QCM : Nombres réels et équations — 25 questions

Explication

Un entier naturel est un nombre positif ou nul, sans partie décimale ; $0$ appartient donc à $\mathbb{N}$. $-3$ est un entier relatif négatif, tandis que les deux autres nombres comportent une partie décimale ou sont fractionnaires.

Explication

Un entier relatif peut être positif, négatif ou nul, tout en restant dépourvu de partie décimale, et l’ensemble correspondant est $\mathbb{Z}$. L’ensemble $\mathbb{N}$, lui, ne contient pas les entiers négatifs.

Explication

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, ce qui se note $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. En revanche, les entiers relatifs négatifs appartiennent à $\mathbb{Z}$ sans appartenir à $\mathbb{N}$.

Explication

L’égalité $a=bq$ signifie que $a$ est obtenu en multipliant $b$ par un entier, donc $a$ est un multiple de $b$ et $b$ est un diviseur de $a$. Le quotient $q$ sert à exprimer cette relation, mais il n’est pas nécessairement un diviseur de $a$.

Explication

Un entier est pair lorsqu’il est divisible par $2$, c’est-à-dire lorsqu’il peut s’écrire sous la forme $2q$ avec $q$ entier relatif ; $42=2\times21$. Les autres nombres ne sont pas divisibles par $2$.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même ; $2$ satisfait cette définition. Le nombre $1$ n’est pas premier, car il ne possède qu’un seul diviseur positif.

Explication

Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite munie d’un repère, appelée droite numérique. Les fractions décrivent les nombres rationnels, qui forment une partie des réels mais pas leur totalité.

Explication

Les ensembles sont emboîtés selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Ainsi, tout rationnel est réel, mais certains réels ne sont pas rationnels.

Explication

$\pi$ et $\sqrt{2}$ sont des nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire comme le quotient de deux entiers, donc ils ne sont pas rationnels. Les autres couples contiennent des nombres rationnels, y compris les entiers et les décimaux finis.

Explication

La réduction consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur, puis à éliminer les facteurs premiers communs. Additionner ou soustraire les termes ne préserve pas la méthode de simplification d’une fraction.

Explication

En divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun maximal, on obtient $\frac{126}{24}=\frac{21}{4}$. Les autres écritures peuvent représenter des étapes intermédiaires ou des fractions non réduites, mais elles ne donnent pas la réduction attendue.

Explication

Les signes $\leq$ indiquent que les deux bornes appartiennent à l’ensemble, ce qui donne l’intervalle fermé $[2\ ;\ 4]$. L’écriture $]2\ ;\ 4[$ exclut les deux extrémités.

Explication

La différence porte sur l’appartenance des extrémités : elles sont incluses dans un intervalle fermé et exclues d’un intervalle ouvert. La nature bornée, le signe des nombres ou leur caractère entier ne définit pas cette distinction.

Explication

La valeur absolue conserve la grandeur du nombre en retirant son signe, donc $|-5|=5$. Le nombre $-5$ lui-même reste négatif, ce qui le distingue de sa valeur absolue.

Explication

La distance est la valeur absolue de la différence des abscisses, soit $|a-b|$, afin d’obtenir une grandeur positive. L’expression $a-b$ peut être négative selon l’ordre des points.

Explication

L’équation signifie que la distance entre $x$ et $5$ vaut $2$, donc $x$ se trouve à deux unités de part et d’autre de $5$ : $3$ ou $7$. Les valeurs proposées dans d’autres couples ne sont pas toutes situées à cette distance de $5$.

Explication

L’intersection conserve les éléments communs aux deux ensembles, ceux qui appartiennent à $A$ et à $B$. La condition « appartenir à $A$ ou à $B$ » décrit la réunion, et non l’intersection.

Explication

La réunion rassemble tous les éléments appartenant à $A$ ou à $B$, ce qui donne ici l’intervalle $[1;6]$. L’intervalle $[3;4]$ correspond à leur intersection.

Explication

Une inéquation du premier degré contient une inconnue et une relation d’inégalité, avec $x$ à la puissance un. L’égalité n’est pas une inéquation, tandis que les deux autres expressions ne sont pas du premier degré en $x$.

Explication

Une division par un nombre négatif inverse l’ordre des nombres, donc le sens de l’inégalité doit être inversé. Une division par un nombre positif conserve, elle, le sens de l’inégalité.

Explication

Un produit nul implique qu’au moins l’un de ses facteurs est nul, ce qui permet de résoudre séparément les équations correspondantes. Exiger que les deux facteurs soient nuls serait une condition plus forte que nécessaire.

Explication

Pour un nombre réel strictement positif, deux nombres opposés ont pour carré $a$ : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$. Une seule racine ne fournit donc pas l’ensemble des solutions réelles.

Explication

Une équation quotient est définie sous la condition $Q(x)\neq 0$, tandis que le numérateur doit pouvoir s’annuler. Confondre ces rôles conduirait à retenir une valeur pour laquelle l’expression n’est pas définie.

Explication

Une fraction vaut zéro lorsque son numérateur est nul et que son dénominateur reste non nul. Un dénominateur nul rend la fraction indéfinie, même si le numérateur vaut aussi zéro.

Explication

La résolution commence par la détermination des valeurs qui rendent le dénominateur non nul, puis consiste à annuler le numérateur et à vérifier les résultats. Les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites, et non des solutions.