Fiche de révision : Régime sinusoïdal forcé

📋 Plan du Cours

1. Charge électrique, tension et puissance
2. Régimes quasi-stationnaires, lois de Kirchhoff et courant microscopique
3. Mesures électriques et applications des lois
4. Dipôles passifs linéaires
5. Sources, diviseurs et équivalents de Thévenin et Norton
6. Résistances d’entrée et sortie, superposition et adaptation
7. Diodes et transformations triangle-étoile
8. Caractéristiques des dipôles et puissance maximale
9. Réseaux résistifs et diode non linéaire
10. Fonctionnement d’un électrolyseur
11. Transfert de charge entre condensateurs
12. Identification expérimentale d’un circuit RLC
13. Charge et décharge du flash électronique
14. Décharge de condensateur et courants constants en branches
15. Antiparasitage, identification temporelle et énergie RLC
16. Régime sinusoïdal, impédances et diagrammes de Fresnel
17. Résonance RLC et puissance en régime sinusoïdal
18. Mesure du déphasage et réponse fréquentielle des circuits
19. Filtres du premier ordre et fonctions de transfert
20. Traitement des signaux, cascade et compléments sur les filtres
21. Filtre de Wien et comportements des filtres
22. Modèle de l’ALI et montages linéaires
23. Comparateurs, hystérésis et multivibrateur astable
24. ALI réel, conversion courant-tension et oscillateurs
25. Chaîne de traitement du signal

📖 1. Charge électrique, tension et puissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge électrique : Grandeur scalaire algébrique caractérisant la sensibilité d’une particule à l’interaction électromagnétique, exprimée en coulombs.
• Intensité du courant : L’intensité i dans une branche orientée est le débit algébrique de charges à travers une section du conducteur, soit $i(t)=\frac{\delta q}{dt}$, en ampères.
• Tension électrique : Différence de potentiel entre A et B, égale à $V_A-V_B$ et représentée par une flèche de B vers A.
• Potentiel électrique : Défini à une constante près et exprimé en volts.

★ À maîtriser

• Toute charge est quantifiée selon $q=\pm ne$, avec $n\in\mathbb{N}$ et $e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}$, et la charge d’un système isolé se conserve.

• En convention récepteur, les flèches de tension et d’intensité sont opposées et $ui$ est la puissance reçue ; en convention générateur, elles sont de même sens et $ui$ est la puissance fournie au reste du circuit.

• En convention récepteur, un dipôle se comporte en récepteur si $ui>0$ et en générateur si $ui<0$ ; l’énergie reçue entre $t_1$ et $t_2$ est $W=\int_{t_1}^{t_2}ui\,dt$.

Compléments

• Les porteurs de charge mobiles sont : les électrons libres dans les conducteurs métalliques, les ions dans les solutions électrolytiques, les électrons et les trous dans les semi-conducteurs

• Les intensités typiques vont de μA à mA en électronique de signal, de 0,1 A à 10 A dans les appareils domestiques, de 100 A à 1 kA pour un démarreur de voiture ou un TGV, et de 10 kA à 100 kA pour la foudre.

• La masse du circuit est la référence de potentiel choisie conventionnellement à zéro, et seules les différences de potentiel sont directement mesurables.

📌 Les tensions vérifient les relations d’additivité $u_{AC}=u_{AB}+u_{BC}$ et d’inversion $u_{BA}=-u_{AB}$.

• Le kilowattheure, unité d’énergie utilisée pour les factures, vaut $1\ \mathrm{kW\cdot h}=3{,}6\cdot10^6\ \mathrm{J}$.

• Pour un courant de 3 A maintenu pendant 1 s, la charge transportée est de 3 C, ce qui correspond à environ $1{,}9\cdot10^{19}$ électrons.

💡 Astuce mémo

Récepteur : flèches opposées ; générateur : flèches dans le même sens.

📖 2. Régimes quasi-stationnaires, lois de Kirchhoff et courant microscopique

🔑 Notions clés & Définitions

• ARQS : L’approximation des régimes quasi-stationnaires s’applique lorsque la durée de propagation $\tau=L/c$ est très inférieure au temps caractéristique T des variations, soit $L\ll cT=c/f=\lambda$ ; le courant peut alors être considéré identique en tout point d’une branche à chaque instant.
• Densité volumique de courant : Pour une densité n de porteurs de charge q animés d’une vitesse de dérive $\vec v$, la densité volumique de courant est $\vec j=nq\vec v$, en A·m⁻².
• Nœud : Point de connexion d’au moins trois fils.
• Branche : Portion de circuit entre deux nœuds consécutifs, parcourue par un même courant.
• Maille : Succession de branches formant un contour fermé.

★ À maîtriser

• La loi des nœuds impose en un nœud $\sum_k\varepsilon_k i_k=0$, avec $\varepsilon_k=+1$ pour un courant entrant et $-1$ pour un courant sortant ; ainsi, la somme des courants entrants égale celle des courants sortants.

• La loi des mailles impose, le long d’une maille orientée, $\sum_k\varepsilon_k u_k=0$, avec $\varepsilon_k=+1$ si la tension est orientée dans le sens de parcours et $-1$ sinon.

• Dans un conducteur ohmique, la loi d’Ohm locale est $\vec j=\gamma\vec E$, où γ est la conductivité et la résistivité vaut $\rho=1/\gamma$.

📐 Formule - Pour un fil homogène de longueur ℓ et de section S, $R=\rho\frac{\ell}{S}=\frac{\ell}{\gamma S}$.

Compléments

• La propagation de l’information électrique le long des conducteurs se fait à une vitesse de l’ordre de $c=3\cdot10^8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

• À 50 Hz, la longueur d’onde vaut 6000 km et l’ARQS est valable pour tout circuit de laboratoire ; à 1 MHz, elle vaut 300 m et l’ARQS est valable sur une paillasse ; à 1 GHz, elle vaut 30 cm et l’ARQS ne convient plus à un circuit de quelques centimètres.

• Pour un réseau de n nœuds et b branches, il existe n−1 lois des nœuds indépendantes et b−n+1 lois des mailles indépendantes, soit b équations indépendantes au total.

📌 L’intensité traversant une surface orientée S est le flux de la densité de courant, $I=\iint_S\vec j\cdot d\vec S$ ; dans un conducteur filiforme de section S, $I=jS=nqvS$.

• Les résistivités sont de $1{,}6\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$ pour l’argent, $1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$ pour le cuivre, $2{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm m$ pour l’aluminium, $1{,}1\cdot10^{-6}\ \Omega\cdot\mathrm m$ pour le nichrome et $0{,}2\ \Omega\cdot\mathrm m$ pour l’eau de mer.

💡 Astuce mémo

Propagation négligeable devant les variations → circuit traité comme quasi-stationnaire.

📖 3. Mesures électriques et applications des lois

★ À maîtriser

• La lampe s’allume presque immédiatement parce que le champ électrique s’établit dans le circuit à une vitesse voisine de celle de la lumière et met presque simultanément en mouvement tous les électrons du circuit.

