervalle fermé contient ses extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert ne les contient pas.

Compléments

• Les inégalités 2 ≤ x ≤ 4, −1 < x ≤ 3 et x ≥ 2 se notent respectivement [2 ; 4], ]−1 ; 3] et [2 ; +∞[.

• L’ensemble des nombres réels R est l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 6. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : ce nombre sans son signe
• Distance : La distance entre deux points d’abscisses a et b sur une droite graduée est |a − b|.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre |x − 5| = 2, on interprète l’expression comme la distance entre x et 5, puis on obtient x = 3 ou x = 7.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro

📖 7. Réunions et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : l’ensemble des éléments appartenant à A et à B, et se note A ∩ B
• Réunion : l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B, et se note A ∪ B

📝 Points essentiels

• L’intersection de ]−∞ ; −1] et [1 ; 4] est l’ensemble vide ∅, tandis que leur réunion est ]−∞ ; −1] ∪ [1 ; 4].

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins l’un des deux

📖 8. Inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : une inégalité qui contient une inconnue x

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole x en effectuant les mêmes opérations que pour une équation, en inversant le sens de l’inégalité lors d’une multiplication ou division par un nombre négatif.

Compléments

• La solution de 2x − 3 < 4 est x < 7/2, soit l’intervalle ]−∞ ; 7/2[.

📖 9. Équations produit et carré

★ À maîtriser

📌 Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.

📌 Pour l’équation x² = a dans R, si a < 0 il n’y a aucune solution, si a = 0 il y a une solution x = 0, et si a > 0 il y a deux solutions x = −√a et x = √a.

Compléments

• L’équation (4x + 6)(3 − 7x) = 0 a pour solutions x = −3/2 et x = 3/7.

💡 Astuce mémo

Produit nul : chaque facteur donne une solution

📖 10. Équations quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation quotient : Une équation quotient est une équation de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ avec Q(x) ≠ 0.

★ À maîtriser

📌 Si $\frac{A}{B}=0$, alors A = 0 et B ≠ 0.

• Pour résoudre une équation quotient, on impose d’abord que le dénominateur soit non nul, puis on annule le numérateur et on vérifie les valeurs obtenues.

Compléments

• L’équation $\frac{x+2}{x+3}=0$ a pour solution x = −2, car le numérateur s’annule et le dénominateur reste non nul.

💡 Astuce mémo

Numérateur nul, dénominateur non nul

📊 Tableaux de synthèse

Emboîtement des ensembles de nombres