📐 Formule - Lors de la recharge de deux batteries reliées par des câbles, le courant vaut $I=\frac{E_1-E_2}{r_1+r_2+R_c}$ ; avec les valeurs de l’exercice, il vaut 2,0 A.

📌 Dans l’exemple de recharge, la batterie 1 fournit une puissance E₁I de 25,2 W et fonctionne comme générateur, tandis que la batterie 2 reçoit E₂I de 23,6 W et fonctionne comme récepteur.

Compléments

• Pour mesurer un circuit, on branche le voltmètre en dérivation aux bornes du dipôle, l’ampèremètre en série dans la branche, et on relie au même point du circuit les masses des appareils reliés à la terre afin d’éviter de court-circuiter un composant.

• Dans un fil de cuivre parcouru par un courant de 10 A, une section est traversée par 6,25 · 10¹⁹ électrons en une seconde.

• Dans le cuivre, la densité d’électrons libres vaut 8,5 · 10²⁸ m⁻³ et leur vitesse de dérive dans le fil de l’exercice est de 2,9 · 10⁻⁴ m · s⁻¹.

• Dans le collisionneur LEP du CERN, la circonférence est de 27 km et 2 · 10¹² électrons et positons circulent à une vitesse proche de celle de la lumière.

• Les faisceaux opposés d’électrons et de positons contribuent dans le même sens au courant, qui vaut 3,6 mA dans l’exercice du LEP.

• Dans un cube formé de douze résistors identiques de résistance R, alimenté entre deux sommets opposés A et H, les trois arêtes issues de A portent chacune I/3, les six arêtes intermédiaires I/6 et les trois arêtes aboutissant en H I/3.

📐 Formule - La résistance équivalente entre deux sommets opposés d’un cube dont chaque arête porte une résistance R vaut $R_{AH}=\frac{5}{6}R$.

• Dans l’exemple de recharge, les pertes par effet Joule dans les résistances internes et les câbles valent 1,6 W et le rendement de la recharge est de 94 %.

📌 Pour limiter à 5 mΩ la résistance totale de deux mètres de câbles en cuivre dans l’exercice de recharge, leur section doit être au moins 6,8 mm².

• Un démarreur appelle un courant de 100 à 250 A ; avec une résistance de câble de 5 mΩ, la chute de tension atteint déjà 0,5 à 1,25 V.

• À la vitesse de dérive calculée dans l’exercice, un électron met environ 3,4 · 10³ s, soit près d’une heure, à parcourir un mètre de fil.

📖 4. Dipôles passifs linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle linéaire : Dipôle dont la tension et le courant sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
• Caractéristique statique : Courbe courant-tension i = f(u), ou tension-courant u = g(i), obtenue en régime continu.
• Point de fonctionnement : Intersection des caractéristiques de deux dipôles branchés l’un sur l’autre et tracées avec la même convention.
• Condensateur : Constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant et portant des charges opposées q et −q.
• Bobine : Enroulement de fil conducteur, avec ou sans noyau, modélisé par une inductance L en série avec une résistance interne r.

★ À maîtriser

📌 Un dipôle est passif si sa caractéristique passe par l’origine, tandis qu’il est actif si elle ne passe pas par l’origine.

📐 Formule - Pour un résistor en convention récepteur, la loi d’Ohm s’écrit $u=Ri$ ou $i=Gu$, avec $G=\frac{1}{R}$.

📐 Formule - Pour un condensateur en convention récepteur, la charge de l’armature où entre le courant vérifie $q=Cu$ et le courant vérifie $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du}{dt}$, où C est la capacité en farads.

📐 Formule - La tension d’une bobine réelle vérifie $u=ri+L\frac{di}{dt}$ ; pour une bobine idéale, r = 0 et $u=L\frac{di}{dt}$.

📌 En régime continu permanent, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, tandis qu’une bobine idéale se comporte comme un interrupteur fermé.

Compléments

• Un résistor reçoit une puissance $P=Ri^2=\frac{u^2}{R}$, toujours positive, qui est intégralement dissipée sous forme de chaleur par effet Joule.

📐 Formule - L’énergie stockée dans un condensateur vaut $E_C=\frac{1}{2}Cu^2=\frac{q^2}{2C}$ et celle stockée dans une bobine idéale vaut $E_L=\frac{1}{2}Li^2$.

📌 La tension et la charge d’un condensateur ainsi que le courant dans une bobine sont continus, tandis que le courant du condensateur et la tension de la bobine peuvent être discontinus.

• En série, les résistances et les inductances idéales s’additionnent, tandis que les inverses des capacités s’additionnent.

• En parallèle, les capacités s’additionnent, tandis que les inverses des résistances et des inductances idéales s’additionnent.

📌 Pour deux résistors en parallèle, la résistance équivalente vaut $R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, mais la formule produit-sur-somme ne se généralise pas à trois résistors.

💡 Astuce mémo

Condensateur ouvert et bobine idéale fermée en régime continu

📖 5. Sources, diviseurs et équivalents de Thévenin et Norton

🔑 Notions clés & Définitions

• Source idéale de tension : Impose une tension u = e quelle que soit l’intensité débitée, e étant sa force électromotrice.
• Source idéale de courant : Impose un courant i = η quelle que soit la tension à ses bornes, η étant son courant électromoteur.
• Générateur de Thévenin : Source de tension E_{Th} en série avec une résistance R_{Th}, où E_{Th} est la tension à vide entre A et B.
• Générateur de Norton : Source de courant η_N en parallèle avec la résistance R_{Th}, où η_N est le courant de court-circuit entre A et B.

★ À maîtriser

📌 Le modèle de Thévenin représente une source réelle par une source idéale de tension e en série avec une résistance interne r, tandis que le modèle de Norton la représente par une source idéale de courant η en parallèle avec la même résistance r.

📐 Formule - Dans les modèles équivalents de Thévenin et de Norton, la relation entre les sources est $\eta = \frac{e}{r}$.

📐 Formule - Dans un diviseur de tension constitué de résistances en série et à sortie à vide, la tension aux bornes de R_k est $u_k = \frac{R_k}{\sum_j R_j}u$.

📐 Formule - Dans un diviseur de courant constitué de résistances en parallèle, le courant dans R_k est $i_k = \frac{G_k}{\sum_j G_j}i$.

• Pour appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels, on choisit une masse, exprime chaque courant de branche en fonction des potentiels, puis écrit que la somme algébrique des courants au nœud est nulle.

Compléments

📌 Une source est indépendante si sa force électromotrice ou son courant électromoteur ne dépend d’aucune grandeur du circuit, et elle est commandée si cette grandeur dépend d’une tension ou d’un courant du circuit.

• Pour associer des sources de tension en série, on additionne algébriquement leurs f.é.m. et leurs résistances internes ; pour associer des sources de courant en parallèle, on additionne algébriquement leurs courants et leurs conductances.

📌 Une association mixte de sources se traite en convertissant les modèles de Thévenin en Norton ou inversement afin de ramener le circuit à une association en série de sources de tension ou en parallèle de sources de courant.

📌 Le diviseur de tension suppose que le même courant traverse les résistances ; si une charge est branchée aux bornes de R_2, il faut remplacer R_2 par l’association parallèle de R_2 et de la charge.

📐 Formule - Pour des branches résistives reliant les potentiels V_{A_k} au nœud N et des sources de courant η_j arrivant en N, le théorème de Millman donne $V_N = \frac{\sum_k \frac{V_{A_k}}{R_k}+\sum_j \eta_j}{\sum_k \frac{1}{R_k}}$.

• Pour déterminer R_{Th}, on éteint les sources libres : une source idéale de tension est remplacée par un fil et une source idéale de courant par un circuit ouvert.

📐 Formule - Les équivalents de Thévenin et de Norton vérifient $E_{Th}=R_{Th}\eta_N$.

💡 Astuce mémo

La source de tension impose u ; la source de courant impose i

📖 6. Résistances d’entrée et sortie, superposition et adaptation

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance d’entrée : Résistance équivalente vue par ce qui l’alimente et vaut le rapport de la tension d’entrée au courant d’entrée.
• Résistance de sortie : Résistance de Thévenin du générateur équivalent vu par la charge.

★ À maîtriser

📌 Dans un réseau linéaire comportant plusieurs sources libres, une tension ou un courant est la somme des contributions obtenues en faisant agir chaque source seule et en éteignant les autres sources libres.

📌 La puissance transférée à la charge est maximale lorsque R=r ; elle vaut alors $P_{\max}=\frac{E^2}{4r}$ et le rendement est de 50 %.

Compléments

• Un voltmètre doit avoir une résistance d’entrée très grande devant les résistances du circuit ; celle d’un multimètre est d’environ 10 MΩ et celle d’un oscilloscope est de 1 MΩ.

• Un ampèremètre doit avoir une résistance d’entrée très faible.

• Un générateur de tension délivre une tension peu dépendante de la charge si sa résistance de sortie est faible devant la résistance de la charge ; la résistance de sortie d’un GBF vaut 50 Ω.

• Lors de l’application de la superposition, une source liée n’est jamais éteinte et le théorème ne s’applique ni aux puissances ni aux dipôles non linéaires.

💡 Astuce mémo

Charge adaptée : puissance maximale, mais rendement de 50 %

📖 7. Diodes et transformations triangle-étoile

🔑 Notions clés & Définitions

• Diode à jonction : Ne laisse passer le courant que de l’anode vers la cathode et possède une caractéristique fortement non linéaire.

★ À maîtriser

• Le modèle à seuil d’une diode au silicium prend généralement V_s≈0,6 V ; la diode est passante pour u_D=V_s et bloquée si u_D<V_s.

• Pour résoudre un circuit à diode, on suppose la diode passante ou bloquée, on résout le circuit linéaire correspondant, puis on vérifie la cohérence de l’état supposé.

📐 Formule - Pour transformer un triangle de résistances R_{AB}, R_{BC}, R_{CA} en étoile, les résistances valent $R_A=\frac{R_{AB}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}$, $R_B=\frac{R_{AB}R_{BC}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}$ et $R_C=\frac{R_{BC}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}$.

Compléments

📌 Dans le modèle idéal, une diode passante est assimilée à un interrupteur fermé avec u_D=0 et une diode bloquée à un interrupteur ouvert avec i_D=0.

• Une diode Zener conduit en inverse sous la tension −V_Z et permet une régulation de tension.

• Un triangle formé de trois résistances égales R est équivalent à une étoile dont chacune des résistances vaut R/3.

• La transformation triangle-étoile de Kennelly simplifie des réseaux qui ne se réduisent pas par associations série-parallèle, comme un pont non équilibré.

• Pour mesurer un courant supérieur au calibre d’un galvanomètre, une résistance de shunt placée en parallèle dérive la majeure partie du courant et protège l’appareil.

• Pour un galvanomètre de résistance 100 Ω déviant à pleine échelle pour 1 mA, un shunt permettant de mesurer jusqu’à 1 A vaut environ 0,1 Ω.

📖 8. Caractéristiques des dipôles et puissance maximale

★ À maîtriser

📌 La caractéristique statique d’un dipôle regroupe les points (u,i) en régime continu, tandis que sa caractéristique dynamique est la courbe parcourue en régime variable.

📐 Formule - Pour un générateur réel de f.é.m. E et de résistance interne r alimentant une résistance R, le courant vaut $I = \frac{E}{R+r}$ et la puissance reçue par la charge vaut $P(R)=\frac{RE^2}{(R+r)^2}$.

📐 Formule - La puissance reçue par la charge est maximale lorsque $R=r$, et sa valeur maximale est $P_{\max}=\frac{E^2}{4r}$.

• Lorsque R = r, le rendement vaut $\eta=\frac{1}{2}$ : la moitié de la puissance est dissipée dans le générateur.

Compléments

• Pour un résistor, les caractéristiques statique et dynamique sont confondues et suivent la droite u=Ri.

• Pour un condensateur, la caractéristique statique est l’axe i=0 ; en régime sinusoïdal, la caractéristique dynamique est une ellipse d’équation $\left(\frac{u}{U_m}\right)^2+\left(\frac{i}{C\omega U_m}\right)^2=1$.

• Pour le transport d’énergie, on recherche un rendement proche de 1 en imposant R ≫ r ; l’adaptation d’impédance sert plutôt à transmettre un maximum de puissance depuis un signal faible, notamment dans les antennes, les haut-parleurs et les câbles 50 Ω.

• La caractéristique dynamique du condensateur en régime sinusoïdal peut être observée en mode XY à l’oscilloscope.

💡 Astuce mémo

Résistor : droite commune ; condensateur : axe en continu, ellipse en régime sinusoïdal

📖 9. Réseaux résistifs et diode non linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Point de fonctionnement : L’intersection de sa caractéristique avec celle du générateur, appelée droite de charge.

★ À maîtriser

• La solution physique positive de l’équation du réseau en échelle infini est $R_{\mathrm{eq}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R\approx1{,}618R$.

📐 Formule - Pour les douze résistances identiques R disposées sur les arêtes d’un cube, la résistance équivalente entre deux sommets opposés vaut $R_{\mathrm{eq}}=\frac{5}{6}R$.

Compléments

📐 Formule - La résistance équivalente du réseau infini formé de cellules identiques comportant une résistance R en série suivie d’une résistance R en parallèle vérifie $R_{\mathrm{eq}}=R+\frac{R R_{\mathrm{eq}}}{R+R_{\mathrm{eq}}}$.

• Dans le cube de résistances, un courant I injecté en A se partage en trois courants I/3, puis en six courants I/6 sur les arêtes intermédiaires, avant de se réunir en trois courants I/3 vers G.

📌 Dans un réseau résistif symétrique, des points au même potentiel peuvent être reliés par un fil sans modifier le circuit, ce qui permet de le simplifier.

📐 Formule - Pour une diode à seuil de tension $U_s=0{,}6\ \mathrm{V}$ et de résistance dynamique $r_d=2\ \Omega$ alimentée par un générateur de $E=6\ \mathrm{V}$ et $r=10\ \Omega$ dans le sens passant, le point de fonctionnement est $i=0{,}45\ \mathrm{A}$ et $u=1{,}5\ \mathrm{V}$.

• Lorsque la diode est inversée, elle est bloquée, le courant est nul et toute la tension E apparaît à ses bornes en inverse.

📖 10. Fonctionnement d’un électrolyseur

★ À maîtriser

📌 L’électrolyseur est passif car sa caractéristique passe par l’origine, symétrique car elle est impaire, et non linéaire car elle n’est pas une droite.

📐 Formule - En régime bloqué de l’électrolyseur, $I=0$ et la tension vaut $U=(1-2x)E$ ; avec E = 4,0 V et E₁ = 2,0 V, ce régime existe pour $\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}$.

📐 Formule - Le générateur de Thévenin vu des bornes M et N de l’électrolyseur a pour tension à vide $E_{\mathrm{th}}=(1-2x)E$ et pour résistance interne $R_{\mathrm{th}}=2x(1-x)R$.

Compléments

📐 Formule - En régime 1, $I=\frac{(1-2x)E-E_1}{R_1+2x(1-x)R}$ et ce régime exige $x<\frac{1}{4}$.

• Avec E = 4,0 V, R = 10 Ω, E₁ = 2,0 V et R₁ = 2,0 Ω, le courant vaut 1,0 A pour x = 0 et 0,32 A pour x = 0,1.

• Pour x = 0, l’électrolyseur reçoit 4 W : 2 W sont convertis en énergie chimique et 2 W sont dissipés par effet Joule dans R₁.

• Quand x varie de 0 à 1, le courant décroît de 1 A à 0 entre x = 0 et x = 1/4, reste nul jusqu’à x = 3/4, puis décroît jusqu’à −1 A à x = 1 ; la caractéristique est symétrique par rapport au point (1/2, 0).

💡 Astuce mémo

Régime 1 si x < 1/4, régime 2 entre 1/4 et 3/4, régime 3 si x > 3/4

📖 11. Transfert de charge entre condensateurs

★ À maîtriser

• Deux condensateurs identiques, dont l’un est initialement chargé sous E et l’autre déchargé, atteignent après connexion une tension commune finale $U_f=E/2$ par conservation de la charge.

• Lors du transfert à travers R, la différence de tension vérifie $\frac{d(u_1-u_2)}{dt}=-\frac{2}{RC}(u_1-u_2)$ et la constante de temps vaut $\tau=RC/2$.

• L’énergie initiale est $E_i=\frac12 CE^2$, l’énergie finale est $E_f=\frac14 CE^2$ et l’énergie dissipée vaut $E_J=\frac14 CE^2$, indépendamment de R.

Compléments

• Même lorsque $R\to0$, l’énergie dissipée lors du transfert est associée au rayonnement et à l’étincelle.

💡 Astuce mémo

Charge conservée → tension commune finale égale à E/2.

📖 12. Identification expérimentale d’un circuit RLC

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un facteur de qualité élevé, $Q\approx\pi/\delta\approx9{,}8$, ce qui confirme l’hypothèse $Q\gg1$.

📐 Formule - La pulsation propre est estimée par $\omega_0\approx2\pi/T=4{,}99\times10^3\,\text{rad·s}^{-1}$, d’où $L=1/(C\omega_0^2)\approx0{,}40\,\text{H}$ et $r=L\omega_0/Q\approx2{,}0\times10^2\,\Omega$.

Compléments

• Pour un RLC de capacité $C=100\,\text{nF}$, la pseudo-période mesurée est $T=1{,}26\,\text{ms}$ et deux maxima successifs valent 4,0 V et 2,9 V.

📐 Formule - Le décrément logarithmique calculé à partir des deux maxima vaut $\delta=\ln(4{,}0/2{,}9)\approx0{,}32$.

📖 13. Charge et décharge du flash électronique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pendant la charge du condensateur du flash, $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau_1})$ avec $\tau_1=R_1C=1\,\text{s}$.

• Avec $C=100\,\mu\text{F}$ et $E=300\,\text{V}$, l’énergie stockée vaut 4,5 J et la source fournit 9 J pendant la charge.

📐 Formule - Pendant la décharge dans la lampe, $u_C(t)=Ee^{-t/\tau_2}$ avec $\tau_2=R_2C=0{,}2\,\text{ms}$.

Compléments

• Le flash est prêt lorsque $u_C\geq0{,}99E$, condition atteinte après environ 4,6 s.

• La puissance moyenne reçue par la lampe pendant $5\tau_2$ est d’environ 4,5 kW.

• Branchée directement à la source de résistance interne R1, la lampe ne recevrait que $E/R_1=30\,\text{mA}$, soit quelques watts, tandis que le condensateur restitue rapidement l’énergie stockée.

💡 Astuce mémo

R1 règle la charge lente ; R2 commande la décharge rapide dans la lampe.

📖 14. Décharge de condensateur et courants constants en branches

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une décharge de $C=1000\,\mu\text{F}$ à travers une résistance de contact de $R=0{,}1\,\Omega$, la constante de temps est $\tau=RC=0{,}1\,\text{ms}$.

• Chargé sous 15 V, le condensateur fournit un courant maximal de 150 A et libère 0,11 J.

📐 Formule - Dans les branches RL et RC alimentées sous E, les courants valent respectivement $i_1=(E/R)(1-e^{-Rt/L})$ et $i_2=(E/R)e^{-t/(RC)}$.

📌 Le courant total est constant lorsque $R^2=L/C$ et vaut alors $i=E/R$ à tout instant.

Compléments

• La puissance moyenne dissipée pendant une constante de temps est d’environ 1 kW, concentrée au contact et suffisante pour faire fondre le métal.

💡 Astuce mémo

Faible résistance de contact → courant intense → fusion locale du métal.

📖 15. Antiparasitage, identification temporelle et énergie RLC

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension de l’interrupteur vérifie $LC\ddot u+RC\dot u+u=e$ lorsque le courant de la bobine et le courant du condensateur sont liés par $i=C\dot u$.

📐 Formule - En négligeant l’amortissement, la tension maximale est approximativement $u_{\max}\approx e+I_0\sqrt{L/C}$ lorsque le terme lié à l’énergie magnétique domine.

📐 Formule - Les deux mesures donnent $\tau=2{,}2\,\text{ms}$ et, avec la résistance donnée, $C=\tau/R=1{,}0\,\mu\text{F}$.

📐 Formule - Pour le circuit RLC série avec $L=0{,}1\,\text{H}$, $C=1\,\mu\text{F}$ et $R=20\,\Omega$, $\omega_0=3{,}16\times10^3\,\text{rad·s}^{-1}$, $Q=15{,}8$ et la pseudo-période vaut environ 2,0 ms.

📐 Formule - Pour un facteur de qualité élevé, la fraction d’énergie perdue par pseudo-période vaut approximativement $\Delta E/E\approx2\pi/Q$.

Compléments

• À l’ouverture du moteur, le courant initial dans la bobine vaut $I_0=e/R=1{,}2\,\text{A}$ et la tension initiale aux bornes de l’interrupteur est nulle.

• Avec $C=10\,\text{pF}$, la surtension estimée est de 38 kV; une capacité de 60 nF limite le maximum à 500 V.

• Dans une charge RC sous 5 V avec $R=2{,}2\,\text{k}\Omega$, la tension atteint 3,16 V à 2,2 ms et la pente initiale vaut $2{,}27\times10^3\,\text{V·s}^{-1}$.

📐 Formule - Le temps de montée entre 10 % et 90 % vaut $t_m=\tau\ln9=4{,}8\,\text{ms}$.

📐 Formule - L’énergie est divisée par 100 après environ 12 pseudo-périodes lorsque $e^{-2\pi n/Q}=10^{-2}$.

💡 Astuce mémo

Ouverture de l’interrupteur → surtension ; augmenter C réduit le pic de tension.

📖 16. Régime sinusoïdal, impédances et diagrammes de Fresnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal sinusoïdal : Un signal sinusoïdal s’écrit x(t) = Xm cos(ωt + φ), où Xm est son amplitude, ω sa pulsation, f = ω/2π sa fréquence, T = 1/f sa période et ωt + φ sa phase instantanée, φ étant la phase à l’origine.
• Impédance : Pour un dipôle linéaire passif en convention récepteur, l’impédance complexe Z relie la tension et le courant par u = Zi ; l’admittance vaut Y = 1/Z.
• Valeur efficace : Pour un signal périodique de période T, sa valeur efficace est la racine carrée de la moyenne temporelle de son carré sur une période.
• Amplitude complexe : À x(t) = Xm cos(ωt + φ), on associe la grandeur complexe x(t) = Xm e^{j(ωt+φ)} = X̲m e^{jωt}, où X̲m = Xm e^{jφ} est l’amplitude complexe et j² = −1.

★ À maîtriser

• Après extinction de la solution homogène transitoire, qui tend vers zéro après quelques constantes de temps, la solution particulière sinusoïdale à la pulsation de l’excitation constitue le régime sinusoïdal forcé ou établi.

📌 Pour deux sinusoïdes de même pulsation, le déphasage de x₁ par rapport à x₂ vaut φ₁ − φ₂ ; s’il est positif, x₁ est en avance sur x₂.

• Les impédances des dipôles idéaux sont les suivantes :

  • Pour un résistor, Z = R et la tension et le courant sont en phase.
  • Pour une bobine idéale, Z = jLω et la tension avance le courant de π/2.
  • Pour un condensateur, Z = 1/(jCω) et la tension retarde le courant de π/2.

• Dans un diagramme de Fresnel, une sinusoïde est représentée par un vecteur de longueur égale à son amplitude et d’angle égal à sa phase ; la somme de sinusoïdes de même pulsation correspond à la somme vectorielle de leurs vecteurs.

Compléments

• Un signal périodique peut être décomposé en sinusoïdes et, pour un système linéaire, la réponse est la somme des réponses associées à chacune d’elles.

• Pour une sinusoïde d’amplitude Xm, la valeur moyenne est nulle et la valeur efficace vaut Xm/√2 ; pour un créneau symétrique ±E, la valeur moyenne est nulle et la valeur efficace vaut E.

📐 Formule - Le déphasage en valeur absolue associé à un décalage temporel Δt entre deux signaux synchrones vérifie $|φ| = 2π\frac{Δt}{T} = ωΔt$.

• La grandeur réelle associée à une notation complexe est sa partie réelle ; le module et l’argument de l’amplitude complexe donnent respectivement l’amplitude et la phase à l’origine.

• En notation complexe, dériver une sinusoïde revient à multiplier son amplitude complexe par jω, et l’intégrer revient à la diviser par jω.

• La notation complexe s’applique aux grandeurs sinusoïdales et aux relations linéaires, mais une puissance ne se calcule jamais comme le produit de deux grandeurs complexes.

• L’impédance s’écrit Z = R + jX, où R est la résistance et X la réactance ; son module vaut Um/Im et son argument φu − φi est l’avance de phase de la tension sur le courant.

• À basse fréquence, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et une bobine comme un fil ; à haute fréquence, le condensateur se comporte comme un fil et la bobine comme un interrupteur ouvert.

📖 17. Résonance RLC et puissance en régime sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance moyenne : La puissance instantanée reçue par un dipôle vaut p(t) = u(t)i(t), et sa puissance moyenne sur une période T vaut P = (1/T)∫₀ᵀp(t)dt.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un circuit RLC série, avec x = ω/ω₀ et Q = Lω₀/R, l’amplitude du courant vaut $I_m(x) = \frac{E_m/R}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2}}$.

• Dans un RLC série, l’intensité est maximale pour ω = ω₀, où son amplitude vaut Em/R ; à cette résonance, le courant et la tension d’excitation sont en phase et l’impédance est minimale, égale à R.

📌 La tension aux bornes du condensateur d’un RLC série présente un maximum seulement si Q > 1/√2 ; alors la pulsation du maximum vaut ωr = ω₀√(1 − 1/(2Q²)), inférieure à ω₀.

📐 Formule - Pour u = Um cos(ωt + φ) et i = Im cos(ωt), la puissance moyenne vaut $P = U_{\mathrm{eff}} I_{\mathrm{eff}}\cos\varphi = \frac{1}{2}U_m I_m\cos\varphi = R I_{\mathrm{eff}}^2$, où cos φ est le facteur de puissance.

📌 Un générateur d’impédance interne Zg = Rg + jXg transfère une puissance moyenne maximale à la charge lorsque Z = Zg*, soit R = Rg et X = −Xg ; cette condition est appelée charge adaptée.

Compléments

📐 Formule - Pour la résonance en intensité d’un RLC série, la bande passante à −3 dB vérifie $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q}$, donc $Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}$.

• Pour Q ≫ 1, la résonance en tension du condensateur se produit près de ω₀ et la tension maximale est approximativement QEm, ce qui constitue une surtension.

• Dans un circuit LC série idéal, l’impédance s’annule à ω₀ et l’amplitude diverge théoriquement à la résonance ; les résistances des fils et de la bobine limitent l’amplitude réelle.

📌 À ω₀, un circuit LC série a une impédance nulle, tandis qu’un circuit LC parallèle a une impédance infinie et se comporte comme un circuit bouchon.

• Une bobine idéale et un condensateur idéal ont une puissance moyenne reçue nulle ; ils échangent de l’énergie avec le circuit, tandis que la puissance moyenne fournie par le générateur est dissipée dans la résistance.

• Dans une installation inductive, un facteur de puissance inférieur à 1 augmente le courant efficace requis pour une même puissance utile et donc les pertes en ligne ; un condensateur en parallèle rapproche le facteur de puissance de 1.

📐 Formule - Pour une charge adaptée, la puissance transférée maximale vaut $P_{\max} = \frac{E_{\mathrm{eff}}^2}{4R_g}$ et le rendement est de 50 %.

💡 Astuce mémo

En série, Q = Lω₀/R ; en parallèle, Q = R Cω₀.

📖 18. Mesure du déphasage et réponse fréquentielle des circuits

📝 Points essentiels

• Le déphasage à l’oscilloscope peut être mesuré en mode bicourbe à partir du décalage temporel entre deux passages par zéro croissants, ou en mode XY à partir de l’ellipse de Lissajous.

• En mode XY, pour x = Xm cos ωt et y = Ym cos(ωt + φ), l’intersection de l’ellipse avec l’axe Oy donne y₀ = ±Ym sin φ, donc |sin φ| = |y₀|/Ym.

📐 Formule - À une pulsation donnée, un modèle série Z = Rs + jXs est équivalent à un modèle parallèle de résistance Rp et de réactance Xp tels que $R_p = \frac{R_s^2 + X_s^2}{R_s}, \qquad X_p = \frac{R_s^2 + X_s^2}{X_s}$.

📐 Formule - Pour corriger un facteur de puissance inductif de cos φ à cos φ′ par un condensateur en parallèle sous une tension efficace U, sa capacité vérifie $C\omega U^2 = P(\tan\varphi - \tan\varphi')$.

• L’entrée d’un oscilloscope équivaut à une résistance Re = 1 MΩ en parallèle avec une capacité Ce ≈ 20 pF ; à 1 MHz, l’impédance capacitive vaut environ 8 kΩ et peut perturber notablement les circuits de forte impédance.

• Pour un circuit RLC série résonant, la bande passante vaut Δω = ω₀/Q et la sélectivité augmente avec Q.

• Pour le circuit RLC non série décrit, le courant d’alimentation est en phase avec la tension lorsque la partie imaginaire de l’impédance totale s’annule, à la pulsation $\omega_1=\frac{1}{RC}\sqrt{\frac{R^2C}{L}-1}$, qui n’existe que si $R^2C>L$.

• Pour relever le facteur de puissance d’un moteur consommant 2 kW sous 230 V efficaces à 50 Hz avec cos φ = 0,7, une capacité de 123 μF en parallèle ramène le facteur de puissance à 1 et le courant en ligne à 8,7 A.

• Une bobine réelle modélisée par L en série avec r, à 1 kHz, donne r = 20 Ω et L = 50 mH selon la méthode des trois voltmètres; l’estimation de r est peu précise car elle dépend d’une petite différence entre de grandes valeurs.

• À la résonance du circuit série de la bobine réelle, le courant maximal vaut 83 mA, la tension du condensateur vaut 26 V, le facteur de qualité vaut 2,6 et la bande passante vaut 380 Hz.

• Un circuit bouchon parallèle avec L = 100 μH et R = 50 kΩ, réglé sur 1 MHz, nécessite C = 253 pF; son facteur de qualité vaut 79,6 et sa bande passante 12,6 kHz.

• Dans le circuit bouchon décrit, une station à 1,009 MHz produit une tension égale à 0,57 fois la tension maximale; cette atténuation est insuffisante et plusieurs étages sélectifs peuvent être mis en cascade.

• L’ellipse de Lissajous devient un segment pour φ = 0 ou π et un cercle lorsque Xm = Ym et φ = ±π/2.

• Pour une bobine réelle de facteur de qualité QL = Lω/r ≫ 1, le modèle parallèle vérifie approximativement Rp ≈ QL²r et Lp ≈ L.

📌 Le distributeur d’électricité impose aux gros consommateurs une tangente de l’angle de déphasage vérifiant tan φ ≤ 0,4.

📖 19. Filtres du premier ordre et fonctions de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre : Quadripôle linéaire qui réalise une opération de filtrage.
• Fonction de transfert : En régime sinusoïdal forcé, la fonction de transfert en tension est $H(j\omega)=\frac{U_s}{U_e}$, généralement définie en sortie ouverte avec iₛ = 0; l’ordre du filtre est le plus grand degré des polynômes du numérateur et du dénominateur.
• Gain en décibels : Le gain est $G(\omega)=|H(j\omega)|=U_{sm}/U_{em}$ et son expression en décibels est $G_{dB}=20\log G$, où log est le logarithme décimal.
• Pulsation de coupure : La pulsation de coupure à −3 dB vérifie $G(\omega_c)=\frac{G_{max}}{\sqrt{2}}$, soit un gain inférieur de 3 dB au gain maximal.
• Quadripôle : Réseau relié à l’extérieur par quatre bornes, deux d’entrée et deux de sortie.
• Déphasage : Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est $\varphi=\arg H=\varphi_s-\varphi_e$.
• Diagramme de Bode : Courbes du gain en décibels et du déphasage tracées en fonction de log ω ou de log x; les pentes asymptotiques s’expriment en dB par décade.
• Bande passante : La bande passante est l’ensemble des pulsations pour lesquelles $G(\omega)\geq\frac{G_{max}}{\sqrt{2}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le passe-bande RLC série avec sortie sur R, $H=\frac{1}{1+jQ(x-1/x)}$, où $x=\omega/\omega_0$, $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ et $Q=L\omega_0/R$.

📐 Formule - Pour le passe-bas du second ordre RLC avec sortie sur C, $H=\frac{1}{1-x^2+jx/Q}$.

Compléments

• Les correspondances de gain sont G = 1 ↔ 0 dB, G = 1/√2 ↔ −3 dB, G = 0,1 ↔ −20 dB et G = 10 ↔ +20 dB.

• Pour prévoir la nature d’un filtre, on remplace chaque composant par son comportement limite en basse et haute fréquence, puis on détermine si la sortie est nulle ou non dans chaque domaine afin d’identifier passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande.

• Le passe-bas du premier ordre a un gain tendant vers 1 en basse fréquence et une pente de −20 dB par décade en haute fréquence; sa bande passante est [0, ω₀] et sa phase passe de 0 à −π/2, avec φ(ω₀)=−π/4.

• Le passe-bande RLC série a un gain maximal égal à 1 à ω₀, où la phase est nulle; ses asymptotes ont des pentes de +20 dB par décade en basse fréquence et −20 dB par décade en haute fréquence.

• Le passe-bas du second ordre a une pente de −40 dB par décade en haute fréquence; en x = 1, son gain vaut Q et sa phase −π/2, et la résonance de gain existe si $Q>1/\sqrt{2}$.

• Pour Q = 1/√2, le passe-bas du second ordre présente la réponse la plus plate possible, appelée filtre de Butterworth, et sa pulsation de coupure vaut ω₀.

📖 20. Traitement des signaux, cascade et compléments sur les filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Gabarit : Représentation des zones interdites du diagramme de Bode en gain définies par le cahier des charges.

★ À maîtriser

• Pour une entrée périodique décomposée en somme de sinusoïdes, un filtre linéaire multiplie chaque composante par son gain à cette fréquence et la déphase de la phase correspondante; la composante continue est multipliée par H(0).

📌 Le transfert de deux filtres en cascade est le produit de leurs fonctions de transfert seulement si l’impédance d’entrée du second est très grande devant l’impédance de sortie du premier.

📐 Formule - Le filtre passe-tout défini par $H=\frac{1-jx}{1+jx}$ a un gain constant égal à 1 et une phase $\varphi=-2\arctan x$ qui varie de 0 à −π.

Compléments

• Un passe-bas dont la fréquence de coupure est très inférieure à la fréquence fondamentale agit comme moyenneur et transmet approximativement la valeur moyenne du signal, multipliée par le gain statique.

• Dans le domaine où la pente est −20 dB par décade, un passe-bas du premier ordre agit comme intégrateur; dans le domaine où la pente est +20 dB par décade, un passe-haut du premier ordre agit comme dérivateur.

• Un suiveur intercalé entre deux étages possède une impédance d’entrée infinie et une impédance de sortie nulle, ce qui évite le chargement du premier étage par le second.

• Pour un passe-bas, une transition plus étroite entre bande passante et bande coupée exige un ordre de filtre plus élevé; un filtre d’ordre n a une pente de −20n dB par décade.

• Pour tracer asymptotiquement une fonction de transfert, on la factorise en facteurs élémentaires, puis on additionne les gains en décibels, les phases et les pentes apportés par chacun.

• Le filtre passe-tout déphase sans atténuer et sert à compenser des retards ou à construire des oscillateurs.

📌 La fonction de transfert d’un filtre passif est calculée en sortie ouverte et est modifiée par une charge, sauf si la résistance de charge est très grande devant l’impédance de sortie.

📖 21. Filtre de Wien et comportements des filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre réjecteur : Un filtre réjecteur transmet les fréquences situées de part et d’autre d’une bande coupée et annule la transmission à sa pulsation centrale $\omega_0$.

★ À maîtriser

• Le filtre de Wien est un passe-bande : le condensateur série bloque le signal en basse fréquence et le condensateur parallèle court-circuite la sortie en haute fréquence.

📐 Formule - Pour le filtre de Wien, $H=\frac{1}{3+j\left(x-\frac{1}{x}\right)}$ avec $x=RC\omega$.

📐 Formule - La forme canonique du filtre de Wien donne $H_0=\frac{1}{3}$, $\omega_0=\frac{1}{RC}$, $Q=\frac{1}{3}$ et une bande passante $\Delta\omega=3\omega_0$.

📌 Dans l’oscillateur à pont de Wien, la condition de Barkhausen impose une oscillation à $\omega_0$ et un gain d’amplificateur $K=3$, qui compense l’atténuation du filtre.

📌 Deux cellules passe-bas RC identiques en cascade directe ne donnent pas le produit de leurs fonctions de transfert, car la seconde cellule charge la première.

Compléments

• Le gain du filtre de Wien est maximal en $x=1$, où il vaut $1/3$, soit environ −9,5 dB, et son déphasage est nul.

• Pour une entrée composée d’une composante continue, d’une sinusoïde à $\omega_0$ et d’une sinusoïde à $10\omega_0$, le filtre de Wien annule la composante continue et donne $u_s(t)=\frac{E_1}{3}\cos(\omega_0t)+0{,}097E_2\cos(10\omega_0t-1{,}28)$.

📐 Formule - Pour deux cellules RC identiques en cascade directe, $H=\frac{1}{1-x^2+3jx}$, avec $x=RC\omega$, $\omega_0=1/(RC)$ et $Q=1/3$.

• Un suiveur intercalé entre deux cellules empêche leur interaction et rend la fonction de transfert globale égale au produit des fonctions de transfert des cellules.

📐 Formule - Pour le filtre RLC réjecteur décrit, $H=\frac{jQ(x-1/x)}{1+jQ(x-1/x)}$, avec $Q=L\omega_0/R$, et sa bande coupée à −3 dB vaut $\Delta\omega=\omega_0/Q=R/L$.

• Un passe-bande d’ordre 2 sélectif centré sur le troisième harmonique d’un créneau de 1 kHz peut en extraire une sinusoïde quasi pure de 3 kHz ; dans l’exemple donné, son amplitude est environ 0,42 V.

📐 Formule - Pour un passe-haut RC du premier ordre, $H=\frac{jx}{1+jx}$ avec $x=\omega/\omega_c$ et $\omega_c=1/(RC)$ ; lorsque $\omega\ll\omega_c$, il se comporte en dérivateur.

📐 Formule - Pour un passe-bas RC lorsque toutes les composantes du signal vérifient $\omega\gg\omega_c$, $H\approx\omega_c/(j\omega)$ et le filtre se comporte en intégrateur.

• La mise en cascade de deux filtres ne multiplie leurs fonctions de transfert que si leurs étages sont isolés, par exemple par un suiveur d’impédance d’entrée infinie et d’impédance de sortie nulle.

• Pour éliminer un ronflement de 50 Hz avec un condensateur de 10 μF et une bande coupée de 10 Hz, le filtre réjecteur requiert une inductance de 1,0 H et une résistance d’environ 63 Ω.

💡 Astuce mémo

Le passe-bande transmet autour de sa fréquence centrale ; le coupe-bande y annule la transmission.

📖 22. Modèle de l’ALI et montages linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• ALI : Circuit intégré qui permet notamment l’amplification, la sommation, l’intégration, la dérivation, le filtrage et la comparaison de signaux.

★ À maîtriser

• En régime linéaire, $V_s=\mu_0\varepsilon$ avec un gain différentiel statique $\mu_0\sim10^5$, ce qui impose une tension différentielle proche de zéro.

📌 En régime saturé, la sortie vaut $+V_{sat}$ si $\varepsilon>\varepsilon_m$ et $-V_{sat}$ si $\varepsilon<-\varepsilon_m$ ; pour un ALI idéal, le signe de $\varepsilon$ détermine le signe de saturation.

• Dans le modèle idéal, les courants d’entrée sont nuls, l’impédance de sortie est nulle et, en régime linéaire, $V^+=V^-$.

📌 Une rétroaction sur l’entrée inverseuse constitue une contre-réaction stabilisante qui permet le régime linéaire, tandis qu’une absence de rétroaction ou une rétroaction sur l’entrée non inverseuse conduit au régime saturé.

📐 Formule - Le suiveur vérifie $v_s=v_e$ et assure une adaptation d’impédance grâce à son impédance d’entrée infinie et à son impédance de sortie nulle.

Compléments

• La tension différentielle d’entrée de l’ALI est $\varepsilon=V^+-V^-$, où $V^+$ et $V^-$ sont les potentiels des entrées non inverseuse et inverseuse.

• Les ordres de grandeur indiqués sont $V_{sat}\approx14\,\mathrm{V}$, $\varepsilon_m\sim0{,}1\,\mathrm{mV}$, une résistance d’entrée d’environ $10^{12}\,\Omega$, une résistance de sortie d’environ $100\,\Omega$, des courants d’entrée de l’ordre du pA, un courant de sortie limité à environ 20 mA, une vitesse de balayage d’environ 10 V·μs⁻¹ et un temps de réponse en boucle ouverte d’environ 10 ms.

• L’étude d’un montage linéaire consiste à vérifier la contre-réaction sur l’entrée inverseuse, à poser $i^+=i^-=0$ et $V^+=V^-$, puis à exprimer les tensions d’entrée par diviseur de tension ou loi des nœuds.

📐 Formule - L’amplificateur non inverseur vérifie $v_s=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)v_e$.

📐 Formule - L’amplificateur inverseur vérifie $v_s=-\frac{R_2}{R_1}v_e$ et sa résistance d’entrée vaut $R_1$.

📐 Formule - L’intégrateur inverseur idéal vérifie $v_s=-\frac{1}{RC}\int v_e\,dt$ et sa fonction de transfert est $H=-\frac{1}{jRC\omega}$.

📐 Formule - Le dérivateur inverseur idéal vérifie $v_s=-RC\frac{dv_e}{dt}$ et sa fonction de transfert est $H=-jRC\omega$.

📌 Un intégrateur idéal peut saturer sous l’effet d’une tension de décalage ; une résistance en parallèle avec le condensateur le transforme en pseudo-intégrateur passe-bas, intégrateur pour $\omega\gg1/(R'C)$.

📌 Un dérivateur idéal amplifie le bruit de haute fréquence ; l’ajout d’une résistance en série avec le condensateur réalise un pseudo-dérivateur.

📐 Formule - Le sommateur inverseur avec trois résistances égales vérifie $v_s=-(v_1+v_2)$.

💡 Astuce mémo

Contre-réaction sur (−) → stabilisation et régime linéaire ; réaction sur (+) → saturation.

📖 23. Comparateurs, hystérésis et multivibrateur astable

★ À maîtriser

📌 Un comparateur simple sans rétroaction fournit $+V_{sat}$ si $v_e>V_{réf}$ et $-V_{sat}$ si $v_e<V_{réf}$.

📐 Formule - Dans un comparateur à hystérésis, les seuils de basculement sont $\pm V_0$ avec $V_0=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}$.

📌 Quand la sortie du comparateur à hystérésis vaut $+V_{sat}$, le basculement se produit si l’entrée dépasse $+V_0$ ; quand elle vaut $-V_{sat}$, il se produit si l’entrée descend sous $-V_0$.

• Pour −V0 < ve < V0, les deux états de sortie d’un comparateur à hystérésis sont possibles : le montage est bistable.

• Dans le multivibrateur astable, le condensateur se charge vers +Vsat jusqu’à +V0, puis se décharge vers −Vsat jusqu’à −V0, ce qui fait basculer périodiquement la sortie.

• Le multivibrateur astable génère un signal créneau en sortie et un signal quasi triangulaire aux bornes du condensateur.

📐 Formule - La période du multivibrateur astable vaut $T=2RC\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right).$

Compléments

• Un comparateur simple peut transformer un signal sinusoïdal en créneau, mais le bruit au voisinage de la référence peut provoquer des basculements erratiques.

• La caractéristique de transfert du comparateur à hystérésis forme un cycle d’hystérésis parcouru dans le sens indiqué par le circuit.

📌 Dans le trigger inverseur, un bruit d’amplitude inférieure à 2V0 ne provoque pas de basculement intempestif.

• Pour le trigger non inverseur décrit, les seuils de basculement sont ±(R1/R2)Vsat et le cycle est parcouru en sens inverse de celui du trigger inverseur.

💡 Astuce mémo

Le franchissement des seuils déclenche le basculement ; entre eux, la mémoire persiste.

📖 24. ALI réel, conversion courant-tension et oscillateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit gain-bande : Le produit gain-bande d’un ALI réel vaut approximativement $\mu_0f_c\approx1\,\mathrm{MHz}.$
• Convertisseur courant-tension : Un convertisseur courant-tension à ALI utilise une résistance R en contre-réaction pour transformer le courant i appliqué à l’entrée inverseuse en tension de sortie $v_s=-Ri.$

★ À maîtriser

📐 Formule - En régime linéaire, le gain complexe d’un ALI réel du premier ordre est $\mu=\frac{\mu_0}{1+j\omega/\omega_c},$ avec $\mu_0\sim10^5$ et $f_c=\omega_c/(2\pi)\sim10\,\mathrm{Hz}.$

📌 Pour un amplificateur non inverseur de gain nominal G0 inférieur à μ0, le produit du gain réel par sa fréquence de coupure reste égal au produit gain-bande de l’ALI ; augmenter le gain réduit donc la bande passante.

• Dans un générateur triangulaire formé d’un comparateur à hystérésis et d’un intégrateur inverseur, le comparateur commute aux seuils ±V0, puis l’intégrateur fait varier linéairement sa sortie jusqu’au seuil opposé.

📐 Formule - Pour ce générateur, $V_0=\frac{R_1}{R_2}V_{sat}$ et la période vaut $T=4RC\frac{R_1}{R_2}.$

📌 Pour l’oscillateur à pont de Wien, l’existence d’oscillations sinusoïdales en régime établi impose une fréquence $f_0=1/(2\pi RC)$ et un gain d’amplificateur A égal à 3, soit $R_2=2R_1.$

Compléments

📐 Formule - La vitesse de balayage est $\sigma=\left|\frac{dV_s}{dt}\right|_{\max}\approx1\text{ à }10\,\mathrm{V\cdot\mu s^{-1}};$ un sinus d’amplitude Vm est déformé si $V_m\omega>\sigma.$

• Le courant de sortie d’un ALI réel est limité à environ 20 mA ; une charge trop faible peut donc écrêter la sortie.

• Les tensions de décalage de quelques millivolts et les courants de polarisation de quelques nanoampères peuvent provoquer une dérive dans les intégrateurs.

• Dans le convertisseur courant-tension, l’entrée inverseuse est une masse virtuelle et l’impédance d’entrée est nulle, de sorte que la source de courant n’est pas perturbée.

• Le montage transimpédance est utilisé pour les capteurs optiques, notamment les photodiodes.

📌 Dans le générateur triangulaire à intégrateur, la condition $R_1<R_2$ garantit que l’amplitude de la tension triangulaire reste inférieure à Vsat.

📌 Dans l’astable simple, la tension du condensateur évolue exponentiellement, tandis que dans le générateur à intégrateur elle évolue linéairement et son amplitude peut être réglée indépendamment de sa fréquence.

• Dans l’oscillateur à pont de Wien, si A est inférieur à 3, les oscillations s’éteignent ; si A est supérieur à 3, leur amplitude croît jusqu’à la saturation de l’ALI, qui la limite au prix d’une distorsion.

💡 Astuce mémo

Gain accru → bande passante réduite.

📖 25. Chaîne de traitement du signal

📝 Points essentiels

• Dans la chaîne de traitement d’un accordeur de guitare, une cellule passe-haut de coupure 16 Hz élimine la composante continue du signal du microphone sans affecter les fréquences audibles.

• Dans cette chaîne, l’amplificateur non inverseur filtrant a un gain basse fréquence de 114, soit 41 dB, et un gain haute fréquence égal à 1 ; il amplifie donc davantage le fondamental que les harmoniques aigus et le bruit.

• Un passe-bande centré sur 330 Hz et de facteur de qualité 10 a une bande passante de 33 Hz.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes de l’électrolyseur